3. Гистограммы

Для наглядного представления тенденции изменения наблюдаемых значений применяют графическое изображение статистического материала. Наиболее распространенными графиками, к которым прибегают при анализе распределения случайной величины, являются полигон, гистограмма и кумулятивная кривая. Однако когда говорят о втором инструменте контроля качества, то упоминают только гистограмму, как наиболее часто применяемое на практике графическое изображение распределения.

Гистограмма - это инструмент, позволяющий зрительно оценить закон распределения величины разброса данных, а также принять решение о том, на чем следует сфокусировать внимание для целей улучшения процесса.

Гистограмма отображается серией столбиков одинаковой ширины, но разной высоты. Ширина столбика представляет интервал в диапазоне наблюдений, высота — количество наблюдений (измерений), попавших в данный интервал. При нормальном законе распределения данных существует тенденция расположения большинства результатов наблюдений ближе к центру распределения (к центральному значению) с постепенным уменьшением при удалении от центра.[6]

Гистограмма применяется главным образом для анализа значений измеренных параметров, но может использоваться и для расчетных значений. Благодаря простоте и наглядности гистограммы нашли применение в различных областях:

- для анализа сроков получения заказа (за контрольный норматив принимается срок поставки согласно договору);

- для анализа времени реагирования группы обслуживания от момента получения заявки от клиента, времени обработки рекламации от момента ее получения и т.д.;

- для анализа значений показателей качества, таких как размеры, масса, механические характеристики, химический состав, выход продукции и т.д. при контроле готовой продукции, при приемочном контроле, при контроле процесса в самых разных сферах деятельности;

- для анализа чистого времени операций, времени износа режущей поверхности и т.д.;

- для анализа числа бракованных изделий, числа дефектов, числа поломок и т.д.[17]

Распределение единиц совокупности на группы по количественному признаку, по степени возрастания или убывания числового значения признака называется вариационным рядом. Составными элементами каждого вариационного ряда являются два ряда чисел: ряд вариантов и ряд частот или частостей.

Варианты – отдельные числовые значения варьирующего признака.

Частоты – абсолютные числа, показывающие, сколько раз встречается та или иная варианта в данной совокупности. Частоты, выраженные в долях единицы или в процентах к итогу, называются частостями.

Вариационный ряд графически обычно изображается при помощи гистограммы распределения или полигона распределения.[7]

Полигоном частот называется ломаная, состоящая из отрезков прямых, соединяющих последовательно точки (х_i, n_i) или (х_i, w_i), i = 1, 2,…, m.

Для иллюстрации рядов распределения используются также кумуляты и огивы. Для построения кумуляты на оси абсцисс отмечаются значения признака (концы интервалов), а на оси ординат – отрезки, длины которых пропорциональны накопленным частотам или частостям. А для построения огивы на оси абсцисс отмечаются частоты или частости, а на оси ординат - значения признака.

Определение числа интервалов на гистограмме часто осуществляют по формуле Старджесса:

,(3.1)

где n – число наблюдений, а величина интервала:

, (3.2)

где (x_max – x_min) – разность между наибольшим и наименьшим значениями признака.

Следующий после группировки этап обработки данных наблюдений представляет собой расчет статистических характеристик:

1) средняя арифметическая: , (3.3)

где x_i – варианты дискретного ряда или середины интервалов;

2) медианой () называется серединная варианта упорядоченного вариационного ряда, расположенного в возрастающем или убывающем порядке. Она является центральным членом и делит вариационный ряд пополам в тех случаях, если этот ряд нечетный;

3) мода () – вариант, которому соответствует наибольшая частота, т.е. значение во множестве наблюдений, встречающееся наиболее часто;[15]

4) вариационный размах – разность между наибольшей и наименьшей вариантой:

_(3.4)

5) дисперсия: ; (3.5)

6) среднее квадратическое отклонение: ; (3.6)

7) коэффициент вариации: ; (3.7)

8) начальный момент k-го порядка: ; (3.8)

9) центральный момент k-го порядка: ; (3.9)

10) асимметрия: ; (3.10)

11) эксцесс: . (3.11)

В данном задании необходимо представить ряд данных в виде гистограммы, рассчитать статистические показатели распределения случайной величины и проанализировать результаты ТС-2010, русский, нечётные. Сравнить: специальность 210106.

Таблица 3.1 – Исходные данные

Расчётная часть.

1) Рассмотрим ТС-2010, русский, нечётные.

Количество наблюдений n=541, максимальное и минимальное значения:

_xmax =94; x_min =36. Количество интервалов:

_{Длина интервалов:} .

Таблица 3.2 – Описательные статистики результатов измерений

В этой таблице:

1 MEAN - выборочное среднее;

2 MEDIAN - медиана выборки. Значение, которое разбивает выборку на две равные части. Половина наблюдений лежит ниже медианы, и половина наблюдений лежит выше медианы (если наблюдения отсортированы по возрастанию);

3 SD - среднеквадратическое отклонение;

4 VALID_N - количество наблюдений (оббьем выборки);

5 SUM - сумма всех результатов наблюдений;

6 MIN - минимальное наблюдение в выборке;

7 MAX - максимальное наблюдение в выборке;

8 _25th% - значение, ниже которого располагается 25% выборочных данных (если наблюдения отсортированы по возрастанию);

9 _75th% - значение, ниже которого располагается 75% выборочных данных (если наблюдения отсортированы по возрастанию).

Таблица 3.3− Результаты вычисления описательных статистик

Variable	Descriptive Statistics (Spreadsheet1.sta)
	Valid N	Mean	Median	Mode	Frequency of mode	Sum	Minimum	Maximum	Std.Dev.
Балл по русскому	541	64,78743	65,00000	67,00000	29	35050,00	36,00000	94,00000	8,972856

Таблица 3.4− Результаты группировки

Category	Frequency table: Балл по русскому (Spreadsheet2.sta) K-S d=,04359, p> .20; Lilliefors p<,05
	Co unt	Cu mulati ve Co unt	Percent of Valid	Cumul % of Valid	% of all Cases	Cumul ative % of All	Expe cted Count	Cumul ative Expected	Perc ent Expected	Cumul ative % Expe cted
30,00000<x= 40,00000	5	5	0,92421	0,9242	0,92421	0,9242	1,5516	1,5516	0,28681	0,28681
40,00000<x= 50,00000	25	30	4,62107	5,5453	4,62107	5,5453	25,3222	26,8739	4,68063	4,96745
50,00000<x= 60,00000	131	161	24,21442	29,7597	24,21442	29,7597	133,7100	160,5839	24,71534	29,68279
60,00000<x= 70,00000	246	407	45,47135	75,2311	45,47135	75,2311	228,5872	389,1711	42,25271	71,93550
70,00000<x<= 80,00000	111	518	20,51756	95,7486	20,51756	95,7486	127,4840	516,6551	23,56451	95,50001
80,00000<x<= 90,00000	21	539	3,88170	99,6303	3,88170	99,6303	23,0043	539,6594	4,25218	99,75219
90,00000<x<= 100,0000	2	541	0,36969	100,0000	0,36969	100,0000	1,3171	540,9765	0,24346	99,99565
Missing	0	541	0,00000		0,00000	100,0000

В этой таблице:

1 Count - количество значений, попавших в данный интервал;

2 Cumulative Count - количество значений с накоплением;

3 Percent of Valid - процент попавших в интервал значений;

4 Cumul % of Valid - процент попавших в интервал значений с накоплением;

5 % of all Cases - процент значений, попавших в интервал от общего количества;

6 Cumulative % of All - процент значений, попавших в интервал от общего количества с накоплением;

7 Expected Count - ожидаемое количество значений, попавших в интервал;

8 Cumulative Expected - ожидаемое количество значений, попавших в интервал с накоплением;

9 Percent Expected - ожидаемый процент попавших в интервал значений;

10 Cumulative % Expected – ожидаемый процент попавших в интервал значений с накоплением.

Рисунок 3.1- Гистограмма распределения результатов измерений

Из гистограммы видно, что малая часть учащихся -246человек (меньше половины) набрали баллы по ЕГЭ по русскому языку в интервале от 60 до 70, т.е. показали средний уровень подготовки.

Рисунок 3.2 – Кумулята

Вычислим статистические характеристики качества процесса:

Медиана: =65

Мода : =67

Вариационный размах:

Дисперсия:

С.К.О.:

Коэффициент вариации:

Коэффициент вариации не высок (<50%), следовательно значения признака близки к однородности.

Проверка нормальности распределения

Необходимо провести проверку соответствия распределения результатов измерения контролируемого параметра нормальному закону распределения.

Таблица 3.5 – Результаты аппроксимации распределения

Variable: Балл по русскому, Distribution: Normal (Spreadsheet2.sta) Chi-Square = 23,50347, df = 7 (adjusted) , p = 0,00139
	Observed Frequency	Cumulative Obse rved	Perc ent Observed	Cumul. % Obse rved	Expected Frequency	Cumu lative Expected	Percent Expected	Cumul. % Expected	Observed Expected
<= 35,00000	0	0	0,00000	0,0000	0,2437	0,2437	0,04505	0,0451	-0,2437
40,00000	5	5	0,92421	0,9242	1,3079	1,5516	0,24176	0,2868	3,6921
45,00000	12	17	2,21811	3,1423	5,8699	7,4215	1,08500	1,3718	6,1301
50,00000	13	30	2,40296	5,5453	19,4524	26,8739	3,59563	4,9674	-6,4524
55,00000	39	69	7,20887	12,7542	47,6134	74,4872	8,80099	13,7684	-8,6134
60,00000	92	161	17,00555	29,7597	86,0966	160,5839	15,91435	29,6828	5,9034
65,00000	121	282	22,36599	52,1257	115,0287	275,6125	21,26223	50,9450	5,9713
70,00000	125	407	23,10536	75,2311	113,5585	389,1711	20,99048	71,9355	11,4415
75,00000	82	489	15,15712	90,3882	82,8372	472,0083	15,31187	87,2474	-0,8372
80,00000	29	518	5,36044	95,7486	44,6468	516,6551	8,25264	95,5000	-15,6468
85,00000	17	535	3,14233	98,8909	17,7766	534,4317	3,28588	98,7859	-0,7766
90,00000	4	539	0,73937	99,6303	5,2277	539,6594	0,96630	99,7522	-1,2277
95,00000	2	541	0,36969	100,0000	1,1352	540,7945	0,20983	99,9620	0,8648
< Infinity	0	541	0,00000	100,0000	0,2055	541,0000	0,03798	100,0000	-0,2055

В этой таблице:

1 Observed Frequency - частота наблюдений, попавших в интервал;

2 Cumulative Frequency - частота наблюдений, попавших в интервал с накоплением;

3 Percent Observed - процент наблюдений, попавших в интервал;

4 Cumul. % Observed - процент наблюдений, попавших в интервал с накоплением;

5 Expected Frequency - предсказанная частота наблюдений, попавших в интервал в соответствии с нормальным законом распределения;

6 Cumulative Expected - предсказанная частота наблюдений, попавших в интервал с накоплением, в соответствии с нормальным законом распределения;

7 Percent Expected - предсказанный процент наблюдений, попавших в интервал в соответствии с нормальным законом распределения;

8 Cumul. % Expected - предсказанный процент наблюдений, попавших в интервал с накоплением, в соответствии с нормальным законом распределения;

9 Observed- Expected - разность между частотой наблюдений, попавших в интервал и предсказанной частотой наблюдений, в соответствии с нормальным законом распределения.

Рисунок 3.3 – Графические результаты аппроксимации распределения

2) Рассмотрим специальность 210106, русский.

Таблица 3.6- Исходные данные

Количество наблюдений n=35, максимальное и минимальное значения:

_xmax =76; x_min =36. Количество интервалов:

_{Длина интервалов:} .

Таблица 3.7 – Описательные статистики результатов измерений

В этой таблице:

1 MEAN - выборочное среднее;

2 MEDIAN - медиана выборки. Значение, которое разбивает выборку на две равные части. Половина наблюдений лежит ниже медианы, и половина наблюдений лежит выше медианы (если наблюдения отсортированы по возрастанию);

3 SD - среднеквадратическое отклонение;

4 VALID_N - количество наблюдений (оббьем выборки);

5 SUM - сумма всех результатов наблюдений;

6 MIN - минимальное наблюдение в выборке;

7 MAX - максимальное наблюдение в выборке;

8 _25th% - значение, ниже которого располагается 25% выборочных данных (если наблюдения отсортированы по возрастанию);

9 _75th% - значение, ниже которого располагается 75% выборочных данных (если наблюдения отсортированы по возрастанию).

Таблица 3.8− Результаты вычисления описательных статистик

Descriptive Statistics (Spreadsheet4.sta)
	Valid N	Mean	Median	Mode	Frequency - of Mode	Sum	Minimum	Maximum	Std.Dev.
Балл по русскому	35	63,11429	64,00000	64,00000	5	2209,000	36,00000	76,00000	7,954915

Таблица 3.9− Результаты группировки

Frequency table: Балл по русскому (Spreadsheet4.sta) K-S d=,17629, p> .20; Lilliefors p<,01
Category	Count	Cumulative - Count	Percent - of Valid	Cumul % - of Valid	% of all - Cases	Cumulative % - of All	Expected - Count	Cumulative - Expected	Percent - Expected	Cumulative % - Expected
30,00000<x<=40,00000	1	1	2,85714	2,8571	2,85714	2,8571	0,06413	0,06413	0,18324	0,18324
40,00000<x<=50,00000	1	2	2,85714	5,7143	2,85714	5,7143	1,67247	1,73660	4,77848	4,96172
50,00000<x<=60,00000	7	9	20,00000	25,7143	20,00000	25,7143	10,43349	12,17009	29,80996	34,77168
60,00000<x<=70,00000	22	31	62,85714	88,5714	62,85714	88,5714	16,06242	28,23251	45,89264	80,66431
70,00000<x<=80,00000	4	35	11,42857	100,0000	11,42857	100,0000	6,17632	34,40883	17,64664	98,31095
Missing	0	35	0,00000		0,00000	100,0000

В этой таблице:

1 Count - количество значений, попавших в данный интервал;

2 Cumulative Count - количество значений с накоплением;

3 Percent of Valid - процент попавших в интервал значений;

4 Cumul % of Valid - процент попавших в интервал значений с накоплением;

5 % of all Cases - процент значений, попавших в интервал от общего количества;

6 Cumulative % of All - процент значений, попавших в интервал от общего количества с накоплением;

7 Expected Count - ожидаемое количество значений, попавших в интервал;

8 Cumulative Expected - ожидаемое количество значений, попавших в интервал с накоплением;

9 Percent Expected - ожидаемый процент попавших в интервал значений;

10 Cumulative % Expected – ожидаемый процент попавших в интервал значений с накоплением.

Рисунок 3.4 - Гистограмма распределения результатов измерений

Из гистограммы видно, что большая часть учащихся -22 человека (больше половины) набрали баллы по ЕГЭ по русскому языку в интервале от 60 до 70, т.е. показали средний уровень подготовки.

Рисунок 3.5 – Кумулята

Вычислим статистические характеристики качества процесса:

Медиана: =64

Мода : =64

Вариационный размах:

Дисперсия:

С.К.О.:

Коэффициент вариации:

Коэффициент вариации не высок (<50%), следовательно значения признака близки к однородности.

Проверка нормальности распределения

Необходимо провести проверку соответствия распределения результатов измерения контролируемого параметра нормальному закону распределения.

Таблица 3.10 – Результаты аппроксимации распределения

Variable: Балл по русскому, Distribution: Normal (Spreadsheet4.sta) Chi-Square = 5,69467, df = 2 (adjusted) , p = 0,05800
Upper Boundary	Observed - Frequency	Cumulative - Observed	Percent - Observed	Cumul. % - Observed	Expected - Frequency	Cumulative - Expected	Percent - Expected	Cumul. % - Expected	Observed- - Expected
<= 35,00000	0	0	0,00000	0,0000	0,007158	0,00716	0,02045	0,0205	-0,00716
40,00000	1	1	2,85714	2,8571	0,056976	0,06413	0,16279	0,1832	0,94302
45,00000	1	2	2,85714	5,7143	0,334501	0,39863	0,95572	1,1390	0,66550
50,00000	0	2	0,00000	5,7143	1,337968	1,73660	3,82276	4,9617	-1,33797
55,00000	1	3	2,85714	8,5714	3,648361	5,38496	10,42389	15,3856	-2,64836
60,00000	6	9	17,14286	25,7143	6,785124	12,17009	19,38607	34,7717	-0,78512
65,00000	14	23	40,00000	65,7143	8,609100	20,77919	24,59743	59,3691	5,39090
70,00000	8	31	22,85714	88,5714	7,453322	28,23251	21,29521	80,6643	0,54668
75,00000	2	33	5,71429	94,2857	4,402532	32,63504	12,57866	93,2430	-2,40253
< Infinity	2	35	5,71429	100,0000	2,364957	35,00000	6,75702	100,0000	-0,36496

В этой таблице:

1 Observed Frequency - частота наблюдений, попавших в интервал;

2 Cumulative Frequency - частота наблюдений, попавших в интервал с накоплением;

3 Percent Observed - процент наблюдений, попавших в интервал;

4 Cumul. % Observed - процент наблюдений, попавших в интервал с накоплением;

5 Expected Frequency - предсказанная частота наблюдений, попавших в интервал в соответствии с нормальным законом распределения;

6 Cumulative Expected - предсказанная частота наблюдений, попавших в интервал с накоплением, в соответствии с нормальным законом распределения;

7 Percent Expected - предсказанный процент наблюдений, попавших в интервал в соответствии с нормальным законом распределения;

8 Cumul. % Expected - предсказанный процент наблюдений, попавших в интервал с накоплением, в соответствии с нормальным законом распределения;

9 Observed- Expected - разность между частотой наблюдений, попавших в интервал и предсказанной частотой наблюдений, в соответствии с нормальным законом распределения.

Рисунок 3.6 – Графические результаты аппроксимации распределения

3) Сравнение и анализ полученных результатов.

По результатам расчета и построенным гистограммам видно, что большинство абитуриентов 2010 года показало средний уровень подготовки, т.е. набрали 60-70 баллов. Из гистограмм видно, что распределение результатов достаточно близко к нормальному.

Таким образом, сравнивая баллы по русскому языку у всего потока ТС-2010 (нечётные номера) и у специальности 210106 можно сказать, что специальность 210106 показала более высокий результат, т.к. больше половины её студентов набрали от 60 до 70 баллов.