Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Уфимский государственный нефтяной технический университет»

Кафедра автоматизации технологических процессов и производств

Курсовой проект

по курсу

«Теория систем»

Вариант 12.

Выполнил: ст.гр. БАТ-11-01 З.А.Нусратуллина

Проверил: ассистент О.И.Гаевская

Уфа 2012

СОДЕРЖАНИЕ

С.

1 Содержание 2

2 Задание 3

2.1 Выделение подсистем на основе некоторой меры 3-10

2.2 Выбор типов шкал 11-12

2.3 Определение порядка проведения работ 13-15

2.4 Построение моделей систем 16

2.5 Анализ иерархий 17-20

3 Заключение 21

4 Список литературы 22

5 Приложения 23-29

ЗАДАНИЯ

2.1 Выделение подсистем на основе некоторой меры

Исходной информацией для выполнения данной части является структура системы в виде взвешенного ориентированного графа (таблица 1).

Таблица 1 –Дуги графа

Дуги графа
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Исх. Вх. Вес	1 2 0,4	1 3 0,2	2 4 0,8	3 6 0,9	4 1 0,5	5 2 0,1	5 7 0,6	6 3 0,9	6 7 0,5	7 5 0,8	7 3 0,4

В таблице 1 обозначено: «Исх.» - начало дуги графа, «Вх.» - конец.

Для заданной системы требуется:

- построить граф системы;

- определить матрицы смежности, инцидентности и контуров;

- определить все элементарные пути из узла х в узел у;

- определить передаточную функцию системы по пути от х=5 к у=7 по формуле Мезона;

- найти определитель системы;

- выделить 2 – 3 несвязных контура как подсистемы и определить их связность;

- рассчитать изменение энтропии системы и вероятности нахождения в каждом из узлов.

Решение

С помощью исходных данных построим граф системы (рисунок 1). Граф – это геометрическая фигура, построенная на множестве вершин и ребер. Определим веса всех возможных путей от входа к выходу системы, где дуги не повторяются:

P₁=|V₅-V₇|=r₅₇=0,6;

P₂=|V₅-V₂-V₄-V₁-V₃-V₆-V₇|=

=r₅₂*r₂₄*r₄₁*r₁₃*r₃₆*r₆₇=0,1*0,8*0,5*0,2*0,9*0,5=0,0036.

Рисунок 1 – Граф системы

Переделаем рисунок графа системы в более удобный и понятный вариант (рисунок 2):

Рисунок 2 – Грай системы

Дальше построим матрицу смежности, используя граф рисунка (таблица 2):

Таблица 2 – Матрица смежностей

	V1	V2	V3	V4	V5	V6	V7
V1	0	0	0	1	0	0	0
V2	1	0	0	0	1	0	0
V3	1	0	0	0	0	1	1
V4	0	1	0	0	0	0	0
V5	0	0	0	0	0	0	1
V6	0	0	1	0	0	0	0
V7	0	0	0	0	1	1	0

Так же построим матрицу инцидентности (таблица 3):

Таблица 3 – матрица инцидентности

	r12	r13	r24	r36	r41	r52	r57	r63	r67	r73	r75
V1	1	1			-1
V2	-1		1			-1
V3		-1		1				-1		-1
V4			-1		1
V5						1	1				-1
V6				-1				1	1
V7							-1		-1	1	1

Выделим все элементарные контура графа системы и определим их веса:

K₁=|V₅-V₂-V₄-V₁-V₃-V₆-V₇-V₅|=r₅₂*r₂₄*r₄₁*r₁₃*r₃₆*r₆₇*r₇₅=0,1*0,8*0,5*0,2*

*0,9*0,5*0,8=0,00288;

K₂=|V₇-V₅-V₇|=r₇₅*r₅₇=0,8*0,6=0,48;

K₃=|V₂-V₄-V₁-V₂|=r₂₄*r₄₁*r₁₂=0,8*0,5*0,4=0,16;

K₄=|V₇-V₃-V₆-V₇|=r₇₃*r₃₆*r₆₇=0,4*0,9*0,5=0,18;

K₅=|V₃-V₆-V₃|=r₃₆*r₆₃=0,9*0,9=0,81.

Составим матрицу контуров (таблица 4):

Таблица 4 – Матрица контуров

	r12	r13	r24	r36	r41	r52	r57	r63	r67	r73	r75
К1	0	1	1	1	1	1	0	0	1	0	1
К2	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	1
К3	1	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0
К4	0	0	0	1	0	0	0	0	1	1	0
К5	0	0	0	1	0	0	0	1	0	0	0

По формуле Мезона определим эквивалентный оператор, описывающий связь от i-го узла к j-му узлу с учетом всех связей графа:

_экв=_i*i)/,

где _i – вес i-го пути от входа к выходу;

_i – минор i-го пути;

- определитель графа.

Определитель графа вычисляется по формуле:

=1-_i+_n*_m-_p*_r*_l,

где _i - сумма всех контуров;

_n*_m сумма произведений пар не касающихся контуров;

_p*_r*_l - сумма произведений троек не касающихся контуров.

i вычисляется по той же формуле, что и определитель в котором удалены вершины i-ой пути.

=1-(0,00288+0,48+0,16+0,18+0,81)+( 0,48*0,16+0,16*0,18+0,81*0,16+

+0,48*0,81)-( 0,48*0,16*0,81)=-0,730064.

После удаления вершин 1-го пути граф будет иметь вид (рисунок 3):

Рисунок 3 – Граф без вершин 1-го пути

₁=1-( K₃₊ K₅)+( K₃*K₅)=1-(0,16+0,81)+ (0,16*0,81)=0,1596.

После удаления вершин 2-го пути контуров не остается, следовательно минор 2-го равен единице.

_экв=(0,6*0,1596+0,0036*1)/-0,730064=-0,1360977.

Расчет энтропии системы.

H(s)=H₀(s)-H_уст(s),

H(s)= - ∑(P_i*log₂P_i),

где P_i - вероятность нахождения системы в том или ином состоянии.

∑P_i =1.

Для расчета изменения энтропии системы через вероятностные состояния используем метод Колмогорова.

Построим структурную схему состояний подсистемы S (рисунок 4).

Рисунок 4- Структурная схема состояний

Для начального состояния:

Р₇=Р₆=Р₅=Р₄=Р₃=Р₂=Р₁=1/7;

H₀(s)=-1* log₂(1/7)= 2,807.

Формула Колмогорова для скорости изменения вероятности нахождения системы в том или ином состоянии:

dP_i /dt=Σλ_j*P_j – Σλ_i*P_i,

где λ – интенсивность перехода их одного состояния в другое (равна массе соответствующих дуг).

Для каждого состояния системы запишем формулу Колмогорова:

dP₁ /dt=λ₄₁*P₄ – (λ₁₃+λ₁₂)*P₁;

dP₂ /dt= λ₁₂*P₁+λ₅₂*P₅ – λ₂₄*P₂;

dP₃/dt= λ₆₃*P₆+λ₁₃*P₁+λ₇₃*P₇– λ₃₆*P₃;

dP₄ /dt=λ₂₄*P₂ –λ₄₁*P₄;

dP₅ /dt=λ₇₅*P₇ – (λ₅₂+λ₅₇)*P₅;

dP₆ /dt=λ₃₆*P₃ – (λ₆₃+λ₆₇)*P₆;

dP₇ /dt= λ₅₇*P₅+ λ₆₇*P₆ – (λ₇₃+λ₇₅)*P₇.

Так как мы считаем установившийся режим, то можно принять, что скорости изменения вероятностей равны нулю. Учитывая то, что сумма всех вероятностей равно единице составим систему:

Решим данную систему в scilab-5.4.0 3 способами, для этого будем вводить матрицу коэффициентов системы в массив A, а вектор правой части системы в массив b.

1 способ: при помощи символа \ :

2 способ: методом обратной матрицы:

3 способ - метод Гаусса:

Отсюда получаем:

Р₁=0.0884956,

Р₂=0.0663717,

Р₃=0.2477876,

Р₄=0.1061947,

Р₅=0.1769912,

Р₆=0.1592920,

Р₇=0.1548673.

H_уст(s)= - ∑(P_i*log₂P_i)= -(0.0884956*log₂0.0884956+0.0663717*

*log₂0.0663717+0.2477876*log₂0.2477876+0.1061947*log₂0.1061947+

+0.1769912*log₂0.1769912+0.1592920*log₂0.1592920+0.1548673*

*log₂0.1548673=2.69268.

H(s)=2,807-2.69268=0.11432>0.

Суммарная энтропия элементов установившегося состояния равна 2.69268, соответственно, изменение энтропии составило 0.11432, и так как энтропия системы больше нуля, то система стремится к порядку.