В частности, если g(x) ≡ 1 на [a, b], то из (1.24) следует (1.25).

функция sgn x не принимает на отрезке [−1, 2] значение µ = 13 .

1.8Свойства интеграла с переменным верхним пределом

Пусть функция f интегрируема на отрезке [a, b], тогда по теореме 1.15 функция f интегрируема на отрезке [a, x] для любого x [a, b], и потому на отрезке [a, b] определена функция

x

Z

F (x) = f(t) dt,

a

которая называется интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема 1.21 (о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом). Если функция f интегрируема на отрезке [a, b], то функция F непрерывна на этом отрезке.

26

Так как функция f интегрируема на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке, то есть M > 0 :

|f(x)| ≤ M, x [a, b].

Зафиксируем произвольное x0 [a, b] и зададим приращение

x 6= 0 : (x0 + x) [a, b].

Используя теоремы 1.15 и 1.16, получаем

Поэтому lim F (x0 + x) = F (x0), что по определению означает непре-

x→0

рывность F (x) в точке x0. А так как точка x0 из [a, b] взята произвольно, то функция F непрерывна на [a, b].

Теорема 1.22 (о дифференцируемости интеграла с переменным верхним пределом). Если функция f непрерывна на отрезке [a, b], то функция F дифференцируема на этом отрезке и

Зафиксируем некоторое число x0 [a, b] и зададим приращение x 6= 0 : (x0 + x) [a, b]. Рассмотрим отношение

По следствию 2 теоремы 1.20 существует точка c x, принадлежащая

27

следовательно, существует F 0(x) в точке x0 и F 0(x0) = f(x0). В силу произвольности выбора точки x0 теорема доказана.

Cледствие. Если выполнены условия теоремы 1.22, то

1)функция F непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b];

2)любая непрерывная на отрезке [a, b] функция f имеет на этом отрезке первообразную в виде интеграла с переменным верхним пределом

x

Z

F (x) = f(t) dt.

a

Замечание 1. Если точка x0 совпадает с одним из концов отрезка [a, b], то под F 0(x0) следует понимать соответствующую одностороннюю производную функции F (x).

Замечание 2. Точно так же можно ввести понятие интеграла с пе-

b

Z

ременным нижним пределом G(x) = f(t) dt, x [a, b], и доказать,

x

что он обладает аналогичными свойствами, то есть является непрерывной функцией на [a, b], если функция f интегрируема на отрезке [a, b], и непрерывно дифференцируемой функцией в каждой точке из [a, b], если функция f непрерывна на отрезке [a, b], при этом G0(x) = −f(x) (предлагаем сделать это самостоятельно).

Теорема 1.23 (формула Ньютона–Лейбница). Если функция f

непрерывна на [a, b] и Φ ее первообразная на этом отрезке, то

a

образной для f на отрезке [a, b]. Тогда по теореме 5.1 из [4]существует постоянная C такая, что Φ(x) = F (x) + C, x [a, b]. Таким образом,

Формулу Ньютона-Лейбница (1.26) еще называют основной формулой интегрального исчисления и записывают в виде

bb

Z

f(x) dx = Φ(x) .

Замечание. Можно доказать, что формула Ньютона-Лейбница справедлива при выполнении следующих условий:

28