8.4. Задание к лабораторной работе № 7 «Построение доверительных интервалов прогноза для линейного уравнения регрессии»

Возьмите данные вашего варианта из задания №1 и постройте нижние и верхние доверительные границы для y_teor(x_p) = b₀+b₁x_p и индивидуальных фактических значений.

Шаг 1. Скопируйте данные по факторам X и Y из первой лабораторной работы на новый лист MS EXCEL.

Шаг 2. Постройте линейную регрессию вторым способом.

Шаг 3. Найдите оценку S как вычисленную величину остаточной дисперсии в выводе итогов второго способа на пересечении столбца MS и строки Остаток (в примере эта величина равна 284,0394, в вашем варианте найдите сами).

Шаг 4. По исходным данным вашего варианта для фактора X вычислите величину .

Шаг 5. Немного в стороне от исходных данных задайте равномерную сетку с постоянным шагом x = h для независимой переменной X, в пределах которой будет принимать значения x_p точек прогноза.

Шаг 6. Вычислите y_teor(x_p) = b₀ + b₁x_p , а также нижнюю и верхнюю доверительные границы. Постройте точечную диаграмму, аналогичную диаграмме, приведённой на рис.8.1.

Шаг 7. Возьмите некоторую точку на оси OX (в которой выполняется прогноз) и сделайте содержательный вывод в терминах исходной задачи о границах доверия зависимой переменной Y для этой точки прогноза x_p.

8.5. Проверка значимости всего уравнения регрессии в целом

После оценки индивидуальной статистической значимости каждого из коэффициентов регрессии обычно анализируется совокупная значимость коэффициентов, т.е. всего уравнения в целом. Такой анализ осуществляется на основе проверки гипотезы об общей значимости гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:

H₀: ₁ = ₂ = ... = _m = 0.

Если данная гипотеза не отклоняется, то делается вывод о том, что совокупное влияние всех m объясняющих переменных Х₁, Х₂, ..., Х_m модели на зависимую переменную Y можно считать статистически несущественным, а общее качество уравнения регрессии – невысоким.

Проверка данной гипотезы осуществляется на основе дисперсионного анализа сравнения объясненной и остаточной дисперсии.

Н₀: (объясненная дисперсия) = (остаточная дисперсия),

H₁: (объясненная дисперсия) > (остаточная дисперсия).

Строится F-статистика:

, (8.19)

где – объясненная регрессией дисперсия;

–остаточная дисперсия (сумма квадратов отклонений, поделённая на число степеней свободы n-m-1). При выполнении предпосылок МНК построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы 1 = m, 2 = n–m–1. Поэтому, если при требуемом уровне значимости  F_набл > F_{; m; n-m-1} = F_ (где F_{; m; n-m-1} — критическая точка распределения Фишера), то Н₀ отклоняется в пользу Н₁. Это означает, что объяснённая регрессией дисперсия существенно больше остаточной дисперсии, а следовательно, уравнение регрессии достаточно качественно отражает динамику изменения зависимой переменной Y. Если F_набл < F_{; m; n-m-1} = F_кр., то нет основания для отклонения Н₀. Значит, объясненная дисперсия соизмерима с дисперсией, вызванной случайными факторами. Это дает основание считать, что совокупное влияние объясняющих переменных модели несущественно, а следовательно, общее качество модели невысоко.

Однако на практике чаще вместо указанной гипотезы проверяют тесно связанную с ней гипотезу о статистической значимости коэффициента детерминации R²:

Н₀: R² = 0,

Н₀: R² > 0.

Для проверки данной гипотезы используется следующая F-статистика:

. (8.20)

Величина F при выполнении предпосылок МНК и при справедливости H₀ имеет распределение Фишера, аналогичное распределению F-статистики (8.19). Действительно, разделив числитель и знаменатель дроби в (8.19) на общую сумму квадратов отклонений и зная, что она распадается на сумму квадратов отклонений, объяснённую регрессией, и остаточную сумму квадратов отклонений (это является следствием, как будет показано позже, системы нормальных уравнений)

,

мы получим формулу (8.20):

.

Из (8.20) очевидно, что показатели F и R² равны или не равны нулю одновременно. Если F = 0, то R² = 0, и линия регрессии Y = является наилучшей по МНК, и, следовательно, величинаY линейно не зависит от Х₁, Х₂, ..., Х_m. Для проверки нулевой гипотезы Н₀: F = 0 при заданном уровне значимости  по таблицам критических точек распределения Фишера находится критическое значение F_кр = F_{; m; n-m-1}. Нулевая гипотеза отклоняется, если F > F_кр. Это равносильно тому, что R² > 0, т.е. R² статистически значим.

Анализ статистики F позволяет сделать вывод о том, что для принятия гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов линейной регрессии коэффициент детерминации R² не должен существенно отличаться от нуля. Его критическое значение уменьшается при росте числа наблюдений и может стать сколь угодно малым.

Пусть, например, при оценке регрессии с двумя объясняющими переменными X_1i, X_2i по 30 наблюдениям R² = 0,65. Тогда

F_набл = =25,07.

По таблицам критических точек распределения Фишера найдем F_{0,05; 2; 27} = 3,36; F_{0,01; 2; 27} = 5,49. Поскольку F_набл = 25,07 > F_кр как при 5%–м, так и при 1%–м уровне значимости, то нулевая гипотеза в обоих случаях отклоняется.

Если в той же ситуации R² = 0,4, то

F_набл = = 9.

Предположение о незначимости связи отвергается и здесь.

Отметим, что в случае парной регрессии проверка нулевой гипотезы для F-статистики равносильна проверке нулевой гипотезы для t-статистики

коэффициента корреляции. В этом случае F-статистика равна квадрату t-статистики. Самостоятельную значимость коэффициент R² приобретает в случае множественной линейной регрессии.