Глава 2. Понятие отображений.

Определение: Пусть X и Y — произвольные непустые множества. Будем говорить, что определено отображение множества X в множество Y, если каждому элементу х множества X поставлен в соответствие некоторый вполне определенный элемент у множества Y. Этот элемент у называется образом элемента х при данном отображении. Отображение часто обозначают одной буквой (например, f), и тогда символ f: X ∉ Y заменяет фразу «f — отображение множества X в множество Y». Образ элемента х при этом отображении обозначается символом f(x). Подчеркнем, что каждый х ϵ Х имеет единственный образ f(x). Отображение f: XϵY можно представлять себе как некое действие, которое переводит элементы хХ в их образыf(x) ϵ Y.

Понятия «функция» и «отображение» иногда отождествляют, пользуясь ими как синонимами. Все же .чаще под функцией понимают отображение одного числового множества в другое. Мы будем придерживаться именно такой точки зрения. Равенство отображений f: X→Y и g: X'→Y' Х = , Y=и для каждого х ϵ Хf(x)=g(x). означает, что Пусть /: XY. Множествоf(X) = {f (х) | х ϵ X} образов всех элементов из X называется образом множества X при отображении f. Аналогично определяется образ любого подмножества А множества X:

Пусть у — фиксированный элемент из У.

Подмножество множества X, состоящее из всех тех х ϵ Х, для которых у является образом при отображении /, называется полным прообразом элемента у при отображении /. Каждый элемент из (у) будем называть прообразом элемента у при отображении /. Может случиться, что(у) =для некоторого у ϵ У. Если В — произвольное подмножество У, то его полный прообраз определяется аналогично

Наиболее важные классы отображений составляют инъективные, сюрьективные и биективные отображения.

Отображение f: X →Y называется инъективным или инъекцией

если для любых ϵX

Другими словами, f инъективно, если разные элементы множества X имеют разные образы при отображении f.

Отображение f: ХУ называется сюръективным или сюръекцией, еслиf(X)=У, т. е. если каждый элемент множества У имеет хотя бы один прообраз.

Отображение, которое одновременно инъективно и сюръективно, называется биективным или биекцией. Часто биекцию называют взаимно однозначным отображением. Очевидно, f: Х→У биективно тогда и только тогда, когда каждый элемент множества У имеет точно один прообраз. Пусть задано отображение f : X → Y и X' — некоторое подмножество множества X. Тогда можно рассмотреть отображение f|X':X'→Y, определяемое равенством f|X'(x) = f(x) для любого хϵХ'. Отображение f|Х'называется ограничением {сужением} отображения f.

В нашем учебном пособии особенно часто будут встречаться отображения множеств в себя, т. е. отображения вида f:X→X. Такие отображения называют преобразованиями множества X.

Биективные преобразования f : X → X назовем подстановками множества X.

Преобразование : X→X, такое, что(х) = х для любого х ϵ X, называется тождественным преобразованием множества X. Таким образом,оставляет на месте каждый элемент из X. Часто вместопишут просто е, если из контекста ясно, какое множество X имеется в виду.