Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петрозаводский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ММСЭС / Analys_DS

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.05.2015

Размер:

1.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Пример 12.

Установим, какой характер выпуклости (вогнутости) имеют фазовые траектории относительно оси x. Для этого найдем производную y”(x):

d 2 y

y 1

y '(x)

y 1

и определим области «знакопостоянства» полученного выражения. В тех областях, где y”(x) > 0, фазовые траектории имеют

выпуклость «вниз», а где y”(x) < 0, –

выпуклость «вверх».

y”(x) > 0

y”(x) < 0

y”(x) > 0

Пример 12.
62
Выясним направления движения по									y
фазовым		траекториям,			определив				y
фазовым		траекториям,			определив
области «знакопостоянства» правых							x’(t) > 0,	y’(t) > 0
частей системы							y”(x) > 0
		dx		y,

		dt
		dy		y 1.			x’(t) > 0,	y’(t) < 0,	y”(x) < 0
				y 1.					x
		dt
Границами		этих		областей		будут
вертикальная			и	горизонтальная			x’(t) > 0,	y’(t) < 0
изоклины.							y”(x) > 0
							y”(x) > 0
Полученной информации достаточ-
но	для	построения			фазового
портрета.

Пример 12.
63
	y		y
	y
x’(t) > 0,	y’(t) > 0
y”(x) > 0
x’(t) > 0,	y’(t) < 0,
y”(x) < 0		x	x
		x	x
x’(t) > 0,	y’(t) < 0
y”(x) > 0

Пример 13.

dx 2,dt

dy 2x y.dt

Горизонтальная изоклина: 2x y = 0.

Выясним, существуют ли прямые, которые содержат фазовые траектории. Уравнения таких прямых будем искать в виде y = kx + b. Так как

2x y

(2 k)x b

y kx b

то последнее выражение не зависит от x, если k = 2. Тогда для нахождения b

получим		b	b 4.
2

	2

Таким образом, на прямой y = 2x 4 лежат фазовые траектории. Эта прямая является асимптотой на фазовой плоскости.

Пример 13.

d 2 y		d	2x y	2 y '(x)	1	2	2x y	y 2x 4	.

dx	2			2	2			4
		dx	2				2

Определим области «знакопостоянства» полученного выражения. В тех областях, где y”(x) > 0, фазовые траектории имеют выпуклость «вниз», а где y”(x) < 0, – выпуклость «вверх».

y”(x) > 0

y”(x) < 0

Пример 13.

Выясним направление движения по фазовым траекториям, определив области «знакопостоянства» правых частей системы:

dt 2,

dy 2x y.

Границей этих областей будет горизонтальная изоклина.

	y
x’(t)>0,	y’(t)<0
		x
	x’(t)>0,	y’(t)>0

Полученной информации достаточно для построения фазового портрета.

Пример 13.

y”(x) > 0

y”(x) < 0

x’(t)>0,	y
x’(t)>0,
y’(t)<0
	x
	x’(t)>0,
	y’(t)>0

Пример 14.

dx x y,dt

dy 2(x y) 2.dt

Вертикальная изоклина: x y = 0; горизонтальная изоклина: x y + 1= 0.

	dy		2(x y) 2			2

k					2

	dx	y kx b	x y	y kx b		x y

то последнее выражение не зависит от x, если

получим	1	2		2		b 2.
				b

2	2	,

	(1 k)x b
y kx b

k = 1. Тогда для нахождения b

Таким образом, на прямой y = x +2 лежат фазовые траектории. Эта прямая является асимптотой на фазовой плоскости.

Пример 14.

Определим, как изменяются абсцисса и ордината движущейся точки по фазовой траектории. Для этого построим области «знакопостоянства» правых частей системы.

	y
x’(t)<0,	y’(t)<0
	x’(t)<0,	y’(t)>0
			x
		x’(t)>0,	y’(t)>0

Эта информация потребуется для определения направления движения по траекториям.

Пример 14.

Установим, какой характер выпуклости (вогнутости) имеют фазовые траектории

относительно оси x. Для этого найдем производную y”(x):

2(x y) 2

d 2 y

2(x y) 2

2( y '(x) 1)

x y

2(x y 2)

x y

(x y)

Определим

области

«знакопостоянства»

y”(x)> 0

полученного выражения.

В тех областях,

где y”(x) > 0, фазовые траектории имеют

выпуклость

«вниз», а где y”(x) < 0, –

выпуклость «вверх».

y”(x)< 0

Полученной

информации

достаточно

для

y”(x)> 0

построения фазового портрета.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>