Интервальные оценки.
Все рассмотренные выше оценки – точечные, т.е., определяемые одним числом. Но при выборке малого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра, т.е., приводить к грубым ошибкам. По этой причине распространены интервальные оценки.
Интервальной называется оценка, характеризующаяся двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить надежность и точность оценок.
Пусть * - оценка неизвестного параметра какого-то теоретического распределения. Чем точнее эта оценка, тем меньше абсолютная величина δ=|*-|. Величина δ, таким образом, характеризует точность оценки.
Надежностью (доверительной вероятностью) называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство |*-|<δ. Обычно надежность задается заранее, причем в качестве γ берут число, близкое к единице. Стандартный уровень доверительной вероятности равен 0,9, 0,95, 0,99.
Соответственно, доверительным интервалом называется интервал, в который неизвестный параметр попадает с заданной надежностью γ.
4. Метод моментов и метод максимального правдоподобия.
При известном виде распределения случайной величины, зависящем от векторного параметра =(1,...,m), оценки этого параметра можно находить различными способами. Простейшим является метод моментов, основанный на использовании моментных характеристик. Например, для двумерного параметра можно получить такую систему
=m;
=D,
где m и D – оценки из пункта 2, gi() – некоторые функции.
Решая систему, найдем оценки параметров.
При определенных условиях бывает удобно использовать метод максимального правдоподобия. Этот метод использует функцию правдоподобия, которая представляет собой произведения вероятностей того, что в результате статистических испытаний случайная величина даст именно полученный набор элементов выборки, т.е.
=P(
=
|)P(
=
|)...P(
=
|)
Оценка наибольшего правдоподобия является аргументом, соответствующим максимуму этой функции.
Если основным достоинством метода моментов является простота, то к положительным качествам метода наибольшего правдоподобия следует отнести состоятельность и эффективность получаемых оценок, в то время, как вычисления, сопряженные с его применением, могут быть очень сложны.
5. Проверка статистических гипотез о виде закона распределения при помощи критерия Пирсона.
Статистической называется гипотеза о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.
Для того, чтобы можно было воспользоваться критерием Пирсона и определить, насколько некоторая предлагаемая модель функции распределения (и, соответственно, плотности вероятности) соответствует экспериментальным данным, необходимо построить статистику 2, вычисляемую по формуле:
При этом область значений вариационного ряда разбита на j интервалов. vi – частота попадания значений выборки в i-ый интервал, pi – теоретическое значение вероятности этого события, вычисляемое на основе проверяемой модели. Затем по заданному уровню значимости определяется квантиль распределения 2(j-m-1) и сравнивается со значением G статистики критерия Пирсона, которая для принятия гипотезы о виде распределения должна не превосходить найденную квантиль.
Гистограмма
