1.2 Соприкасающаяся плоскость в произвольной и выбранной точке.

Рассмотрим плоскости, проходящие через касательную кривой (t) в точке Р=Р (t₀) кривой. При изменении параметра t получаем вектор . Для вектора имеет место формула Тейлора:

₌+ ₊ , 0.

Точка М(t₀+∆t) кривой и касательная P, ꞌ(t₀)определяют плоскость

=P, ꞌ(t₀), ꞌ(t₀+∆t).

Нормальный вектор плоскости есть ꞌ(t₀)ꞌ(t₀+∆t).

Плоскость P , ꞌ(t₀), ꞌꞌ(t₀) называетсясоприкасающейся плоскостью кривой в точке t₀ .

Уравнение соприкасающейся плоскости:

Практическая часть нахождения соприкасающейся плоскости в произвольной и в выбранной точке

Найдем формулу соприкасающейся плоскости в произвольной и выбранной точке:

=

=0.

Мы нашли формулу соприкасающейся плоскости в произвольной точке. Теперь найдем в произвольной точке, которую мы ранее приняли равной :

= =0.

Соприкасающаяся плоскость в выбранной точке найдена.

1.3 Кривизна и кручение кривой. Вычислительные формулы для кривизны и кручения.

Величина k₁ называется кривизной или первой кривизной кривой r(s) в точке Р; функция k_{1 =} k₁(s) называется функцией кривизны кривой r(s), k₁ ≥ 0,

(s) –вектор кривизны кривой (s).

Величина k₂ называется кручением кривой ꞌ(s) или второй кривизной кривой (s) в точке Р. При движении точки Р по кривой (s), т.е. с изменением параметра s, имеем функцию k₂= k₂(s) – функцию кручения. Знак величины k₂ может быть и положительным, и отрицательным

k₁=(1);

k_{2 = (2).}

Практическая часть вычисления кривизны и кручения в произвольной и выбранной точке

Вычислим, имея компоненты нашей кривой: кривизну и кручение в произвольной и выбранной точке.

Кривизна кривой () в произвольной точке вычисляется согласно формуле (1).Подставляем наши координаты в эту формулу, получаем:

Мы нашли кривизну кривой в произвольной точке. Найдем кривизну выбранной точке, подставив вместо значение равное 1, которое мы выбрали ранее.

Кривизна кривой в выбранной точке найдена.

Кручение кривой () в произвольной точке вычисляется согласно формуле (2).Подставляем наши координаты в эту формулу, получаем:

Мы нашли кручение кривой в произвольной точке. Найдем кручение выбранной точке, подставив вместо значение равное 1, которое мы выбрали ранее.

Кручение кривой в выбранной точке найдена.

1.4 Построение кривой

Изобразим нашу кривую; она будет иметь следующий вид:

• 2.Поверхности евклидова пространства.

Нам даны компоненты поверхности: x=,y=,z=Найдем на ее примере уравнение касательной плоскости и нормали, первую и вторую квадратичные формы в произвольной и выбранной точке. Вычислим полную и среднюю кривизны поверхности. Изобразим поверхность.

2.1 Касательная плоскость и нормаль поверхности.

Пусть P – точка регулярной поверхности (u,v). В этой точке имеем неколлинеарные векторы . Для любой линии(t) = (u(t),v(t)) выполняется .

Касательная прямая P , ꞌ(t)всякой кривой(t) = (u(t),v(t)) поверхности (u,v) лежит в плоскости . Касательные всех линий поверхности(u,v) ,проходящих через точку Р, образуют плоскость.

Пусть Р=(x₀,y₀,z₀) и производные вычислены в точке Р.

Тогда уравнение касательной плоскости таково

.

Прямая называется нормалью поверхности(u,v) в точке Р. Ее уравнение

Нахождение касательной плоскости и нормали в произвольной и выбранной точке.

Вычислим производные по u и v. Получим следующее:

Возьмем точки =,=.

Найдем касательную плоскость в произвольной точке:

Уравнение касательной плоскости в произвольной точке найдено.

Найдем в выбранной точке, подставив значения и расписавsh и ch:

Мы нашли уравнение касательной плоскости в выбранной точке.

Теперь найдем уравнение нормали в произвольной и выбранной точке, используя теоретическую часть нашего вопроса, получим:

Получено уравнение нормали в произвольной точке. Найдем в выбранной:

Уравнение нормали в выбранной точке найдено.