Интерполирование на отрезке [0.801,1.2]

m = 20:

Приведем 1-е 15 и последние 15 точек.

i	xi	yi	P(x)
801	0,801	6,8297	6,8368
802	0,802	6,8162	6,8250
803	0,803	6,8124	6,8127
804	0,804	6,7998	6,7998
805	0,805	6,7865	6,7865
806	0,806	6,7728	6,7727
807	0,807	6,7587	6,7584
808	0,808	6,7440	6,7437
809	0,809	6,7289	6,7286
810	0,81	6,7115	6,7131
811	0,811	6,6952	6,6972
812	0,812	6,6787	6,6809
813	0,813	6,6618	6,6643
814	0,814	6,6447	6,6474
815	0,815	6,6274	6,6302
…………………………………………………………………
1186	1,186	5,8896	5,8889
1187	1,187	5,8920	5,8915
1188	1,188	5,8945	5,8941
1189	1,189	5,8970	5,8968
1190	1,19	5,8995	5,8995
1191	1,191	5,9021	5,9022
1192	1,192	5,9048	5,9051
1193	1,193	5,9074	5,9079
1194	1,194	5,9101	5,9108
1195	1,195	5,9129	5,9136
1196	1,196	5,9156	5,9165
1197	1,197	5,9184	5,9194
1198	1,198	5,9212	5,9223
1199	1,199	5,9241	5,9252
1200	1,2	5,9241	5,9281

– минимальная сумма квадратов разностей.

Проверим ошибку многочлена степени 21:

m = 21.

. Ошибка также немного увеличилась по сравнению с ошибкой, полученной нами для степени 20. Порядок малости ошибки не изменился.

Подсчитаем ошибку для многочлена 19-й степени.

. Ошибка на порядок выше, чем для степени 20.

Оптимальным многочленом является P20(x).

График полученного многочлена приведен на рис.4. Как видим, он практически совпадает с графиком функции на [0.801,1.2]

Рис.4

В точках разбиения функции высчитываем сглаживающие многочлены – полиномы 3-й степени.

Для отрезка [x1,x2] полином будет выглядеть так:

Коэффициенты полинома найдем из следующей системы:

где – интерполяционный многочлен, выбранный для данного отрезка.

На отрезке [0.4,0.401] получаем:

Получаем многочлен

На отрезке [0.8,0.801] получаем:

Получаеммногочлен

Уточнение корней на интервале. ε = 0.0001

Как видно из графика, функция yпересекает ось Ox 4 раза, то есть имеет на интервале [0..1.2] 4 корня. Их удобно уточнять методом касательных, т.к. функция yне задана аналитически.

Пусть Тогда:

гдеa,b – верхняяинижняяграницыотрезка, накоторомуточняетсякорень. Выбор неподвижной границы (назовем ее с) зависит от условия: , при этом для всех приближений xi выполняется условие:

1-й корень уточняется на т.е. (кривая вогнута), g(а) =1.6539>0. Значит,

i	xi	g(xi)
0	0.1150	-7.9507
1	0.1026	-0.2053
2	0.1023	5.5753*10^-3
3	0.1023

x2=x3. На 2й итерации получаем x = 0.1023.

2й корень уточняется на [0.205,0.207], т.е. (кривая выпуклая), . Значит,

i	xi	g(xi)
0	0.2070	0.3659
1	0.2065	0.1412
2	0.2063	0.0513
3	0.2062	6.2637*10^-3
4	0.2062

x3=x4. На 3-й итерации получаем x = 0.2062.

3й корень уточняется на [0.38,0.4], т.е. (кривая выпуклая), . Значит,

i	xi	g(xi)
0	0.4000	-0.6179
1	0.3870	-0.2115
2	0.3843	-0.0299
3	0.3840	-7.5654*10^-3
4	0.3840

x3=x4. На 3-й итерации получаем x = 0.3840.

4й корень уточняется на [0.417,0.42], т.е. (кривая выпукла), . Значит,

i	xi	g(xi)
0	0.42	0.1325
1	0.4181	-6.6486*10^-4
2	0.4181

x1=x2. На 1-й же итерации получаем x = 0.4181.