Основы механики твердого деформируемого тела

между компонентами девиаторов напряжений и деформаций. Кроме того, в своих экспериментах исследователи строили поверхности текучести, назначая различные пороги для пластической деформации. Естественно, что и результаты они получали разные. Создалось впечатление, что поверхность нагружения – понятие чисто умозрительное, реального смысла не имеющее. Недаром возникла идея построения теории пластичности, не апеллирующая к поверхности текучести, а устанавливающая связь между напряжениями и деформациями напрямую. Именно так и построена теория малых упругопластических деформаций.

Даже те немногочисленные эксперименты, о которых удалось рассказать в этой главе, убеждают в том, что всегда найдутся такие опыты, которые опровергают любую теорию. Однако при разумном огрублении результатов испытаний и для ограниченного числа историй нагружения некоторые из теорий, и в частности, теория течения, экспериментальную проверку выдерживают. Поэтому особое значение приобретают эксперименты, в которых реализуются самые различные программы нагружения образцов и указывается точная мера отклонения опытных данных от результатов, следующих из той или иной теории пластичности. Имея в своем распоряжении эти данные, специалист, решающий конкретную задачу, сам сделает вывод о допустимости погрешности, которая возникает из-за погрешности теории.

КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ

Теория пластичности в учебной литературе соседствует с теорией упругости уже на уровне названий учебных пособий [28, 23]. Если же в заголовок книги словосочетания "теория упругости" и "теория пластичности" не вынесены, то их следует искать в наименовании разделов, следующих один за другим [24, 40]. Однако представлены эти разделы неравноценно. Так, из 320 с. учебника О. И. Теребушко [33] теории пластичности отданы только последние 50 страниц. Учебное пособие В. И. Самуля [28] насчитывает 288 с., но лишь 30 из них отведены теории пластичности. Однако существуют и учебники, целиком посвященные неупругим задачам механики твердого деформируемого тела. Среди них – книга Н. Н. Малинина [18], в которой теория пластичности занимает 240 с. Наконец, имеется целый ряд отечественных и зарубежных монографий по теории пластичности. Одной из лучших среди них является монография Л. М. Качанова [12] объемом в 420 с. Только на таком пространстве может быть размещен материал, который должен быть освоен специалистом в области пластических деформаций. Однако начальное представление о задачах теории пластичности, которого вполне может оказаться достаточно для большинства инженеров, занимающихся прочностными расчетами строительных конструкций, можно получить по учебнику [33, с. 269–317] или книге [40, с. 725–750].

В настоящем курсе материал изложен не столь сжато, как в упомянутых выше источниках [28, 33, 40], но и не столь детально, как в книгах [12, 18] и им подобных. Поэтому в нем отсутствуют решения многих задач, в том числе и тех, что имеются в работах [28, 33, 40]. Но зато больше внимания уделено экспериментальному обоснованию теории пластичности и практически ни одно из приводимых утверждений не оставлено без доказательства.

Кглаве 1

Оприспособляемости конструкций к повторному нагружению кратко говорится в учебнике Н. Н. Малинина [18, с. 235–244]. Основное место в нем отводится двум примерам. Теория приспособляемости изложена в монографии Л. М. Качанова [12, с. 333–346]. В теории пластичности для описания напряженно-деформированного состояния в точке тела используется специальная терминология, о которой кратко было рассказано в п. 1.3–1.5

комментируемой главы пособия. Более подробная информация по этой теме имеется в книге [18, с. 9–38]. Наглядная интерпретация коэффициента Лоде

–Надаи для напряжений дается А. П. Филиным [40, с. 431–434].

Кглаве 2

Оместе теории пластичности среди дисциплин, в которых изучаются неупругие деформации тел, кратко и ясно сказано в книге [40, с. 725– 726] (в разделе, написанным Ю. Б. Шулькиным). Полезная информация о действительных диаграммах деформирования различных материалов и их схематизации содержится в учебнике Н. Н. Малинина [18, с. 93–105].

В данной главе (главе 2) этой книги рассматриваются только два самых распространенных условия начала пластичности. Как об этих условиях, так и о некоторых других гипотезах возникновения необратимых деформаций можно почерпнуть как дополнительную, так и новую информацию из монографии И. И. Гольденблата и В. А. Копнова [7]. Что же касается методики освещения данного вопроса в настоящем пособии, то она позаимствована из книги [40, с. 729–732]. В учебнике [18, с. 58–67] и монографии [12, с. 49–68] можно найти дополнительные сведения о теории течения и теории малых упругопластических деформаций. Кроме названных теорий пластичности, существуют и другие теории. Об одной из них – теории скольжения, пытающейся учесть процессы, которые происходят внутри отдельных кристаллических зерен материала, кратко говорится в монографии Ю. Н. Работнова [22, с. 582–588].

Пример, разобранный в п. 2.7 данной главы, рассматривался также и многими другими авторами, в том числе Л. М. Качановым [12, с. 63–66], Н. Н. Малининым [18, с. 147–152], Ю. Б. Шулькиным [40, с. 741–745]. Подход к решению задачи всюду был своим.

К главе 3

Теория предельного равновесного состояния пластического тела детально изложена Н. Н. Малининым [18, с. 208–234]. Эта теория позволяет решить многие важные практические задачи, поэтому она заинтересовала в первую очередь специалистов в области строительной механики. Последним принадлежат многие важные результаты, полученные в ходе исследования несущей способности балок и пластин. В сказанном можно убедиться, ознакомившись с IX главой учебника А. Р. Ржаницына [24, с. 178–203], а также с учебником В. А. Гастева [6, с. 64–66, 174–177, 190–192, 234–236, 244–246]. Большое внимание проблеме уделяется и Л. М. Качановым, который отвел много места примерам решения задач, имеющим практическое значение [12, с. 295–312]. Краткое описание теории предельного равновесия дается в учебнике О. И. Теребушко [33, с. 307–313]. А. Н. Работнов при-

водит решения ряда важных в практическом отношении задач, полученные методом предельного равновесия [22, с. 538–554]. В их числе задача о плоском напряженном состоянии идеально пластической полуплоскости, задачи о протяжке полосы, концентрации напряжений около выточек и отверстий, а также задача о кручении цилиндрического бруса. Однако математический аппарат, используемый А. Н. Работновым при решении указанных задач, требует от читателя более обширных знаний в области высшей математики, нежели те, которые получают студенты технических вузов. Но тот, кто посвятил себя механике, должен понимать, что без достаточно глубоких знаний в названной выше области ему не обойтись.

Кглаве 4

В1948 г. вышла в свет книга [32], в которой наряду с переводами работ основоположников теории пластичности Б. Сен-Венана, Т. Кармана, М. Леви, Р. Мизеса, Л. Прандтля и Г. Генки были опубликованы отчеты по пионерским экспериментам в этой области, давшим толчок большинству экспериментальных исследований по пластическому деформированию материалов на многие годы вперед. Среди статей сборника содержатся работа В. Лоде [32, с. 168–205], в которой был введен коэффициент вида напряженного состояния, две статьи Е. Дэвиса [32, с. 336–363, 364–374], в которых сопоставлялись экспериментальные данные с результатами, следующими из теории течения, а также исследование М. Роша и А. Эйхингера [32, с. 157– 167], посвященное изучению поверхности нагружения. Некоторые из выполненных названными авторами экспериментов описаны в комментируемой главе. Значительно более подробную информацию об опытах, поставленных

А.М. Жуковым, Ю. Н. Работновым, М. Л. Качановым и другими исследователями, можно найти в учебнике Н. Н. Малинина [18, с. 44–45, 68–78] и в монографии И. И. Гольденблата и В. А. Копнова [7].

Заключение

В предлагаемой Вашему вниманию части книги краевая задача теории пластичности не рассматривалась вообще. В отличие от задачи о предельном равновесии тела краевая задача теории пластичности для инженера, проектирующего силовые конструкции, не так интересна. Не случайно в большинстве учебных пособий по теории пластичности их авторы, отдавая дань краевой задаче, ограничиваются приведением двух–трех простых примеров [28, 33, 40]. Тот, кто знаком с техникой решения краевых задач теории упругости, сможет при желании ознакомиться с методами решения краевой задачи теории пластичности по книгам [18, 12]. В учебнике Н. Н. Малинина только плоской задаче отведена целая глава [18, с. 172–206]. В этом же учебнике описываются общие методы решения краевой задачи – как

точные, так и приближенные [18, с. 106–146]. Большую роль при выполнении расчетов играют вариационные принципы, ибо они освобождают от необходимости решать системы нелинейных дифференциальных уравнений. Подробное описание энергетических методов решения задач пластического течения и вариационных принципов, на которых такие методы основаны, имеется в монографии Л. М. Качанова [12, с. 284–332]. В книгах [12, 18, 22] содержится и другой материал, не нашедший отражения в части VII данного курса. Наконец, в них приведены обширные списки литературы, дающие достаточно полное представление о развитии теории пластичности и ее месте среди прочих разделов механики твердого деформируемого тела.

808 Приложения

Отсюда следует, что если Sy = Sz = 0, то и Sy = Sz = 0, стало быть, системы координат 0 y z и 0yz являются центральными одновременно.

Пример 1. Требуется найти положение центра тяжести C полукруга, изображенного на рис. 3a. Ясно, что этот центр тяжести находится на оси A–A симметрии рассматриваемой фигуры, так что вычислить придется лишь расстояние от основания полукруга до точки C.

Задача решается при помощи рис. 3b и первой из формул (6). Так как

Полученное решение позволяет указать положение центра тяжести и для поперечного сечения в форме четверти круга (рис. 3c).

Пример 2. Поперечное сечение бруса, изображенное на рис. 4a, имеет горизонтальную ось симметрии, на которой находится его центр тяжести C. Требуется вычислить расстояние a, отделяющее точку C от левой границы рассматриваемой фигуры. Согласно формуле (6)2,

a ≡ zC = Sy /F.

Величины Sy , F проще всего найти, разбив сечение на две части так, как это показано на рис. 4b: из прямоугольника размерами 2b × 4b вычитается прямоугольник

шириной b и высотой h = 2b. В этом случае

Тогда

a = zC = SFy = 56b .

Пример 3. Требуется найти вертикальную координату центра тяжести C двутаврового поперечного сечения, изображенного на рис. 5a. Наиболее просто задача решается при разбиении сечения на симметричный относительно двух осей двутавр 1 и два квадрата 2 (рис. 5b). Если теперь поместить начало 0 вспомогательной системы координат 0 y z в центр тяжести фигуры 1, то будет выполняться равенство Sz(1) = 0 и потому

Sz = Sz(2) = 2 · b · b · (−2b) = −4b3, F = F1 + 2F2 = 9b2.

Остается применить первую из формул (6) и узнать, на каком удалении от оси 0z находится центр тяжести всего сечения:

Отрицательный знак говорит о том, что точка C находится выше оси 0 z . Это и показано на рис. 5c.

Пример 4. На рис. 6a изображен прямоугольник, для которого вычисляются статические моменты относительно осей 0y, 0z. Размеры b, h и угол наклона базиса 0yz заданы.

Решение задачи, как и обычно, начинается с назначения вспомогательного базиса, в котором статические моменты определяются без труда. В данном случае начало такого базиса удобно совместить с точкой 0, а оси 0y , 0z направить вдоль сторон прямоугольника. Тогда Sy = b2h/2, Sz = bh2/2. Далее надо применить формулы (7):