1. Физическая постановка задачи

Рассмотрим медленное ползущее течение высоковязкой нелинейно-вязкопластичной жидкости, описываемой реологической моделью Шульмана. Рассматриваемая среда является изотропной, плотность жидкости принимаем постоянной. Течение происходит в изотермических условиях при отсутствии массовых сил.

Жидкость течет с постоянным расходом в области внезапного сужения двух каналов цилиндрической формы с соотношением их диаметров 4:1. При ламинарном течении в трубе определенного диаметра с последующим сужением канала поток установившегося течения жидкости подвергается значительной пространственной перестройке в окрестности зоны сужения. Характер такой перестройки потока позволяет определять реологические параметры исследуемой жидкости и выявлять физические закономерности.

Характерной гидродинамической особенностью данного типа течения является наличие у среды предела текучести и, как следствие, области квазитвердого течения с неизвестными пространственными границами.

С учетом принятого предположения о связи тензора напряжений и скоростей деформаций в качестве реологического уравнения используем феноменологическую четырехпараметрическую модель Шульмана, которую представим в виде

(1.1)

, (1.2)

где - эффективная вязкость,- предел текучести,- пластическая вязкость,- параметры нелиней–ности реологической модели, - тензор скоростей деформаций, определяемый как

, (1.3)

- интенсивность касательных напряжений,

- интенсивность скоростей деформаций,

- вторые инварианты тензоров напряжений и скоростей деформаций соответственно,.

2. Математическая постановка задачи

С учетом принятых допущений в основу математического описания процесса течения нелинейно-вязкопластичной жидкости положим уравнения механики сплошной среды, включающие в себя:

- уравнение движения

(1.3)

где - тензор напряжений,- компоненты вектора скорости,- девиатор тензора вязких напряжений,- гидродинамическое давление,- метрический тензор.

- уравнение неразрывности

Так как жидкость несжимаема, ее плотность постоянна следовательноиpможно вынести из оператора диверценции и сократить.

(1.4)

Для осесимметричного случая в правой цилиндрической системе координат , систему уравнений (1.3)-(1.4) представим как

, (1.5)

, (1.6)

. (1.7)

где компоненты девиатора тензора напряжений имеют вид:

, , (1.8)

, . (1.9)

Выражение для интенсивности скоростей деформаций в цилиндрической системе координат будем определять как

(1.10)

Подставляя (1.8)-(1.9) в (1.5)-(1.6), получим

(1.11)

(1.12)

. (1.13)

Рис. 1. Границы расчетной области

Уравнения (1.11)-(1.13) замыкаем следующими граничными условиями. Для этого границу расчетной области (рис. 1) представим в виде , где,.

С учетом введенных обозначений для рассматриваемой области (рис. 2) граничные условия имеют вид:

- на входе в областьтечения задаем профиль установившегося течения жидкости Шульмана с заданными значениями реологических параметров и известным постоянным расходом ():

, (1.14)

; (1.15)

- на твердых стенках ,,- условия непротекания и прилипания

; (1.16)

- на выходе из расчетной областизадаем слабые условия установления течения

, (1.17)

; (1.18)

- на оси симметрии

, (1.19)

. (1.20)

Таким образом, задача о течении высоковязкой нелинейно-вязкопластичной жидкости в осесимметричном канале с внезапным сужением сводится к определению компонентов вектора скорости (,), эффективной вязкостии давления, удовлетворяющих уравнениям (1.11)-(1.13) и граничным условиям (1.14)-(1.20).

Значения параметров задачи принимают вид:

,

,

,

,

,

H=1,

,

R₁=N,

R₂=N/4,

N=11.