Эконометрика / glava6_standartiz1

Тема 6. Уравнение множественной регрессии в стандартизованном масштабе. Оценка коэффициентов _i

6.1. Построение факторов в преобразованном масштабе. Оценка коэффициентов i.

6.2. Экономический смысл оценённых коэффициентов. Проверка вычислений с помощью перехода от уравнения множественной регрессии в натуральном масштабе к уравнению в стандартизованном масштабе и обратно.

6.3. Задание к лабораторной работе № 5 «Уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе».

6.1. Построение факторов в преобразованном масштабе. Оценка коэффициентов _i

Другой подход к определению параметров множественной регрессии состоит в том, что на основе матрицы парных корреляций строится уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

, (6.1)

удовлетворяющее соотношению

, (6.2)

где – стандартизованные переменные, среднее значение которых равно нулю, а среднеквадратическое отклонение равно 1, т.е.  _ty = _txi = 1, _i – неизвестные стандартизованные коэффициенты регрессии.

Согласно методу наименьших квадратов рассматриваем задачу определения значений коэффициентов из решения задачи

.(6.3)

Применяя МНК, из необходимого условия минимума функции многих переменных (6.3) (равенства нулю вектора частных производных в точке минимума), после соответствующих преобразований получим систему нормальных уравнений

(6.4)

Решая её любым методом (Крамера или методом исключений Гаусса или с помощью вычисления обратной матрицы), найдём коэффициенты _i.

6.2. Экономический смысл оценённых коэффициентов. Проверка вычислений с помощью перехода от уравнения множественной регрессии в натуральном масштабе к уравнению в стандартизованном масштабе и обратно

Смысл перехода и рассмотрения этих коэффициентов состоит в следующем. Эти стандартизованные коэффициенты регрессии показывают, на сколько  (сигм) изменится в среднем результативный фактор, если соответствующий фактор x_i изменится на одну  (сигму) при неизменном среднем уровне других факторов. В силу того, что все переменные заданы как центрированные и нормированные, стандартизованные коэффициенты регрессии сравнимы между собой.

Пример 1. Пусть издержки производства у (тыс. руб.) характеризуются уравнением вида

Y = 200 + 1,2x₁ +1,1x2+ ,

где х₁ – основные производственные фонды (тыс. руб.); х₂ – численность занятых в производстве (чел.).

Из уравнения видно, что при той же занятости дополнительный рост стоимости основных производственных фондов на одну тысячу руб. влечёт за собой увеличение затрат в среднем на 1200 руб., а увеличение численности занятых на одного человека способствует при той же технической оснащённости предприятия росту затрат в среднем на 1100 руб. Однако это не означает, что фактор х₁ оказывает более сильное на издержки производства по сравнению с фактором х₂. Такое сравнение возможно, если обратиться к уравнению регрессии в стандартизованном масштабе. Предположим, оно выглядит следующим образом

t_y = 0,5t_x1 + 0,8t_x2 .

Это означает, что с ростом фактора х₁ на одну сигму при неизменной численности занятых затраты на продукцию увеличиваются в среднем на 0,5 сигмы. Так как ₁ < ₂ (0,5 < 0,8), то можно предположить, что большее влияние на затраты производства оказывает фактор х₂, а не х₁, как кажется из уравнения регрессии в натуральном масштабе.

В парной зависимости стандартизованный коэффициент регрессии есть не что иное, как линейный коэффициент корреляции r_xy. Так же как и в парной зависимости, коэффициенты регрессии и корреляции связаны между собой (r_xy = b∙_x/_y), так и во множественной регрессии коэффициенты «чистой» регрессии bi связаны со стандартизованными коэффициентами i, а именно

. (6.5)

Это позволяет от уравнения регрессии в стандартизованном масштабе

переходить к уравнению регрессии в натуральном масштабе переменных

.

Значение коэффициента а определяется как

. (6.6)

Рассмотренный смысл стандартизованных коэффициентов регрессии j позволяет их использовать при отсеве факторов – из модели исключаются факторы с наименьшим по модулю значением j.

С некоторой степенью приближения можно вместо j использовать относительные коэффициенты регрессии

.

6.3. Задание к лабораторной работе № 5 «Уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе»

Имеются статистические данные о динамике ВВП США (переменная Y) и валовых внутренних инвестиций в экономику США (X), в млрд долл.

Требуется определить величину запаздывания (в годах), которое наиболее сильно влияет на ВВП.

Год	Yt, ВВП США в млрд долл.	Xt, валовые внутренние инвестиции в экономику США (X), млрд. долл.	Xt-1	Xt-2	Xt-3	Xt-4
1959	1931,3	296,4
1960	1973,2	290,8	296,4
1961	2025,6	289,4	290,8	296,4
1962	2129,8	321,2	289,4	290,8	296,4
1963	2218	343,3	321,2	289,4	290,8	296,4
1964	2343,3	371,8	343,3	321,2	289,4	290,8
1965	2473,5	413	371,8	343,3	321,2	289,4
1966	2622,3	438	413	371,8	343,3	321,2
1967	2690,3	418,6	438	413	371,8	343,3
1968	2801	440,1	418,6	438	413	371,8
1969	2877,1	461,3	440,1	418,6	438	413
1970	2875,8	429,7	461,3	440,1	418,6	438
1971	2965,1	481,5	429,7	461,3	440,1	418,6
1972	3107,1	532,2	481,5	429,7	461,3	440,1
1973	3268,5	591,7	532,2	481,5	429,7	461,3
1974	3248,1	543	591,7	532,2	481,5	429,7
1975	3221,7	437,6	543	591,7	532,2	481,5
1976	3380,8	520,6	437,6	543	591,7	532,2
1977	3533,2	600,4	520,6	437,6	543	591,7
1978	3703,5	664,6	600,4	520,6	437,6	543
1979	3796,8	669,7	664,6	600,4	520,6	437,6
1980	3776,3	594,4	669,7	664,6	600,4	520,6
1981	3843,1	631,1	594,4	669,7	664,6	600,4
1982	3760,3	540,5	631,1	594,4	669,7	664,6
1983	3906,6	599,5	540,5	631,1	594,4	669,7
1984	4148,5	757,5	599,5	540,5	631,1	594,4
1985	4279,8	745,9	757,5	599,5	540,5	631,1
1986	4404,5	735,1	745,9	757,5	599,5	540,5
1987	4540	749,3	735,1	745,9	757,5	599,5
1988	4781,6	773,4	749,3	735,1	745,9	757,5
1989	4836,9	789,2	773,4	749,3	735,1	745,9
1990	4884,9	744,5	789,2	773,4	749,3	735,1
1991	4848,4	672,6	744,5	789,2	773,4	749,3
Средние	3556,448	575,520	563,4	547,7	530,5	514,1
Ср.кв.о.	906,7583	156,519	157,2	155,1	150,1	144,9

Задание к лабораторной работе № 5 «Уравнение множественной линейной регрессии в стандартизованном масштабе»

Шаг 1. В качестве Y возьмите ВВП США в млрд долл., в качестве X – массив из пяти векторов X_t, X_t-1, X_t-2, X_t-3, X_t-4. Постройте новые столбцы соответствующих стандартизованных переменных ty, tx_t, tx_t-1, tx_t-2, tx_t-3, tx_t-4.

Шаг 2. Постройте модель линейной регрессии вторым способом с помощью Сервис, Анализ данных, Регрессия. В качестве Y возьмите ty, в качестве X – массив из пяти векторов tx_t, tx_t-1, tx_t-2, tx_t-3, tx_t-4. Поскольку в последнем векторе нет первых четырёх данных, все эти массивы нужно взять, начиная с пятой строки.

Шаг 3. По величине максимального по модулю коэффициента β_i определить величину запаздывания (в годах), которое наиболее сильно влияет на ВВП. Усреднением этих коэффициентов определите среднюю величину запаздывания.

100