Топологический метод:

Составим матрицу А, где каждая строка будет соответствовать узлу по принципу: если ток втекает в узел то пишем -1, если вытекает то 1 и 0 если не имеет отношения к узлу.

A =

Составим диагональную матрицу из Yn (n=1..8):

Y =

Составим матрицу E, поставив значение En в строки, с их порядковым номером:

E =

И матрицу J:

J =

Теперь составим матричное уравнение и решим его в MATLAB:

φ_a = 7.6316 + 7.0543iВ

φ_b = 3.1861 + 6.5077iВ

φ_c = -30.8600 -26.3300iВ

φ_d = 10.2397 + 1.0644iВ

φ_e = 0

Значения потенциалов совпали.

Задание 5

Определить режимы работы источников. Составить уравнение баланса мощности. Определить расхождение баланса мощностей источников и потребителей в процентах.

Проверим выполнения баланса мощностей в цепи . Он устанавливает равенство (баланс) алгебраической суммы мощностей, развиваемых источниками энергии, сумме мощностей, расходуемых приемниками энергии.

,

где - алгебраическая сумма мощностей источников ЭДС, причем мощность положительна, если направлениеисовпадают, и отрицательна - если не совпадают;

- алгебраическая сумма мощностей источников тока .

Мощность положительна ,если ток источника тока подтекает к точке с большим потенциалом, и отрицательна, если это условие не выполняется;

-сумма мощностей, потребляемых всеми сопротивлениями, где все слагаемые положительны.

Исходя из вышеуказанных правил составим уравнение:

∙Z₁ + ∙Z₂ + ∙Z₃ + ∙Z₄ + ∙Z₅ + ∙Z₆ + ∙Z₇ + ∙Z₈ + J₉∙U₉ = E₂∙I₂ + E₃∙I₃

11.3913 +16.3033i = 11.6700 +15.7170i

∙Z₁ + ∙Z₂ + ∙Z₃ + ∙Z₄ + ∙Z₅ + ∙Z₆ + ∙Z₇ + ∙Z₈ + J₉∙U₉ = 11.3913 +16.3033i

E₂∙I₂ + E₃∙I₃ = 11.6700 +15.7170i

11.3913 +16.3033i ≈ 11.6700 +15.7170i

Таким образом баланс мощностей выполняется.

Задание 6

Определить число необходимых уравнений, составленных по законам Кирхгофа. Составить уравнения по законам Кирхгофа для расчета токов и рассчитать их.

Электрическая схема содержит 9 ветвей и 5 узлов. Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа. Число их на единицу меньше числа узлов y=Nуз-1(для схемы с пятью узлами нужно составить четыре таких уравнения которые являются линейно-независимыми):

a) –I₁ + I₄ – I₅ + J₉ = 0,

b) I₁ + I₂ - I₆ - J₉ = 0,

c) -I₂ – I₃ + I₇ = 0,

d) I₃ – I₄ – I₈ = 0,

Если к одному из узлов присоединен источник тока, то ток этого источника тоже должен быть учтен.

Выбираем произвольно направление обхода каждого контура и составляем уравнения по второму закону Кирхгофа.

Контуры, для которых составляются уравнения, нужно выбирать так, чтобы каждый из них включал в себя хотя бы одну новую ветвь. Только при этом условии уравнения будут независимы друг от друга, а контуры - независимыми. Число уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа, вычисляется по формуле:

k=Nв – Nуз + 1 – Nт = 9-5+1-1=4,

где Nв-число ветвей, Nуз- число узлов,Nт– число источников тока.

I_1*Z₁ - I_5*Z₅ + I_6*Z₆ =0,

I_2*Z₂ + I_6*Z₆ + I_7*Z₇ = E₂,

I_3*Z₃ + I_7*Z₇ + I_8*Z₈ = E₃,

I_4*Z₄ + I_5*Z₅ - I_8*Z₈ = 0.

В этих уравнениях все ЭДС и токи, совпадающие с направлением обхода контура, записываются со знаком плюс; ЭДС и токи, направленные навстречу обходу - со знаком минус.

Общее число уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, равно числу неизвестных токов, т.е. числу ветвей за исключением ветвей с источниками тока.

Уравнения Кирхгофа представим в матричной форме:

Вычислим значения токов в MATLAB:

I₁ = 0.0105 - 0.0471i

I₂ = 0.0891 + 0.0604i

I₃ = 0.3067 + 0.0285i

I₄ = 0.2149 - 0.0845i

I₅ = 0.2044 - 0.0375i

I₆ = 0.0996 + 0.0133i

I₇ = 0.3958 + 0.0889i

I₈ = 0.0918 + 0.1130i

Значения токов совпали с ранее найденными.