Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Альметьевский государственный нефтяной институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ларина

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.05.2015

Размер:

413.44 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

у/

= Acos x - B sin x - Ce− x

- 2у/

= sin x + e− x .

НИ

Пример 6. Найти общее решение уравнения у//

Решение. Характеристическое уравнение к2

- 2к = 0 имеет корни:

к1 = 0,

к2 = 2, , поэтому общее решение соответствующего однородного

уравнения у

= С + С е2x .

Правая часть уравнения

f (x) = sin x + e− x

- Asin x - B cos x + Ce− x

- 2Acos x + 2B sin x + 2Ce− x

= sin x + e− x ,

АГ

следовательно, частное решение ищем в виде учн = Asin x + B cos x + Ce− x .

Дифференцируем:

y// = -Asin x - B cos x + Ce−x .

Подставляя в уравнение у// , у/ , получаем:

ка

e−x

2C = 1

A = -

sin x

- A + 2B = 1,

cos x

- B - 2A = 0, Þ

B =

C =

Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид

−x

yчн

= -

sin x +

cos x +

, а общее решен е этого уравнения

0н

= С + С

е2х -

sin x +

cos x +

e−x .

Пример 7. Найти решение уравнен я у//

+ у = х + 2ех ;

у(0) = 0,

у/ (0) = 1.

+1 = 0

имеет корни

= i, к

= -i ,

Решение. Характеристическое уравнен е к2

тогда общее решение соответствующегои

однородного уравнения

= С cos x + C

sin x . Правая часть уравнения f (x) = x + 2ex , тогда частное

ая

решение ищем в виде: yчн

= Ax + B + Ce

. Дифференцируя и подставляя в

уравнение у, у // , получ ем: у/ = А + Сех ,

у// = Сех .

Сех + Ах + В + Сех = х + 2ех

Сравнивая коэффицие ты при

ех , х, х0 имеем:

ех

2С =

С = 1,

нА = 1,

чн

А = 1,

х0

В = 0

тр

С2

+ 2 = 1

= х

+ ех

, а общее решение исходного

Следовательно, частное решение у

уравнения у

= С cos x + C

sin x + x + ex . Учитывая начальные условия

0н

y(0) = 1, y/ (0) = 1, имеем С1

+1 = 1,

т.е. С = 0,С = -1.

Тогда решение уравнения у = -sin x + x + ex .

Задания для самостоятельной работы.

НИ

Решить уравнения.

АГ4

Уравнения

Ответы

y//

+ y/ − 2y = 8sin 2x,

y(0) = 0, y/

(0) = 1

y = sin x +

sin x

y//

− 2y/ = 5y = ex cos2x

y = (C cos2x + C

sin 2x)ex +

ex sin 2x

y//

− 9y = e3x cos x

y = C e3x + C e

−3x

+ка1 e3x (6sin x − cos x)

y//

+ y = 3sin x

y = C1 cos x + C

2 sin x −

x cos x

y//

+ y = 4x cos x

y = C cos x + C

sin x + x cos x + x2 sin x

− x

− y = 3sin x − 4cos x

y = C1e

+ C

е+ 2cos x − sin x

y// − 3y/ + 2y = 10e−x

−x

y = C1e

+ C

y// + 4y/ − 5y = 1

−5x

y = C1e

+ C

−

2y// + 5y/ = 29cos x

+ C

−

+ 5sin x − 2cos x

y = C

y//

+ y = 4xex ,

y(0) = −2, y/

(0) = 0

yл= (2x − 2)ex

y//

+ y = 4sin x,

y(0) = 1, y/ (0) = 2

y = cos x + 4sin x − 2x cos x

y//

− 2y/ − 3y = e4x ,

y(0) =

, y / (0) =

y = 2e−x

+ 3e3x

e4x

y//

+ 4y/ + 4y = 32xe2x ,

y(0) = −1, y/ (0) = 1

y = xe−2x + (2x −1)e2x

+ 9y = 6cos3x,

ая

y = cos3x + (x +1)sin 3x

y(0) = 1, y

(0) = 3

y//

− 2y/ − 8y = −8cos 2x

y = C e−2x

+ C

e4x

cos2x +

sin 2x

§5. Нормаль ая система дифференциальных уравнений.

5.1. Основные п нятия.

тр

Определение. Система дифференциальных уравнений, разрешённых

относительно производных от неизвестных функций, называется

нормальной системой дифференциальных уравнений и имеет

сл дующийк

f 1 ( x ,

y 1 , y 2 ,....

y n ),

dx 1

ï dy 2

вид: ï

f 2 ( x ,

y 1 ,

y 2 ,...

y n )

í dx

.......... .......... .......... .........,

dy n

f n ( x , y 1 , y 2 ,... y n )

dx n

Совокупность функций у1 = ϕ1 (х),		у2 = ϕ2 (х),....., уn = ϕn (x) называется
решением нормальной системы, если эти функции при подстановке в
уравнения системы обращают их в тождества.
Условия у1 = у10 , у2 = у20 ,.... уn	= yn0	при х = х0	называются начальными
ì dy1	= P (x)y + P (x) y		+ .....+ P (x)y + f (x) АГ
условиями решения, а задача отыскания решения по заданным начальным
условиям – задачей Коши.				НИ

Если правые части нормальной системы являются линейными функциями

относительно неизвестных функций у1 , у2 ,...уn

то такая система называется

ïdyn

= P (x) y + P (x)y

+ .......+ P

(x)каy + f (x)

ï dy

= P21

(x) y1 + P22 (x) y2

+ .....+ P2n (x)yn

+ f2 (x)

линейной и имеет вид í

ï ...........................................................................

î dx

Если функции f1 (x), f2 (x), .....fn (x)

тождественно равныенулю, то линейная

система называется однородной. В противн м случает – неоднородной.

5.2. Методы решения систем уравнен й.

1) Метод исключения неизвестных.

С помощью этого метода данная система сводится к одному уравнению

n − го порядка относительно одной неизвестной функции. Этого можно

достичь, дифференцируя одно

з уравненийб

системы и исключая все

неизвестные, кроме одной.

Пример 1. Решить систему уравненийи

= 2x + y,

= x + 2y;

x(0) = 1,

y(0) = 3.

Решение. Продифференцируем первое уравнение по t :

x//

= 2x/ + y/ .

Исключая y/ = x + 2y, y = x/

- 2x имеем:

x//

= 2x/ + x + 2(x/

- 2x) или

x// - 4x/

+ 3x = 0.Характеристическое уравнение

ая

= 3

, следовательно, общее решение

- 4k + 3 = 0 имеет кор и

k1 = 1

= C et + C

e3t . Общее решение для y

находим из первого уравнения

e3t .

= x/ - 2x, y

= C et + 3C

e3t - 2C et - 2C

e3t

Þ y

= -C et + C

ì 1 = C + C

ìC = -1,

Воспользуемся начальными условиями:

2 Þ í

î3 = -C1 + C2

C2 = 2

Таким образом,

íìx = -et + 2e3t , решение исходной системы.

тр

î y = et

+ 2e3t

= -7у + z, и

Прим р 2. Найти общее решение системы уравнений

í у

îz / = -2y - 5z

выделитье из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y = 0, z = 1 при x = 0.

Решение. Продифференцируем первое уравнение по x :

y//

= -7y/ + z / .

Подставим в это равенство выражение z /

= -2y - 5z, тогда

y//

= -7 y/ - 2y - 5z .

Учитывая, что

z = y/ + 7y

имеем

y//

= -7y/ - 2y - 5( y/ + 7y);

НИ

y//

+12y/ + 37y = 0

Характеристическое уравнение k 2 +12k + 37 = 0 имеет корни

= -6 + i, k

= -6 - i , тогда общее решение

= e−6x (C cos x + C

sin x)

Дифференцируя его получаем,

cos x) . Подставим выражение для

= -6e

−6x (C cos x + C

sin x) + e

−6x (-C sin x + C

АГ

y/ в первое уравнение системы

- 6e−6x (C cos x + C

sin x) + e−6x (-C sin x + C

cos x) = -7e−6x (C cos x + C

sin x) + z

= e−6x (C (cos x - sin x) + C

(sin x + cos x))

Учитывая начальные условия, получаем

0 = C1 ,

ìC1 = 0,

î1 = C1 + C2

ка

îC2

= 1;

Частное решение системы :

y = e−6x sin x,

îz = e−6x (sin x + cos x).

Пример 3. Найти общее решение системы íìх

- у, .

4х

у/

= х + 2у

х/ = 4х - у,

ìх// = 4х/ - у

/ ,

ìх//

- 2у,

ìх//

= 6х/ - 9х,

4х/ - х

Решение. í

îу =

х + 2у;

î у = х + 2у;

= х + 2у;

î у = 4х - х ;

Характеристическое уравнение первого уравнения системы к2

- 6к + 9 = 0

имеет корни к

= к

= (С + С

t)e3t . Найдем

= 3, , тогда общее решение х

y00 = 4x - x/ .

Дифференцируя и подставляяи

, имеем:

х/ = С

е3t + 3(C + C

t)e3t ,

y = 4(C

+ C

t)e3t

- C

e3t

- 3(C + C

y = (C

+ C

t - C

)e3t . Общее решение -

t)e3t ,

x = (C1 + C2t)e3t ,

ая

íy = (C + C

t - C

)e3t

2) Метод интегрируемых комбинаций.

Этот мет д с ст ит в следующем:

комбинируя уравнения системы, после

несложных пре бразований получаем интегрируемые уравнения. А это

позволяет найти решение системы.

ìdx

Пример 1. Решить систему уравнений íï

x(0) = 2,

x + y

Р ш ниек

тр

y(0) = 4.

x + y

î dt

. Составим первую интегрируемую комбинацию, разделив первое

уравнение на второе:

x + y

;

Þ ln | x |= ln | y | +ln | C |Þ x = C y.

x + y

îy(C1 +1) = t + C

ïx =

(t + C

2 )

НИ

Составим вторую интегрируемую комбинацию, сложив эти уравнения:

= 1,

= 1 Þ x + y = t + C2 .

+ y

x + y

t + C2

АГ

x = C1 y

Находим общее решение системы í

C +1

С2

ï 4 =

ìС1

ка

С +1

Используя начальные условия, получаем

ï2 =

С1 ×С2

î С2 = 6

С +1

Подставив в общее решение найденные значения С1 , С2 , получим частные

решения, удовлетворяющие начальным условиям:

t + 2,

ïy =

t + 4.

2x + y;

Пример 2. Решить систему уравнений íï dt

x(0)

= 1,

ïdy =

yи

y(0) = 2.

2x + y

î dt

первое уравнение на второе,

Решение. Составим первую комбинацию. Разделивл

получим

Þ x = C1 y .

dtб

Составим вторую интегрируемую ком инацию. Сложив удвоенное первое

уравнение со вторым, получим

2dx + dy

= 1, d(2x + y) = dt

2x + y = t + C2 .

ая

2C1 +1

Из системы уравнений

x = C1 y,

находим общее решение системы

+ y = t

+ C2 ;

î2x

C (t + C

)

ïx

t + C2

2C +1

тр

ï2

2C +1

Используя начальные условия, получаем

ïC =

Подставив в

C1C2

ï1

2C +1

îC2 =

C2 , получим частные решения,

общее решение найденные значения C1,

ï x

t +1,

удовл творяющие начальным условиям:

ïy

t + 2.

Пример 3. Решить систему уравнений íìх/ = у, .

î у/ = х

Решение. Составим первую комбинацию, сложив эти уравнения

х/ + у / = у + х Þ d(x + y) = (x + y)dt Þ

d(x + y)

= dt Þ ln

x + y

= t Þ x + y = C et .

x + y

Составим вторую комбинацию, вычитая второе уравнение из первого

х/ - у/ = у - х Þ d(x - y) = ( y - x)dt Þ

d(x - y)

= -dt Þ ln

x - y

= -t Þ x - y = C2e−t .

x - y

АГ

Общее решение находим из системы

ì х + у = С1еt

ì2x = C1et + C2e−t ,

ìx = 0,5C1et + 0,5C2e−t ,

íх - у = С

е−t

í2y = C et - C

e−t ; Þ

íy = 0,5C et - 0,5C

e−t ;.

Задания для самостоятельной работы.

ка

Решить данные системы дифференциальных уравнений.

ìx/

= 3x - 2y,

ìx = 0,5тet (2C1 + C2 + 2C2et ),

í y/

= 2x - y,

Ответ:

y = et (C

+ C

t);

Ответл:

ì x/ = 2x + y,

x = C1et + C2e5t

íy/

= 3x + 4y

íy = -C et

+ 3C

e5t

ìx

= C1e

+ C2e

−2t

ï dt

Ответ:

2t + C2e−2t

î y2

= C1e

î dt

ì dy

z -1

íï

Ответ: íìy = x - ex ,

y(0) = -1, z(0) = 1.

ая

î z = e−x .

y - x

îdx

= xy,

íï

Ответ: íïy = C1e 2 ,

ïdz

= z + xy.

î z = C2e

îdx

ì dx

= 3x + 5y,

- 3e−7t

íï

Ответ: íì x = 5e2t

x(0) = 2, y(0) = 5

ïdy

= -2x - 8y.

îy = -e2t + 6e−7t .

î dt

ì x = C1e−4t + C2e5t ,

ìx/

= 2x + 3y,

Ответ:

тр

2C1e

−4t

+ C

î y

6x - y.

îy =

ì dy

- y,

y = C1ex + C2e2x ,

= 2z

Ответ:

í dx

= 4z - 3y.

îz = C1e

+1,5C2e .

îdx

НИ

зависимость между переменными факторами какого-либо физического,

ìdx

= 2x + y,

НИ

9. íï

Ответ: íìx = 2e3t - et ,

x(0) = 1, y(0) = 3.

ïdy

= x + 2y;

îy = 2e3t + et .

î dt

АГ

10.

ìх/ + у/ = 2(х + у),

Ответ:

ì х = С1е2t + C2e−2t ,

у/

= 3х + у.

íy = 3C e2t - C

e−2t .

= 4y - 3z,

ì y = C e−2x + C

e3x

11. íïdx

Ответ:

íï

ï dz

= 2y - 3z.

ïz = 2C1e−2x +

C2e3x .

îdx

ìdx

= y +1,

+ 0,5C2e−t -1,

12.

ìx = 0,5C1et

í dt

Ответ: í

−t

y =

0,5C e

- 0,5C

-1.

= x +1.

ка2

î dt

ìdy

+ 2y + 3z = 0,

ì y = C e−3x

+ C

ex ,

13. íïdx

Ответ: íï

−3x - C2ex .

ïz =

C1e

+ y = 0.

ìdx

+ 3x + y = 0,

x(0) = 1,

−2t

ì x = e

14.

Ответ:

y(0) = -1

ï dy

- x + y = 0.

îy = -e−2t

î dt

§6. Решение задач с помощью дифференциальных уравнений.

Задачи, решение которых приводится к интегрированию дифференциальных

уравнений, содержащих производныеб

или дифференциалы неизвестных

функций,

весьма разнообразны.

В таких

задачах

ищется

функция или

ая

химического или технического процесса, уравнение линии или поверхности.

При решении этих задач в ачале составляется дифференциальное уравнение

задачи, которое затем решается тем или иным способом в зависимости от его
типа. Диффере циаль ное уравнение задачи составляется по её условию и в
	о
зависимости от условия задачи оно получается либо как соотношение между
тр		величин, либо как соотношение, содержащее
дифференциалами переменныхн

производные неизвестной функции. При составлении дифференциального

уравнения задачи в виде соотношения между производными используется геометрический или механический или экономический смысл производной. Кроме того, при составлении дифференциального уравнения задачи, в

зависимости от её условия, используются известные законы физики, химии,
механики и других наук и различные математические сведения.
Задачае	к
	1. Найти кривую, проходящую через точку А(0;1), для которой
л

треугольник, образованный осью Оу, касательной к кривой в произвольной её

точке и радиус-вектором точки касания,- равнобедренный ( причём основанием

его служит отрезок касательной от точки касания до оси Оу).

Решение.

Пусть

у = f (x) − уравнение

кривой. Проведём касательную MN в

произвольной точке M (x; y)

кривой до пересечения с осью Оу в точке N . По

условию

| ON |=| OM | .

Но

найдём

из

уравнения

| OM |=

+ y2

| ON |

НИ

касательной

Y - y = y (X - x), полагая Х = 0, получаем

Y =| ON |= y - xy .

Приходим к однородному уравнению

= y - xy/ .

АГ

x2 + y2

Пусть y = tx, y /

= -t / x .

= t / x + t,

тогда

х2 + t 2 x2

= tx - t / x2 - tx Þ

1+ t2

Разделяя переменные и интегрируя, получим

) = ln C - ln x Þ ln

y +

+ y2

= (C - y)2 .

= -

Þ ln(t +

1+ t 2

= ln

Þ x2 + y2

1+ t 2

ка

Учитывая начальное условие:

y(0) = 1, находим C = 2 .

Следовательно, искомой кривой является парабола

х2 + у2 = (2 - у)2 Þ х2 = 4 - 4у

Задача 2. Найти кривую, проход щую через точку А(3;0), если известно, что

угловой коэффициент к сательной равен

х + у

Решение. Согласно условию задачи имеем: у/

. Решим полученное

ая

однородное диффере циальное уравнение. Полагая у = tx,

имеем

t / x + t = 1+ t Þ t / x = 1

dt =

t = ln x + ln C

= ln(Cx) Þ

y = x ln(Cx) .

Учитывая, что к ивая проходит через точку А(3;0),

получаем С =

Следова ельно, искомая кривая у = х ln

тр

Ответ: y = x ln 3

Задача 3. Найти выражение объёма реализованной продукции у = y(t) и его значение при t = 2 , если известно, что кривая спроса имеет вид p( y) = 3 − 2y ,

норма акселерации

= 1,5 , норма инвестиций m = 0,6,

y(0) = 1.

1,2АГt

Решение. В этом случае уравнение принимает вид

у/ = 0,4(3 - 2у)у или

= 0,4dt . Выполняя почленное интегрирование, НИ

(3 - 2y) y

получаем 3 ln

Þ 3 - 2y = Ce

, где С = е

1 .

3 - 2y = 0,4t + C1

1,.2t

3С

Учитывая, что у(0) = 1, получаем, что

С = 1. Следовательно,

у =

3е

+ 2e1,2t

Тогда у(2) =

3е2,4

» 1,43 .

ка1,43

+ 2е2,4

Отв т:

Задача 4. Изменение численности населения посёлка с течением времени

описывается уравнением: у

= 0,3у(2 -10

−4

у), где у = у(t),

t - время(лет) . В

начальный момент времени население посёлка составляло 500 человек. Каким оно станет через три года?

Решение. Разделяя переменные в уравнении, по иучаем:

= dt .

0,3y(2 -10−4 y)

Выполняя почленное интегрирование, имеем:

бÞ

= Ce0,6t .

dt Þ ln

= 0,6t + C

ò 0,3y(2 -10−4 y)

2 -10−4

(0) = 500и

2 -10−4 y

Учитывая начальные условия,

находим значение постоянной

500

= Ce0 Þ C » 256,4 . Тогдаб

имеем:

2 - 0,0001×500

y =

512,8e0,6t

y(3) =

512,8e1,8

y » 2685 .

1- 0,02564e0,6t

1- 0,02564e1,8

ая

Ответ: 2685

у(5) = 2 .

Задача 5. Найти фу кцию спроса, если Ер = -0,5

Решение. Из определе иян

эластичности следует, что

- 0,5 =

Это уравнение с разделяющимисян

у dp

переменными. Решая его, получаем

Þ -о1

ln p = ln y + ln C Þ p−

= Cy .

2 p

Учитывая начальное условие y(5) = 2 , имеем C =

. Окончательно

тр

y = 2

5p−0,5

ру2 = 20 .

или

Ответ: ру2 = 20

Задача 6. Функции спроса и предложения на некоторый товар имеют вид:

у = 50 - 2 р - 4

НИ

dt .

x = 70 + 2 p - 5

АГ

Найти зависимость равновесной цены от времени.

Решение. Из условия равенства спроса и предложения имеем:

50 - 2 p - 4

= 70 + 2 p - 5

= 20 + 4 p . Получили уравнение с

разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя почленно,
						ка
имеем ò	5 + p	= ò4dt	Þ ln(5 + p) = 4t + C1 Þ 5 + p = Ce Þ			p	= Ce - 5 .
				Ответ:			p = Ce4t - 5
					е
			Задания для самостоятельной работы.
1.	Найти кривую, проходящую через точку А(1;1), у которой расстояние
			о
	любой касательной от начала координат равно абсциссе точки
	касания.			т
			Ответ: (х -1)2 + у2 = 1.
2.	Найти кривую, проходящую через точку А(2;16), зная, что угловой
	коэффициент касательной в любой точкеи кривой в три раза больше

иб Ответ: у = 2х3

3.Найти кривую, проходящую через точку А(1;2), для которой отрезок на оси ординат, отсекаемый любой касательной к кривой, равенл началомб

ая

абсциссе точки касания.

Ответ: у = 2х − х ln x

Найти кривую, проход щую через точку О(0;0), зная, что угловой

коэффициент в любой её точке равен сумме координат этой точки.

Ответ: у = ех

- х -1.

Найти функцию спроса у

= у( р) , если эластичность Е р постоянна и

а р нпри некотором значении спроса у :

задана це

Ер = -3,

р = 2 при у = 27 .

тр

у = 30 - р - 4 dt ,

Ответ: р3

= 6.

Функции спроса и предложения на некоторый товар имеют вид:

x = 20 + p +

Найти зависимость равновесной цены от времени.

Ответ:

р = 5 + 2е−0,4t .

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.05.20151.89 Mб194курсовая Риммы.DOC
#
04.09.20192.55 Mб15КУРСОВИК исправленная (Восстановлен)11.doc
#
27.09.2019521.73 Кб1курсовой проект2012.doc
#
25.11.201911.75 Mб18Лабораторный практикум по МП-системам1.doc
#
15.05.201533.82 Mб14лабы амиров маткад.pdf
#
15.05.2015413.44 Кб28Ларина.pdf
#
15.05.2015320.51 Кб28лек5 разработка.doc
#
16.04.2019103.94 Кб2лекции для 5 курса.doc
#
18.11.20191.93 Mб2лекции ИВАНОВ Книга Паскаль.doc
#
08.12.2018679.94 Кб12Лекции МП, МПВ 2011-2012.doc
#
15.05.2015376.83 Кб119Лекции по бух. учету 2.doc