Необходимое условие идентификации (счётное правило).

Если обозначить число эндогенных переменных в j–м уравнении системы через H, а число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение, – через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

Если D + 1 = H, то уравнение скорее всего идентифицируемо,

если D + 1 < H, то уравнение неидентифицируемо,

если D + 1 > H, то уравнение сверхидентифицируемо.

Предположим, рассматривается следующая система одновременных уравнений:

y₁ = b₁₂∙y₂+b₁₃∙y₃+a₁₁∙x₁+a₁₂∙x₂,

y₂ = b₂₁∙y₁+a₂₁∙x1+a₂₂∙x2+a₂₃∙x₃,

y₃ = b₃₁∙y1+b₃₂∙y2+a₃₃∙x3+a₃₄∙x₄.

Первое уравнение скорее всего точно идентифицируемо, ибо в нем присутствуют три эндогенные переменные – y₁, y₂, y₃, т.е. H = 3 и две экзогенные переменные – x₁ и x₂, число отсутствующих экзогенных переменных равно двум – x₃ и x₄, D = 2. Тогда имеем равенство: D+1 = H, (так как 2+1 = 3), что означает, что это уравнение является подозрительным на то, что оно точно (просто) идентифицируемого уравнения. Для окончательного вывода нужно проверить достаточное условие.

Во втором уравнении системы H = 2 (y₁ и y₂) и D = 1 (x₄). Выполняется равенство D+1 = H, т.е. 1+1=2. Уравнение скорее всего идентифицируемо.

В третьем уравнении системы H = 3 (y₁, y₂, y₃), а D=2 (x₁ и x₂). Следовательно, по счетному правилу D+1 = H, и это уравнение скорее всего идентифицируемо. Таким образом, система в целом удовлетворяет необходимому условию идентифицируемости.

Достаточное условие идентификации

Если определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в рассматриваемом структурном уравнении, не равен нулю и ранг этой матрицы не меньше числа эндогенных переменных системы без единицы, то это уравнение точно (просто) идентифицируемо.

10.4. Косвенный метод наименьших квадратов (кмнк)

Коэффициенты структурной модели могут быть оценены разными способами в зависимости от вида системы одновременных уравнений.

Косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) применяется для определения коэффициентов точно (просто) идентифицируемых уравнений структурной модели. Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов работы.

Шаг 1. Структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели.

Шаг 2. Для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты (δ_ij).

Шаг 3. Методом исключения по коэффициентам приведенной формы модели с помощью подстановки вычисляются оценки коэффициенты структурной модели.

Рассмотрим применение КМНК для модифицированной модели Кейнса:

C_t = b₁₀ + b₁₁Y_t+ e_1t,

I_t = b₂₀ + b₂₁Y_t+b₂₂ Y_t-1 + e_2t, (10.4)

Y_t = C_t + I_t + G_t,

где C_t – расходы на потребление некоторого региона за t-ый период времени;

I_t – инвестиции за t-ый период времени;

G_t – государственные расходы за t-ый период времени;

Y_t - доходы в некотором регионе за t-ый период времени;

Y_t-1 - доходы в регионе за предыдущий (t-1)-ый период времени. Судя по уравнению (10.4), мы имеем дело с тремя эндогенными переменными C_t, I_t, Y_t и двумя экзогенными переменными Y_t-1 и G_t .

Для определения идентифицируемости воспользуемся небходимым условием идентифицируемости (счётным правилом).

Для первого уравнения H = 2, а D = 2. Таким образом, H<D+1. Значит первое уравнение сверхидентифицируемо.

Для второго уравнения H = 2, а D = 1. Таким образом, H=D+1. Значит второе уравнение точно (просто) идентифицируемо.

Значит, для определения второго уравнения СФМ можно применить косвенный МНК.

Пусть для построения данной модели мы располагаем некоторыми статистическими данными по региону:

Таблица 1

T	Ct	Gt	It	Yt	Yt-1
1	10800	0	3000	13800	13000
2	10800	0	3000	13800	13800
3	10800,69	0	3000	13800,69	13800
4	10343	0	2700,48	13043,48	13800,69
5	10498	0	2800	13298	13043,48
6	10028	0	3200	13228	13298
7	10399,16	0	3289	13688,16	13228
8	10835	0	2500	13335	13688,16
9	10065,73	0	2560,54	12626,27	13335
10	11854	0	2760	14614	12626,27
11	11764	0	2680	14444	14614
12	8156	31	1700	9887	14444
13	7648	32	1890,231	9570,231	9887
14	7745,08	36	2000	9781,08	9570,231
15	7955	36,8466	1984	9975,847	9781,08
16	8856	76	1780,378	10712,38	9975,847
17	9148	113	1900	11161	10712,38
18	10145,15	136	1900	12181,15	11161
19	9878	135,2589	1973	11986,26	12181,15
20	9258,6	94	2000,907	11353,51	11986,26
21	11248	76	2200	13524	11353,51
22	11316	64,0585	2389	13769,06	13524
23	11229	71	2500	13800	13769,06
24	11258,11	81,6295	1680	13019,74	13800
25	12234	95	1716	14045	13019,74
26	12836	105	2269,672	15210,67	14045
27	12829	108	2100	15037	15210,67
28	12758,5	99	1731,3	14588,8	15037
29	14740	102	2034,9	16876,9	14588,8
30	14836	107,1	2728,3	17671,4	16876,9
31	13436	97	3310,4	16843,4	17671,4

Приведенная форма модели имеет вид:

C_t = d₁₀ + d₁₁Y_t-1 + d₁₂G_t + u_1t,

I_t = d₂₀ + d₂₁Y_t-1 + d₂₂ G_t + u_2t, (10.5)

Y_t = C_t + I_t + G_t.

где u_1t, u_2t – случайные ошибки приведенной формы модели.

Для каждого уравнения приведенной формы модели применяем традиционный МНК и определяем d_ij – коэффициенты с помощью команд: Сервис, Анализ данных, Регрессия.

В качестве входного интервала для Y Вх_инт_Y берём столбец объёмов потребления C_t , а в качестве Вх_инт_X – оба столбца Y_t-1 и G_t . В результате получим следующее первое уравнение приведенной формы модели:

C_t = 611,1906 + 0,735347Y_t-1 + 10,37257G_t+ u_1t.

Значит, d₁₀ = 611,1906, d₁₁ = 0,735347, d₁₂ = 10,37257.

Аналогично применяем МНК для второго уравнения приведенной формы модели. В качестве Вх_инт_Y берём столбец объёмов инвестиций I_t , а в качестве Вх_инт_X – также оба столбца Y_t-1 и G_t . В результате получим:

I_t = 1093,428 + 0,123536∙Y_t + (–6,41314)∙G_t + u_2t.

Значит, d₂₀ = 1093,428, d₂₁ = 0,123536, d₂₂ = –6,41314.

Таким образом, приведенная форма модели (10.5) для наших конкретных данных имеет вид:

C_t = 611,1906 + 0,735347Y_t-1 + 10,37257G_t+ u_1t.

I_t = 1093,428 + 0,123536∙Y_t + (–6,41314)∙G_t + u_2t.

Переходим к вычислению коэффициентов второго уравнения структурной формы косвенным методом наименьших квадратов (КМНК), поскольку оно точно (просто) идентифицируемо.

C_t = d₁₀ + d₁₁Y_t-1 + d₁₂G_t + u_1t,

I_t = d₂₀ + d₂₁Y_t-1 + d₂₂ G_t + u_2t, (10.6)

Y_t = C_t + I_t + G_t.

Для этой цели из второго уравнения приведенной формы (10.6) модели надо исключить G_t, выразив его из первого и третьего уравнений приведенной формы и подставить во второе. Сложим два первых уравнения и добавим к ним тожество G_t = G_t ,чтобы воспользоваться третьим уравнением. Будем выполнять это в общих обозначениях уравнения (10.6).

С_t + I_t + G_t = [d₁₀ + d₂₀] + [d₁₁+ d₂₁]Y_t-1 + [d₁₂ + d₂₂ +1]G_t + u_1t + u_2t.

Или

Y_t = = [d₁₀ + d₂₀] + [d₁₁+ d₂₁]Y_t-1 + [d₁₂ + d₂₂ +1]G_t + u_1t + u_2t ,

исключаем G_t,

G_t = (Y_t – [d₁₀ + d₂₀] – [d₁₁ + d₂₁]Y_t-1 - u_1t - u_2t)/[d₁₂ + d₂₂+1].

Подставим во второе уравнение,

I_t = d₂₀ + d₂₁Y_t-1 + d₂₂(Y_t – [d₁₀ + d₂₀] – [d₁₁ + d₂₁]Y_t-1 - u_1t - u_2t)/[d₁₂ + d₂₂ +1] + u_2t =

= (d₂₀ – d₂₂[d₁₀ + d₂₀]/[d₁₂ + d₂₂ +1]) + (d₂₂/[d₁₂ + d₂₂ +1])Y_t + (d₂₁ - d₂₂[d₁₁ + d₂₁]/[d₁₂ + d₂₂+1])Y_t-1 + [u_2t - d₂₂[u_1t + u_2t ]/[d₁₂ + d₂₂ +1] =

= b₂₀ + b₂₁Y_t+b₂₂Y_t-1 + e_2t ,

где

b₂₀ = d₂₀ – d₂₂[d₁₀ + d₂₀]/[d₁₂ + d₂₂ +1],

b₂₁ = d₂₂/[d₁₂ + d₂₂ +1],

b₂₂ = d₂₁ – d₂₂[d₁₁ + d₂₁]/[d₁₂ + d₂₂+1],

e_2t = u_2t – d₂₂[u_1t + u_2t ]/[d₁₂ + d₂₂ +1].

При подстановке конкретных значений для d_ij получим b₂₀ = 3297,705, b₂₁ = -1,29312, b₂₂ = 1,234174.

Тогда второе уравнение структурной модели для данных таблицы 1 имеет вид:

I_t = 3297,705 + (–1,29312)Y_t+1,234174 Y_t-1 + e_2t.

Различия между коэффициентами регрессии и структурными коэффициентами модели численно могут быть и менее существенными. Так, например, Г. Тинтнер, рассматривая статическую модель Кейнса для австрийской экономики за 1948–1956 гг., получил функцию потребления классическим МНК в виде C = 0,782y +71,6, а косвенным МНК C = 0,781y + 73,212.

При сравнении результатов, полученных традиционным МНК и с помощью КМНК, следует иметь в виду, традиционный МНК, применяемый к каждому уравнению структурной формы модели, взятому в отдельности, дает смещенные оценки структурных коэффициентов. Как показал Т. Хаавельмо, рассматривая две взаимосвязанные регрессии:

y= a∙x + ε₁,

y = b∙y + ε₂.

коэффициент регрессии отличается от структурного коэффициента и совпадает с ним только в одном частном случае, когда переменная Y не содержит ошибок (т.е. ε = 0), а ошибки переменной X имеют дисперсию, равную 1.

Нарушение предпосылки независимости факторов друг от друга при использовании традиционного МНК в системе одновременных уравнений приводит к несостоятельности оценок структурных коэффициентов; в ряде случаев они оказываются экономически бессмысленными. Опасность таких результатов возрастает при увеличении числа эндогенных переменных в правой части системы, ибо становится невозможным расщепить совместное влияние эндогенных переменных и видеть изолированные меры их воздействия в соответствии с предпосылками традиционного МНК.