Архив2 / курсач docx180 / KURSACh(196)

1Кинематика плоского движения твердого тела

Условие: ОL=25 см; KH=22см; α=50°;β=10°; ε_OK=3,1c^-2; υ_K=10см/с.

Рисунок 1- кинематический механизм

Найти:скорости υ_L, υ_H, ω_KLи ускорения a_L,a_H,a_K, ε_KL.

Решение:Механизм представляет собой кривошипно-шатунный механизм

Кривошип совершает замедленное вращательное движение с угловой скоростью ω_OK и угловым ускорением ε_ОК относительно точки О (рисунок 5).

Скорость и ускорение точки К равны [2]

OK находим по теореме синусов

где – угловая скорость звена OK,с^-1;

– длина звена ОК, см.

Определим ускорение точки К. В векторной форме оно находится по формуле вида

,

где - вектор ускорения точки К,;

– нормальная составляющая вектора ускорения точки К, см/c²;

- тангенциальная составляющая вектора ускорения точки К, см/c².

Нормальное ускорение найдём по формуле

где - нормальное ускорение точки К,

- угловая скорость звена ОК, с^-1.

После подстановки получим

.

Тангенциальное ускорение найдём по формуле

где - тангенциальное ускорение точки К,см/c²;

– угловое ускорение звена ОК, с^-2.

После подстановки получим:

.

Ускорение точки К в скалярной форме найдём по формуле:

.

После подстановки получим:

.

Рисунок 2– Скорость и ускорение точки К

Шатун KLсовершает плоское движение. Точка Lпринадлежит ползуну L, который совершает движение поступательно. Скорости точек Kи Lне параллельны, следовательно, мгновенный центр скоростей P звена KLлежит на пересечении прямы, перпендикулярных скоростям точек KиL(рисунок 6). Согласно следствию к теореме Шаля имеем

Рисунок 3- определение скоростей точек H,L

где υ_K- скорость точки К,см/с;

υ_L- скорость точки L,см/с;

υ_H- скорость точки H,см/с

KP–длина от точкиK до МЦС - точки P, см;

LP -длина от точкиL до МЦС - точки P,см.

HP -длина от точкиH до МЦС - точки P,см.

Составим пропорцию вида

Для нахождения HPвыполним следующие действия

Длину HP определим из треугольника HLP по теореме косинусов. Тогда получим выражение:

Для нахождения ускорения точки Lвоспользуемся теоремой о сложении ускорений плоской фигуры, где в качестве полюса выберем точку K

где – вектор ускоренияточки L, см/c²;

– вектор ускоренияточки K, см/c²;

– вектор ускорения звена KL, см/c²;

– нормальная составляющая вектора ускорения звена KL, см/c²;

- тангенциальная составляющая вектора ускорения звена KL, см/c².

Где - ускорение точки Lв относительном вращении стержня LKвокруг полюса K(рисунок 7). Спроецируем векторное равенство на оси декартовой системы координат xLy, учитывая что

Рисунок 4- определение ускорений точки L

Получим систему линейных уравнений 2-ого порядка относительно

1. На ось ОХ :

2. На ось OY:

Из 1-ого :

Из 2-ого :

Аналогично находим ускорение точки H

Где

Рисунок 5- определение ускорения точки H

Наось x:

На осьy:

.

В результате расчётов, получили скорости и ускорения, равные:, , , , ,, .

2. Динамика механической системы

Дано: ; ;;; ; ; ;;; . Определить скорость центра масс тела 1 в тот момент времени, когда он переместится на расстояние S, и ускорение центра масс тела 1.

Механическая система движется под действием сил тяжести первого тела. Массами нитей пренебречь. Силы сопротивления в подшипниках не учитывать. Диск (каток, колесо) считать сплошным однородным телом, если радиус инерции для него не задан. Все тела в системе абсолютно твердые. Нити нерастяжимые.

Задачу решить тремя способами:

- по теореме об изменении кинетической энергии системы. Проверить результаты расчета кинетической энергии отдельных тел и всей системы, а также работ внешних сил и моментов сил на компьютере в вычислительной лаборатории на кафедре теоретической механики;

- по общему уравнению динамики;

-по уравнению Лагранжа. Провести сравнение коэффициентов в выражении кинетической энергии отдельных тел системы с коэффициентами в выражениях работы сил и моментов сил инерции этих тел соответственно.

Решим задачу по теореме об изменении кинетической энергии. Схема для решения представлена на рисунке 6

Рисунок 6 – Схема для решения задачи по теореме об изменении кинетической энергии

Для начала найдем радиусr₂. Он будет равен:

r₂=4/5·R₂=0,8·0,24=0,192см.

Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы:

,

где - кинетическая энергия системы в конце и в начале перемещения центра масс тела 1 из состояния покоя на расстояние S;

- сумма работ всех внешних сил и моментов сил на том же перемещении;

- сумма работ внутренних сил и моментов сил на рассматриваемом перемещении системы.

T₀ = 0; т.к. система движется из состояния покоя. так как тела в системе абсолютно твердые и отсутствует относительное движение тел в системе (нити нерастяжимые, качение тел по поверхностям и нитям без скольжения).

Определим кинетическую энергию системы. Она получается из суммы кинетических энергий её частей. Тогда получим выражение:

Кинематический расчет для каждого тела:

1. 

2. 

3. , , ,

4. ,

Тело 1 движется поступательно. Тогда его кинетическая энергия будет равна:

,

где - масса тела 1;

- скорость тела 1.

Тело 2 вращается. Тогда его кинетическую энергию найдём из выражения:

,

где – момент инерции;

– угловая скорость.

Преобразуя формулу, получим:

Тело 3 движется плоскопараллельно. Его кинетическая энергия складывается из кинетической энергии вращения и поступательного движения. Тогда получим выражение:

где – скорость центра масс;

- момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс С перпендикулярно плоскости тела;

– угловая скорость тела.

Скорость центра масс:

Момент инерции тела выражается формулой:

Тогда, после преобразований, формула для нахождения кинетической энергии третьего тела примет вид:

Скорость центра масс:

Тогда, после преобразований, формула для нахождения кинетической энергии четвертого тела примет вид:

,1953

После того, как мы нашли значения всех четырех частей системы, подставим их в формулу для нахождения кинетической энергии системы. Тогда получим выражение:

Далее найдём сумму работ внешних сил. Она находится из выражения:

∑,

где - работа силы тяжести тела 1;

- работа силы трения скольжения тела 2;

- работа силы тяжести тела 2;

- работа силы тяжести тела 3;

- работа силы тяжести тела 4.

.

Работу силы тяжести тела 1 вычислим по формуле:

Работа будет положительной, потому что тело 1 опускается.

Работу силы трения скольжения тела 1 вычислим по формуле:

После подстановки известных значений получим:

.(2.18)

Так как точка приложения силы не перемещается, работа силы тяжести тела 2 будет равна нулю:

Работу силы тяжести тела 3 вычислим по формуле:

После подстановки значений получим:

Работу силы тяжести тела 3 вычислим по формуле:

Зная все работы, найдем сумму работ внешних сил, подставив значения. Тогда получим:

Далее найдём скорость тела 1.

.

Сократим массы, выразим скорость и найдём её:

м/c

Теперь найдем ускорение тела 1. Для этого продифференцируем по времени:

Выразим и найдём ускорение:

м/c².

Теперь решим задачу по общему уравнению динамики. Общее уравнение динамики составляется в результате последовательного применения принципа Даламбера для системы и принципа возможных перемещений. Оно записывается в виде равной нулю суммы работ трех групп сил: активных, реакций связей и сил инерции на любом возможном перемещении, задаваемом из положения системы в рассматриваемый момент времени:

или

где - активная сила, действующая на k-тую точку системы;

- реакция связей, приложенная к k-той точке;

- сила инерции k-той точки;

- радиус-вектор k-той точки относительно начала координат

- число точек системы.

Число независимых общих уравнений динамики для системы равно числу степеней свободы системы.

Механическая система состоит из бесконечного числа точек, поэтому имеет и бесконечное число сил инерции этих точек. Необходимо привести силы инерции к выбранному центру и получить одну силу, равную главному вектору сил инерции, и одну пару сил, векторный момент которой равен главному моменту сил инерции относительно выбранного центра приведения .В динамике за центр приведения чаще всего выбирают центр масс. Главный вектор Ф сил инерции не зависит от центра приведения и всегда вычисляется по формуле:

,

где - масса всей системы;

- вектор ускорения центра масс системы.

Главный момент сил инерции относительно центра приведения 0 вычисляется по проекциям на оси координат .

При поступательном движении тела центр приведения выбираем в центре масс С и имеем

_.

Во вращательном движении, если выполняются два условия:

1. тело имеет плоскость симметрии, перпендикулярную оси вращения;

2. центр приведения выбирается в этой плоскости симметрии, то главный момент сил инерции параллелен оси вращения и вычисляется по одной проекции на эту ось:

,

гдеО - центр приведения;

J_оz - момент инерции относительно оси, проходящей через центр приведения О и параллельной оси вращения Z;

ε - угловое ускорение тела.

Можно выбирать любую точку за центр приведения, но в большинстве задач дина­мики рекомендуется выбирать центр масс С за центр приведения, так как решение задач получается более простым, при этом главный вектор сил инерции по-прежнему вычисляется по формуле

_,

а момент сил инерции относительно точки С при выполнении указанных выше двух условий вычисляется по формуле

_,

где С - центр приведения и центр масс тела;

J_cz - момент инерции тела относительно оси СZ;

ε- угловое ускорение тела.

В плоском движении за центр приведения выбирается центр масс. Тело, если нет особых указаний, имеет плоскость симметрии, перпендикулярную оси вращения и проходящую через центр масс, поэтому надо использовать и _.

В моей задаче ,если задержать тело 1, которое движется поступательно и прямолинейно, то есть если убрать одну степень свободы у системы, то вся система остановится. Следовательно, при движении эта система имеет одну степень свободы. Схема для расчёта представлена на рисунке 7

Рисунок 7 – Схема для решения задачи по общему уравнению динамики

Рассмотрим силы действующие на тела. На тело 1 действует сила тяжести:

Сила инерции:

Сила трения:

(2.41)

где =.

Подставив значения, получим выражение:

.(2.42)

На тело 2 действует момент инерции

(2.43)

где ;

После подстановки значений получим:

.(2.44)

На тело 3 действует сила тяжести:

.(2.45)

Сила инерции:

.(2.46)

Запишем выражение:

.(2.47)

Отсюда выразим ускорение центра масс и подставим значения. Тогда получим:

.(2.48)

Момент инерции центра масс найдём по формуле:

(2.49)

После подстановки получим выражение:

.(2.50)

Момент инерции найдём по формуле:

(2.51)

где

.

После подстановки значений получим выражение вида:

.(2.52)

Теперь запишем общее уравнение динамики для данной системы. Получим выражение вида:

. (2.53)

где

;

=2.

После подстановки значений получим:

.(2.54)

Далее сократим наm, и. Так же подставим числовые значения.Получим выражение:

.(2.55)

После операций с числами получим:

(2.56)

Тогда ускорение будет равно:

.

Наконец, решим задачу по уравнению Лагранжа второго рода. Уравнения Лагранжа второго рода являются дифференциальными уравнениями движения механической системы в обобщенных координатах:

(2.57)

гдеТ - кинетическая энергия системы в абсолютном движении, выраженная в обобщенных координатах;

- i-я обобщенная координата;

- i-я обобщенная скорость;

- обобщенная сила по i-й обобщенной координате;

n - число степеней свободы системы.

Эти уравнения являются дифференциальными уравнениями второго порядка относительно обобщенных координат, дифференциальными уравнениями первого порядка относительно обобщенных скоростей и алгебраическими линейными уравнениями относительно обобщенных ускорений.

Уравнения Лагранжа можно получить из общего уравнения динамики системы, переходя в последнем к обобщенным координатам.

Число независимых уравнений Лагранжа равно числу степеней свободы механической системы.

Поскольку в общем уравнении динамики содержатся работы трех групп сил: активных, реакций связей и сил инерции, а правая часть уравнения Лагранжа представляет собой обобщенную силу, которая рассчитывается через работы только двух групп сил: активных и реактивных связей, то, следовательно, работы сил инерции записаны в левой части уравнения Лагранжа в виде:

(2.58)

Схема для решения задачи представлена на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3 – Схема для решения задачи по уравнению Лагранжа второго рода

Система имеет одну степень свободы. Запишем уравнение Лагранжа второго рода:

,(2.59)

где – обобщённая сила.

Кинетическая энергия системы была найдена в двух предыдущих методах и она равна:

.(2.60)

Скорость является первой производной от перемещения:

.(2.61)

Тогда получим выражение вида:

.(2.62)

Далее вычислим производные:

,(2.63)

так как координата S не входит в выражение T.

.(2.64)

.(2.65)

Теперь вычислим обобщенную силу. Она представлена выражением:

.(2.66)

.(2.67)

.(2.68)

.(2.69)

.(2.70)

. (2.70)

Подставив значения, рассчитаем обобщённую силу. Получим выражение:

.(2.71)

Подставив полученные значения в уравнение Лагранжа, найдём ускорение:

. (2.72)

.

В завершении найдем скорость. Внешние силы, действующие на механическую систему, постоянные, поэтому движение системы равнопеременное.

Для расчета скорости центра масс тела 1 в тот момент времени , когда он переместится на заданное расстояние S, используем закон равнопеременного движения при начальной скорости, равной нулю

см/c ^.

Список использованной литературы

1. Дунаева В.В. Динамика механической системы: Методические указания к выполнению семестрового задания Д-10 по теоретической механике. – Архангельск: Изд-во АГТУ, 2003 – 42с.

2. Морозов С.И., Яковлева Л.П., Ваенский П.Н. Кинематика плоского движения твердого тела: Методические указания к выполнению расчётно-графических заданий по теоритической механике. – Архангельск, ИПЦ САФУ, 2012 – 34с.

30