1. Векторы § 1 Векторы. Операции над векторами. Проекция вектора на ось

1.1. Основные понятия

Величины, которые полностью определяются своими численными значениями, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: масса, объем, работа, длина, площадь, температура.

Другие величины, например, сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называются векторными.

Определение: Вектором называется направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В. Если точки А и В совпадают, то вектор называется нулевым и обозначаетсяили просто0. Вектор обозначается так или , или выделяется жирным шрифтома. Направление вектора на рисунке указывается стрелкой

А Вс

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается: ,.

Определение: Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор будем считать направленным одинаково с любым вектором. Длина его равна нулю, т. е. =0. Теперь можно сформулировать важное понятие равенства двух векторов.

Определение: Векторы иназываются равными, если они коллинеарны, одинаково направленные и их длины равны.

На рисунке изображены слева неравные, а справа - равные векторы и .

Всякие векторы можно «привести к общему началу», т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало в некоторой точке О. Такое приведение показано на рисунке ниже.

О

В связи с этим векторы называются свободными.

1.2. Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называются операции сложения, вычитания и умножения вектора на число. Эти действия имеют много общих свойств с алгебраическими действиями, поэтому учение о действиях над векторами называется векторной алгеброй.

Сложение векторов.

Пусть даны два вектора и . Суммой+называется вектор, который идет из начала векторав конец векторапри условии, что вектор приложен к концу вектора . (Правило треугольника.) Графически это выглядит так:

Сумму двух векторов можно найти по правилу параллелограмма, для этого вектор приложите к началу вектора, достройте полученную фигуру до параллелограмма. Диагональ, выходящая из начала векторов - есть вектор суммы, т.е. +=.

Замечание: Определив сумму двух векторов, можно найти сумму любого числа данных векторов. Пусть, например, даны три вектора,, Сложиви, получим вектор+. Прибавив теперь к нему вектор, получим вектор++ =

Умножение вектора на число

Пусть дан вектор ≠ 0и число . Произведением называется вектор, который коллинеарен вектору, имеет длину, равную, и направление такое же, как и вектор , если  0, и противоположное, если  0.

 , (0)  , (0)

Геометрический смысл операции умножения вектора на число0 можно выразить следующим образом: если 1,то при умножении вектора на число вектор «растягивается» в раз, а если 1 — «сжимается» в 1   раз. При 0 вектор изменяет направление на противоположное. Если 0 или =, то произведениесчитаем равным нулевому вектору.

Разность векторов

Под разностью векторов и понимается такой вектор , что

Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах и , одна направленная диагональ является суммой векторов и , а другая — разностью.

Можно вычитать векторы по правилу:–= + (– ), т. е. вычитание векторов заменить сложением вектора с вектором, противоположным вектору .