2. Кинематика управляемого движения манипулятора

Требуется:

1. Составить уравнения управляемого движения точки М, уравнения углового движения звеньев манипулятора и уравнения для скорости точки С.

2. Выбрать параметры управления, обеспечивающего сближение точек М и К с заданной точностью.

3. Проинтегрировать с помощью ЭВМ уравнения движения на интервале времени 0;

4. Построить траектории сближения точек М и К и графики ,,.

5. Для момента времени провести графоаналитическое решение задачи и сравнить с результатами счета.

Управление манипулятором должно обеспечить за время сближение захвата М с движущейся деталью К. Деталь движется прямолинейно с постоянной скоростью V_kв указанном на рисунке направлении. Начальное положение манипулятора задано углами поворота звеньев,,. К моменту временитребуется относительная точностьсовмещения точек М и К. Управление манипулятором осуществляется по линейной комбинации рассогласований и их производных.

Дано: V_k=0,452 м/с;DA=2AB=2R₁=0,842 м;CP=0,5R₁=0,2105 м;BD=R₁=0,421=0,729 м;MB=R₂=0,971 м;AC=R₃=0,781 м;=0,301 рад;=2,901 рад;=0,401 рад;X_k(0)=0,45 м;Y_k(0)=1,12 м;=0,025;=1,224 с;=0,051c.

Уравнения движения детали К имеют вид:

; м/с; (10)

; .

Предполагая, что координаты захвата М известны в процессе движения, можно вычислить рассогласования координат точек К и М.

(11)

Учитывая, что управление манипулятором осуществляется по линейной комбинации рассогласовании и их производных

(12)

При управлении с большими коэффициентами усиления k с погрешностью порядка 1/k выполняются соотношения:

(13)

Подставляя (13) в выражения (10), (11), (12) и приводя полученные уравнения к форме Коши получаем:

(14)

Угловое движение звеньев манипулятора и скорость точки С однозначно определяется движением точки М и внешними связями, налагаемыми в точках D и С. Составляются выражения для проекций скоростей точек С и М.

В соответствии с графом запишем:

(15)

В соответствии с графом запишем:

(16)

Из уравнений (15), (16) получают:

(17)

Определение параметра управления. Из (12) и (13) получим уравнение в рассогласованиях:

;

Решение этих уравнений имеет вид:

По условию, при t=₂ должно выполняться соотношение

Система уравнений (14), (17) интегрируется с помощью ЭВМ на интервале 0; 1,224 с использованием конечноразностной схемы Эйлера. Шаг интегрирования t=0,051c.

Начальные условия по переменным _1, ₂, ₃ приведены в исходных данных, а по переменным X_M, Y_M вычисляются по формулам:

(18)

Подставив в (18) числовые значения r_i, _i(0), получают X_M(0), Y_M(0). Последующие шаги интегрирования осуществляются с использованием зависимостей (9), с учетом, что

(19)

использованием зависимостей (18).

Решаем системы на интервале времени с шагом Δt. Сведём полученные данные в таблицу:

шаг	ϕ1, рад	ϕ2, рад	ϕ3, рад	ω1, рад/с	ω2, рад/с	ω3, рад/с	VCx, м/с	VMx, м/с	VMy, м/с	, м	, м
0	0,301	2,901	0,401	-2,96948	-4,34069	3,391463	-1,58588	1,646262	2,025433	-0,24662	0,447556
1	0,149557	2,679625	0,573965	-0,88223	-2,73672	1,054322	-0,71851	1,280264	1,742668	-0,14816	0,541434
2	0,104563	2,540052	0,627735	0,053394	-1,81175	-0,06497	0,048093	0,991496	1,489129	-0,07534	0,625609
3	0,107286	2,447653	0,624422	0,433095	-1,27775	-0,52636	0,387803	0,759694	1,267755	-0,02144	0,699105
4	0,129374	2,382488	0,597577	0,580085	-0,93366	-0,69846	0,494524	0,569407	1,077145	0,018685	0,762388
5	0,158958	2,334871	0,561955	0,626309	-0,68947	-0,74547	0,49829	0,411087	0,914133	0,048195	0,816508
6	0,1909	2,299708	0,523936	0,627332	-0,50419	-0,73828	0,460978	0,278373	0,775218	0,069204	0,862628
7	0,222894	2,273994	0,486284	0,608408	-0,3574	-0,70864	0,410386	0,166641	0,657085	0,083247	0,901848
8	0,253923	2,255767	0,450143	0,581776	-0,2379	-0,67143	0,358665	0,072325	0,556764	0,091508	0,935154
9	0,283593	2,243634	0,4159	0,553603	-0,13897	-0,63376	0,310777	-0,00742	0,471657	0,094932	0,96341
10	0,311827	2,236547	0,383578	0,527011	-0,05628	-0,59901	0,268351	-0,07492	0,399514	0,09429	0,987361
11	0,338705	2,233676	0,353029	0,503507	0,013208	-0,56865	0,23149	-0,1321	0,338402	0,090222	1,00765
12	0,364383	2,23435	0,324028	0,483708	0,07172	-0,54316	0,199634	-0,18056	0,286666	0,083259	1,024827
13	0,389052	2,238008	0,296327	0,467731	0,120977	-0,52248	0,171984	-0,22165	0,242888	0,073847	1,039361
14	0,412907	2,244178	0,26968	0,455414	0,162355	-0,50628	0,147704	-0,25649	0,205863	0,062363	1,051654
15	0,436133	2,252458	0,24386	0,446448	0,196979	-0,4941	0,12601	-0,28605	0,174559	0,049124	1,062046
16	0,458902	2,262504	0,218661	0,440453	0,225788	-0,48542	0,106215	-0,31112	0,148103	0,034395	1,07083
17	0,481365	2,274019	0,193905	0,437028	0,249574	-0,47973	0,087733	-0,33239	0,12575	0,018405	1,078251
18	0,503653	2,286747	0,169438	0,435779	0,269008	-0,47655	0,070079	-0,35044	0,106869	0,001345	1,084519
19	0,525878	2,300466	0,145135	0,436337	0,284661	-0,47541	0,052862	-0,36575	0,090925	-0,01662	1,089813
20	0,548131	2,314984	0,120888	0,438365	0,297023	-0,47594	0,035771	-0,37873	0,077463	-0,03536	1,094282
21	0,570488	2,330132	0,096616	0,441564	0,306513	-0,47776	0,018567	-0,38975	0,066099	-0,05476	1,098055
22	0,593008	2,345765	0,07225	0,44567	0,313492	-0,48058	0,001069	-0,39909	0,056507	-0,07471	1,10124
23	0,615737	2,361753	0,047741	0,450458	0,318267	-0,48413	-0,01685	-0,40702	0,048413	-0,09513	1,103927
24	0,63871	2,377984	0,02305	0,455735	0,321107	-0,48821	-0,03529	-0,41373	0,041584	-0,11595	1,106194

По результатам решения строим графики ,,:

Проводим проверку. Извлекаем из таблицы значения углов поворота звеньев из строки под номером 3. Механизм строим в масштабе 1:10, определяем положение мгновенных центров скоростей. Строим векторы скоростей точек A, B, C, M и указываем дугами направления вращения звеньев. По известным значениям скоростей и расстояниям до мгновенных центров скоростей определяем значения угловых скоростей звеньев и скорость точки С.

Результаты, полученные с помощью графических построений, близки к результатам решения задачи на ЭВМ и не отличаются более чем на 5%.