Раздел 5. Алгебраический метод

По структурно-математической схеме определяем дифференциальное уравнение линейной части системы при отключенной местной обратной связи и :

(5.1)

Для линейного звена запишем гармонически линеаризованное выражение:

(5.2)

где для нелинейности

(5.3)

Подставляя значение u из уравнения (5.2) в уравнение (5.1), получим линеаризованное уравнение замкнутой нелинейной системы

(5.4)

где - коэффициент усиления линейной части системы.

Этому дифференциальному уравнению соответствует характеристическое уравнение

_(5.5)

Условие существования в уравнении (5.4) периодического решения

(5.6)

Будем отыскивать с помощью критерия Михайлова. Для этого в характеристический полином

(5.7)

Подставим , выделим вещественную и мнимую части и приравняем их нулю:

(5.8)

Из второго уравнения системы (5.8) найдем искомую частоту периодического решения

Подставим это решение в первое уравнение (5.8) и найдем выражение, связывающее амплитуду периодического решения a=A с параметрами системы:

(5.9)

Отсюда получим:

Для исследования устойчивости найденного периодического решения воспользуемся приближенным аналитическим условием, согласно которому периодическое решение устойчиво, если выполняется неравенство:

(5.10)

Из выражений (5.8) находим

Подставим выражения для частных производных в (5.10) и одновременно произведем замену

Получим условие устойчивости периодического решения в виде

(5.11)

В данном случае условие существования периодического решения имеет вид:

Следовательно, автоколебания отсутствуют, состояние равновесия системы устойчиво.

Раздел 6. Метод гармонической линеаризации.

Введем следующие обозначения:

–коэффициент усиления линейно части системы.

Построим амплитудно-фазовую частотную характеристику линейной части системыи годограф гармонически линеаризованного нелинейного звена. Согласно структурно-математической схеме частотная передаточная функция линейной части системы равна:

,

ее модуль

и фаза

Её вещественная и мнимая части соответственно равны:

616Equation Chapter 6 Section 1767\* MERGEFORMAT (.) 816Equation Chapter 6 Section 1

(6.2)

Задаваясь значениями от 0 до916Equation Chapter 6 Section 1, по формулам (3.1) и (3.2) строим амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы

Рис. 3. Частотные характеристики линейной части системы и нелинейного звена.

Гармонически линеаризованная передаточная функция нелинейного звена равна:

После подстановки численных значений параметров нелинейного звена получим:

(6.3)

Задаемся значениями оти строим годограф нелинейного звена(см. рис. 3). Минимальное значение модуля функции:

достигается при 0,837. Годографы ине пересекаются. Это означает, что состояние равновесия системы устойчиво, автоколебания отсутствуют.