1. Приведення рівняння до безрозмірної форми

Вихідне рівняння має вигляд:

; (1)

Його можна значно спростити, не зменшуючи(навіть збільшуючи) узагальненості одержуваних результатів, якщо замість нього розглядати його безрозмірний аналог, тобто таке рівняння в якому усі величини не мають фізичної розмірності.

Задане рівняння двоступеневого гірокомпаса переведемо до безрозмірної форми:

Для цього усі члени рівняння (1) поділимо на масу

.

Коефіцієнт можна позначити , як квадрат деякої величини:

Величина

має розмірність кутової швидкості і вимірюється у радіанах за секунду. Як в подальшому стане ясним, вона є коловою частотою власних коливань системи, за умови, що тертя відсутнє .

Коефіцієнт при другому члені лівої частини можна подати як добуток деякої безрозмірної величини на величину введеної частоти власних коливань:

Введений у такий спосіб безрозмірній коефіцієнт:

Зазвичай даний коефіцієнт називають коефіцієнтом згасання. Він характеризує властивості коливальної ланки.

З урахуванням цих перетворень рівняння можна подати у вигляді:

(2)

Тепер введемо поняття безрозмірного часу , який пов’язаний зі звичайним часом співвідношенням:

(3)

Зміст безрозмірного часу досить простий ,- це час , який вимірюється в одиницях періоду власних коливань системи.

Замінимо розмірний час на безрозмірний. Похідна за часом

Позначено, що ’’ штрих’’ похідна по безрозмірному часу.

Зробимо ще деякі позначення:

; ;- відносна частота зовнішньої сили.

Остаточно одержимо:

; (1)

2. Знаходження точного розв'язку рівняння

Точний розв’язок лінійного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами можна подати у вигляді

, (2)

де - загальний розв'язок відповідної однорідної системи диференційних рівнянь (тобто такої, у який відкинуті усі члени, що залежать тільки часу; - деякий частковий розв'язок початкової системи.

Відповідно однорідне рівняння має вигляд:

(3)

Характеристичне рівняння його буде мати вигляд

+2

Корені цього квадратного рівняння матимуть вигляд, враховуючи що :

;

Тому загальний розв’язок однорідного рівняння можна подати так:

(4)

Частковий розв’язок рівняння шукатимемо у вигляді:

. (5)

Продиференціюємо вираз (5)

, ` (6)

і другий раз

. (7)

Коефіцієнти ,знаходяться шляхом підставляння (5) (6) (7) у рівняння(1) і прирівнювання коефіцієнтів у лівій і правій частині при:

- сталих членах;

- синусах від ;

- косинусах від _.

Система рівнянь:

Розв’язуючи ці алгебраїчні рівняння, отримаємо:

;

; (8)

Отже загальний розв’язок (2) рівняння набуде вигляду:

(9)

Похідна від цього розвязку матиме вигляд

(9)

Сталі інтегрування A i B визначаються підстановкою в (9), (10) початкових умов:

.

В результаті отримаємо рівняння:

з яких виходить:

B=;A=;

3. Підбирання початкових умов

Для утворення програми важливо , з метою зменшення очікуваного терміну інтегрування диференційного рівняння, підібрати такі початкові умови з умови відсутності у вихідному процесі власних коливань .

Для відсутності коливань системи сталі інтегрування повинні дорівнювати нулю, тоді

A=0

B=0

Тому початкові умови будуть наступними:

;

;