3. Динамика механизма с двумя степенями свободы

Требуется:

1. Составить уравнения кинетостатики для определения управляющих моментов, реализующих заданное программное движение груза.

2. Составить кинематические уравнения, определяющие изменение во времени угловых скоростей, углов поворота звеньев и скорости точки С.

3. Решить полученные уравнения на ЭВМ на интервале времени 0,.

4. Построить графики М_B, M_D,,,,,.

5. Для момента времени определить с помощью графоаналитического метода угловые скорости звеньев, скорость точки С и сравнить с результатами счета на ЭВМ.

6. По данным счета найти мощность каждого двигателя при t=0,02.

Манипулятор перемещает точечный груз массы m за время из точкиdв точкуес заданной скоростью V_Мx=0, V_My=Vsin(kt). Управляющие двигатели расположены в шарнирах B и D.

Дано: DA=2AB=2R₁=0,86 м;CP=0,5R₁=0,215 м;AC=R₃=0,79 м;BD=R₁=0,43=0,75 м;MB=R₂=0,98 м;=0,31 рад; =2,91 рад;=0,41 рад; τ₃=0,24 с;V₃=3,14 м/с;k=13,1 рад/с;m=11 кг; Δt=0,01 с.

Массой элементов конструкции и приводов можно пренебречь.

Составляем уравнения кинетостатики для управляющих моментов:

а)

б)

в)

г)

Для составления уравнений кинетостатики система освобождается от связей. На рисунках изображаются реакции связей, активные силы (сила G) точки М и внутренние моменты управления М_Bz, M_Dz. По принципу Даламбера условно прикладываются к точке М силы инерции: сила инерции . Для заданного движения эта сила в проекциях определяется так:

Составляем уравнения равновесия систем сил, указанных на рис. а, б, в, г.

Для звена 1 (рис. а):

(20)

(21)

Для звена 2 (рис. б):

(22)

Для звена 3 (рис. в):

(23)

Для звена 4 (рис. г):

Так как , то.

Так как , то.

Так как , то.

Так как и, то.

То есть:

Из (23) находим, что

Из уравнений (20) и (22)

Составляем кинематические уравнения. Кинематические уравнения заимствуются из ранее решенных задач и с учетом того, что V_Mx=0 и V_My=Vsin(kt), запишутся:

Решаем систему на интервале времени с шагом Δt. Сведём полученные данные в таблицу:

шаг	, рад	, рад	, рад	, рад/с	, рад/с	, рад/с	, м/с	, Н*м	, Н*м
0	0,31	2,91	0,41	0	0	0	0	536,508	-137,556
1	0,31	2,91	0,41	0,245208	-0,24768	-0,28444	0,134273	532,81	-136,608
2	0,314904	2,905046	0,404311	0,488441	-0,49061	-0,5658	0,262866	521,1637	-133,778
3	0,317356	2,90257	0,401467	0,723808	-0,72504	-0,83786	0,386127	502,7094	-129,116
4	0,319808	2,900093	0,398622	0,94778	-0,94686	-1,09637	0,501148	477,4582	-122,702
5	0,32226	2,897616	0,395778	1,156445	-1,15229	-1,33682	0,60604	445,8501	-114,646
6	0,324712	2,895139	0,392933	1,346137	-1,33784	-1,55504	0,699116	408,4339	-105,087
7	0,327165	2,892663	0,390089	1,513506	-1,50036	-1,74719	0,778919	365,8571	-94,1869
8	0,329617	2,890186	0,387245	1,65557	-1,6371	-1,90988	0,844245	318,855	-82,1346
9	0,332069	2,887709	0,3844	1,769772	-1,74573	-2,04025	0,894159	268,238	-69,1364
10	0,334521	2,885232	0,381556	1,854029	-1,82444	-2,13594	0,928011	214,8774	-55,4155
11	0,336973	2,882756	0,378711	1,906762	-1,87188	-2,19522	0,945442	159,6905	-41,2072
12	0,339425	2,880279	0,375867	1,926933	-1,88727	-2,21696	0,946386	103,6247	-26,7554
13	0,341877	2,877802	0,373022	1,914059	-1,87036	-2,20069	0,931068	47,64124	-12,3079
14	0,344329	2,875325	0,370178	1,868228	-1,82145	-2,14658	0,899995	-7,30137	1,887384
15	0,346781	2,872848	0,367333	1,790095	-1,74139	-2,05545	0,853945	-60,2637	15,58711
16	0,349233	2,870372	0,364489	1,680874	-1,63156	-1,92877	0,793947	-110,342	28,55637
17	0,351685	2,867895	0,361645	1,542321	-1,49385	-1,76863	0,721259	-156,682	40,5729
18	0,354137	2,865418	0,3588	1,376705	-1,33061	-1,57769	0,637345	-198,496	51,43081
19	0,35659	2,862941	0,355956	1,18677	-1,14464	-1,35915	0,543842	-235,075	60,94416
20	0,359042	2,860465	0,353111	0,975688	-0,93912	-1,11669	0,442533	-265,8	68,95015
21	0,361494	2,857988	0,350267	0,74701	-0,71755	-0,85442	0,335308	-290,154	75,31187
22	0,363946	2,855511	0,347422	0,504602	-0,48374	-0,57679	0,224131	-307,73	79,92069
23	0,366398	2,853034	0,344578	0,252582	-0,24166	-0,28853	0,111005	-318,238	82,69813
24	0,36885	2,850558	0,341734	-0,00475	0,004536	0,005423	-0,00207	-321,509	83,59712

По результатам решения строим графики ,,,,,,:

Проводим проверку. Извлекаем из таблицы значения углов поворота звеньев из строки под номером 3. Механизм строим в масштабе 1:10, определяем положение мгновенных центров скоростей. Строим векторы скоростей точек A, B, C, M и указываем дугами направления вращения звеньев. По известным значениям скоростей и расстояниям до мгновенных центров скоростей определяем значения угловых скоростей звеньев и скорость точки С.

Результаты, полученные с помощью графических построений, близки к результатам решения задачи на ЭВМ и не отличаются более чем на 5%.

Вычисление мощности двигателей управления для t=0,02 c.

Вывод:кинематический анализ схемы манипулятора с двумя степенями свободы позволил найти уравнения движения звеньев и величины линейных и угловых скоростей при заданном движении одной из точек или при управляемом движении манипулятора, а графоаналитический анализ позволил подтвердить правильность аналитических расчётов. Силомоментный анализ позволил определить реакции связей звеньев и моменты управления, а также мощности двигателей управления для выполнения поставленной задачи, а графоаналитический анализ позволил подтвердить правильность расчётов.