4. Зведення рівняння до нормальної форми Коші

Методи чисельного інтегрування орієнтовані на системи диференційних рівнянь, приведених до нормальної форми Коші - це подання системи звичайних диференційних рівнянь, у вигляді сукупності диференційних рівнянь 1-го порядку розміщених відносно похідних:

Z₁,Z₂,Z₃ – відомі функції змінних у і часу t.

Змінні у₁…у_n, які допускають можливість такого представлення рівнянь, називаються змінними стану системи або фазовими змінними системи.

Тому приведемо рівняння до цієї форми. Для цього позначимо:

; .

Подамо рівняння у вигляді наступної системи диференціальних рівнянь першого порядку, за новими змінними (змінними стану):

Це і є нормальна форма Коші.

5. Складання м-файлу правих частин рівняння у формі Коші

Для складання програми введемо позначення:

Підпрограма правих частин матиме вигляд:

function Z=KolZv(t,y);

global F0 Fm v Eps Dz

Z(1)=y(2);

Z(2)=F0+Fm*sin(v*t+Eps)-2*Dz*y(2)-y(1);

6. Складання підпрограми методу інтегрування

	переміщення тіла відносно основи у напрямку дії сили
	маса
	жорсткість пружини
	коефіцієнт в’язкого тертя демпфера
	величина сталої
	амплітуда змінювання сили
	колова частота змінювання сили

Метод Рунге - Кутта четвертого порядку настільки широко розповсюджений, що його часто називають просто методом Рунге - Кутта.

Розглянемо задачу Коші:

Тоді наближене значення в наступних точках обчислюється за по ітераційній формулі :

В даному випадку ми маємо метод 4-го порядку, який є одним з найбільш вживаних на практиці, так як забезпечує високу точність і в той же час відрізняється порівняльною простотою. Тому в більшості випадків він згадується в літературі просто як «метод Рунге-Кутта» без зазначення його порядку.

Цей метод має четвертий порядок точності, тобто сумарна помилка на кінцевому інтервалі інтегрування має порядок (помилка на кожному кроці порядку).

Ще нам потрібно створити програму метода інтегрування випадку це метод Ейлера.

Нижче подана загальна характеристика цього методу(Таблиця 1).

Порядок методу	Формула методу	Допоміжні величини	Назва методу
4			Рунге-Кутта

Таблиця 1.

Текст підпрограми інтегрування має вигляд:

function [yout,tout]=RK41GAI(Zpfun,t,y,h)

%Грандюк Андрій,ПГ-11

K1=feval(Zpfun,t,y);

K2=feval(Zpfun,t+h/2,y+h/2*K1);

K3=feval(Zpfun,t+h/2,y+h/2*K2);

K4=feval(Zpfun,t+h,y+h*K3);

F=(K1+2*K2+2*K3+K4)/6;

yout=y+h*F;

tout=t+h;

7. Створення керуючої програми

Текст керуючої програми за допомогою якої ми вводимо параметри диференціального рівняння та його початкові умови, організовує процес покрокового чисельного інтегрування диференціального рівняння за допомогою методу Ейлера 1.1, має такий вигляд:

%Основна програма

%Грандюк Андрій,ПГ-11

clear all,clc

global F0 Fm v Eps Dz

%Введення первісних даних

F0=0.1;

Fm=1.5;

v=3;

Eps=0;

Dz=0.4;

%Розрахунок коефіцієнтів значеннь

M0=F0;

Ms=(Fm*cos(Eps)*(1-v^2)+Fm*sin(Eps)*2*Dz*v)/((1-v^2)^2+4*v^2*Dz^2);

Mc=(Fm*sin(Eps)*(1-v^2)-Fm*cos(Eps)*2*Dz*v)/((1-v^2)^2+4*v^2*Dz^2);

x0=M0+Mc;

xt0=Ms*v;

omo=sqrt(1-Dz^2);

%Крок інтегрування

h=0.01;

%Підготовка початкових умов

t=0;

y=[x0,xt0];

T=30;

K=1;

tt(K)=t;

X(K)=y(1);

%Цикл інтегрування

while t<T

[yout,tout]=RK41GAI('KolZv',t,y,h);

y=yout;

t=tout;

K=K+1;

tt(K)=t;

X(K)=y(1);

end

%Розрахунок початкових значення точного розв'язку

Xt=M0+Mc.*cos(v*tt)+Ms.*sin(v.*tt);

%Формування похибок

dX=X-Xt;

%Виведення графіка

subplot(2,1,1)

plot(tt,X,tt,Xt,'.-'),grid

title('Рівняння: X''''+2\zetaX''+X=F_0+F_msin(\nut+E) Рунге-Кутта');

xlabel('Час t')

ylabel('Похибка інтегрування методом RK-41');

legend('Проінтегрований процес','Точний процес','FontName','MS Sans Serif')

subplot(2,1,2)

plot(tt,dX),grid

set(gca,'FontName','MS Sans Serif')

gtext('Грандюк Андрій','FontName','MS Sans Serif')

strh=sprintf('Крок інтегрування h=%g',h)

xlabel([strh,' '])

ylabel('Похибка')