1.2. Технологические коэффициенты

Предположим, что народное хозяйство подразделено на n+1 сектор; n отраслей или производственных секторов и (n+1)-й — сектор конечного спроса, представленный в таблицах 1.1 и 1.2 сектором домашних хозяйств. Для целей математических преобразований физический выпуск сектора i обычно обозначается через х_i, символ x_ij представляет количество продукции сектора i, используемой в качестве затрат сектором j. Количество продукции сектора i, доставляемое сектору конечного спроса х_i,n+1, обычно обозначается для краткости как y_i.

Объем выпуска сектора i, используемого сектором j при производстве единицы его совокупного выпуска j, обозначается символом a_ij и называется коэффициентом затрат продукта i в секторе j:

. (1.1)

Множество всех коэффициентов затрат всех секторов рассматриваемой экономики, представленных в форме прямоугольной таблицы, соответствующей таблице межотраслевого баланса для той же самой экономики, называется структурной матрицей этой экономики. Таблица 1.3 представляет структурную матрицу экономики, матрица потоков которой показана в таблице 1.1. Матрица потоков — это обычный (хотя не обязательно единственно возможный) источник эмпирической информации о структуре затрат различных секторов экономики. Элементы таблицы 1.3 вычислены в соответствии с формулой (1.1) на основе данных, представленных в табл. 1.2:

На практике структурные матрицы обычно вычисляются на основе межотраслевого баланса в стоимостном выражении, как, например, табл. 1.2. Но во всех случаях коэффициенты затрат — для аналитических целей, описываемых ниже, — должны интерпретироваться как отношения двух количеств, измеренных в физических единицах. Для того чтобы подчеркнуть это обстоятельство, мы построили структурную матрицу (табл. 1.3) в этом примере на основе таблицы 1.1, а не таблицы 1.2.

ТАБЛИЦА 1.3

Упрощенная матрица структурных коэффициентов в трехсекторной экономике

В / /Из	Сектор 1 Сельское хозяйство	Сектор 2 Промышленность	Сектор 3 Домашнее хозяйство
Сектор 1 Сельское хозяйство	0,25 = 25/100	0,40 = 20/50	0,183 = 55/300
Сектор 2 Промышленность	0,14 = 14/100	0,12 = 6/50	0,10 = 30/300
Сектор 3 Домашнее хозяйство	0,8 = 80/100	3,6 = 180/50	0,133 = 40/300

Статическая система межотраслевых связей.

Баланс между совокупным выпуском и суммарными затратами продукции каждого сектора, показанный в нашем примере в таблицах 1.1 и 1.2, может быть описан следующей системой уравнений:

(1.2)

Подстановка уравнений (1.1) в уравнения (1.2) приводит к соотношениям общего равновесия между совокупными выпусками х1, х2, ..., хn всех производящих секторов и списком товаров у1, у2, ..., уn для сектора конечного спроса, потребляемых домашними хозяйствами, правительством, другими потребителями, входящими в этот сектор:

(1.3)

Если конечный спрос у1, у2, ..., уn, потребляемых домашними хозяйствами и всеми другими секторами, выпуски которых не представлены переменными, указанными в левой части системы уравнений (1.3), предполагается заданным, то эта система может быть решена и могут быть найдены величины n совокупных выпусков х1, х2, …, хn.

Общее решение этих уравнений равновесия, представляющее «неизвестные» х в терминах заданных у, может быть записано в следующем виде:

(1.4)

Постоянные Аij показывают, насколько увеличится выпуск х_i сектора i при увеличении у_i, то есть количества товара j, потребляемого домашними хозяйствами (или любым другим потребителем этого сектора) на единицу. Такое увеличение будет воздействовать на сектор i как прямо, так и косвенно, если i=j; но когда i не равно/, влияние на выпуск х_i будет лишь косвенным, так как сектор i должен обеспечивать дополнительные затраты всех других секторов, которые в свою очередь должны прямо или косвенно обеспечивать увеличение поставки y_j, осуществляемой сектором j потребителям сектора конечного спроса (для конечного использования). С вычислительной точки зрения это означает, что величина каждого из коэффициентов А в «решении» (1.4) зависит, вообще говоря, от всех коэффициентов а, входящих в левую часть системы уравнений (1.3). На математическом языке матрица

постоянных коэффициентов, указанных в правой части решения (1.4), является обратной для матрицы

постоянных коэффициентов, входящих в левую часть уравнений (1.3). Выполняемые при нахождении такого решения вычисления называются обращением матрицы коэффициентов этих исходных уравнений.

Обратной матрицей для матрицы

основанной на табл. 1.3, является матрица

Подстановка ее в решение (1.4) даст два уравнения:

x1 = 1,457y1 +0,6623у2

х2 = 0,231y1 + 1.2417y2, (1.5)

которые позволяют нам определить величины x1 и х2 совокупных выпусков сельскохозяйственного и промышленного секторов, корреспондирующие с любой заданной комбинацией поставок их продуктов yi и у2 экзогенному сектору — домашним хозяйствам. Для проверки этого результата на основе сопоставления этих выпусков с корреспондирующими элементами табл. 1.1 положим у1=55 и у2 =30 для величин в правых частях двух уравнений (1.5). Эти уравнения приводят к x1=100 и х2 = 50.

Только в том случае, если все элементы Аij обратной матрицы неотрицательны, для любого заданного множества конечных поставок у1, у2, …, yn всегда существует комбинация положительных совокупных выпусков x1, ... , xn, способных обеспечить эти поставки. Достаточным условием выполнения этого требования является положительность определителя матрицы

и всех ее главных подматриц³,

Если это так называемое условие Хаукинса — Саймона выполняется для одной произвольно пронумерованной последовательности секторов, оно необходимо выполняется также для любой другой последовательности. Материальная интерпретация этого условия состоит в том, что если экономическая система, в которой каждый сектор функционирует, непосредственно или косвенно потребляя продукцию других секторов, должна быть способна не только обеспечивать саму себя, но и осуществлять положительные поставки для конечного спроса, то и любая из ее подсистем должна быть способна осуществлять то же самое. Если хотя бы одна из подсистем не может удовлетворить этому тесту, она неизбежно вызывает утечку, которая нарушит способность самоподдержки всей системы⁴.

Более простое достаточное, но не необходимое условие способности к самоподдержке экономики состоит в требовании, чтобы сум-

1 Эта статья под названием Input-Output Analysis была опубликована в Encyclopedia of Material Science and Engineering. Oxford: Pergamon Press,1985.

2Зоны больших городов и прилегающих к ним районов

3В оригинале дважды допущена опечатка: условие положительности определителя сформулировано для матрицы

4В математической экономике и теории межотраслевых моделей это свойство принято называть продуктивностью. О понятии продуктивности, необходимых и достаточных условиях продуктивности в модели межотраслевого баланса см.: Гранберг А.Г. Моделирование социалистической экономики. М.: Экономика, 1988.

30