Основы механики твердого деформируемого тела

следние и были проведены для большого числа конструкционных материалов, испытывавших самые разнообразные напряженные состояния.

Описываемые ниже испытания условно разделены на две группы. К первой из них отнесены эксперименты, в которых реализовывалось двухмерное напряженно-де- формированное состояние. В этих опытах σ3 = 0 и условия начала текучести (2.3), (2.4) соответственно принимают вид:

|σ1 −σ2|= σT, |σ2|= σT, |σ1|= σT; (4.8)

Ограничения (4.8) выделяют на плоскости

σ1σ2 шестигранник, а условия (4.9) – эллипс, показанные на рис. 4.4. Повер- хности текучести представлены шестиугольником и эллипсом, оси которых

одинаково наклонены к осям σ1, σ2. Шестиугольник (4.8) точно вписывается в эллипс (4.9), поэтому обе сопоставляемые теории при нагружениях по лучам 0Ai (i = 1, 2, . . . , 6) приводят к одинаковым напряженным состояниям. Наибольшее же различие между предельными напряженными состояниями, прогнозируемыми теориями Треска – Сен-Венана и Губера – Мизеса, имеет место при нагружении вдоль лучей 0Bi. Оно достигает 15, 5%.

После сказанного выше план экспериментов становится очевидным. Надо по различным траекториям загружать образцы до наступления пластического течения, фиксируемого по остаточным деформациям в 0, 15÷0, 2%,

иснимать показания приборов, отмечающих уровень внешних воздействий. По этим данным вычисляются напряжения σ1, σ2 (см. предыдущий пункт)

иточки с координатами σ1 и σ2 откладываются на плоскости σ1σ2. По тому, как располагаются на ней эти точки, станет ясно, какая из теорий начала пластичности более достоверна.

Результаты одних из первых экспериментов по установлению вида поверхности начала текучести были опубликованы в 1926 г. Их авторы – немецкие исследователи М. Рош и А. Эйхингер. Были доведены до разрушения 29 трубчатых образцов, вырезанных из одного и того же прутка вязкой кремнемарганцевой стали. Каждый из образцов испытывался только один раз. Пять образцов подвергались сжатию вместе с кручением, остальные образцы дополнительно нагружались еще и внутренним давлением. Результаты испытаний, представленные на рис. 4.5a, свидетельствуют в поль-

зу теории Губера – Мизеса. Кроме того, они подтвердили возможность, по крайней мере, на начальной стадии пластического деформирования, считать, что ν = 0, 5.

Почти одновременно с Рошем и Эйхингером опубликовал результаты своих опытов В. Лоде (1928 г). Он испытывал тонкостенные трубы, сделанные из литого железа, меди и никеля, которые подвергались одновременному воздействию внутреннего давления и растяжения. И снова эксперименты продемонстрировали лучшее соответствие истине теории Губера – Мизеса (рис. 4.5b). Последующие опыты с другими металлами и сплавами в этом отношении с пионерскими экспериментами не расходились. В подтверждение сказанному на рис. 4.5c приведены результаты испытания тонкостенных труб из хромированной стали и стали ЭИ415, проведенные А. М. Жуковым уже в 50-е годы XX века. Загружение осуществлялось растягивающей силой и внутренним давлением. Все эти эксперименты наводят на мысль, что толь-

ко при напряженных состояниях, которые отображаются точками, лежащими вблизи лучей 0Ai (см. рис. 4.4), допустимо опираться на условия начала текучести Треска – Сен-Венана.

Эксперименты, в которых реализуется объемное напряженное состояние, проводятся с учетом того, что формы сечений призмы Кулона и цилиндра Губера – Мизеса (см. рис. 2.6, 2.7) плоскостями σ3 = const остаются одинаковыми при любом значении

константы σ3. Однако положения проекций этих сечений на плоскости σ1σ2 определяются именно данной константой. Так, при σ3 = −σT/2 обсуждаемые проекции имеют вид, представленный на рис. 4.6 шестиугольником и эллипсом, которые обведены сплошными линиями. Значит, если сжать образец силой P и зафиксировать ее, то его состояние будет характеризоваться напряжениями σ1 = σ2 = 0, σ3 = −P/F . Если затем выполнить догружение крутящим моментом, внутренним давлением и осевой силой P1 так, чтобы напряжение σ3 не менялось, то останется, как и в двухмерных опытах, найти положительные напряжения σ1, σ2 и отобразить отвечающие им точки на плоскости σ1σ2. Иначе говоря, экспериментальное исследование объемного напряженного состояния сводится к серии испытаний, проводимых в режиме экспериментов по изучению двухмерного напряженного состояния.

4.3. Экспериментальная проверка законов упрочнения. После того, как материал в точке тела перешел в предельное состояние, начинают развиваться необратимые деформации. Дальнейшее увеличение нагрузки приводит к трансформированию поверхности текучести. Выдвигались самые различные предположения о характере такого трансформирования. Некоторые из них выше уже обсуждались. Так, в п. 2.2 (см. рис. 2.4) говорилось о трансляционном упрочнении, описывающем смещение поверхности текучести как жесткого тела. Гипотеза о трансляционном упрочнении, предложенная А. Ю. Ишлинским и В. Прагером, подкупает, помимо своей простоты,

еще и тем, что явным образом учитывает эффект Баушингера. В литературе данный тип упрочнения известен также под именем кинематического упрочнения.

Об изотропном (равномерном) упрочнении упоминалось в начале п. 2.5. Там же был отмечен и существенный недостаток модели изотропного упрочнения – игнорировался эффект Баушингера. Обе указанные гипотезы в 1957 году обобщил Ф. Г. Ходж, предположив, что поверхность текучести трансформируется как из-за ее расширения, так и по причине жесткого смещения.

Высказывались также различные соображения о форме поверхности текучести при упрочнении. Например, В. Д. Клюшников (СССР) и Б. Будянский (США) неза-

висимо друг от друга выступили в 1959 году с так называемой концепцией угловой точки. Согласно этой кон-

цепции, поверхность текучести изменяется таким образом, чтобы на ней образовывался остроконечный выступ, а сама поверхность

по-прежнему оставалась выпуклой. Последнее требование означает, что точка B на рис. 4.7 перемещается в положение D так, чтобы прямые AD и DC касались кривой L.

Ни одна из выдвинутых гипотез о форме поверхности упрочнения не обошлась без критики в свой адрес, в том числе и со стороны экспериментаторов. Опыты по установлению формы поверхности упрочнения (поверхности нагружения, как ее часто называют) довольно сложны. Ведь при их проведении приходится выходить за пределы площадки текучести на участок упрочнения и считаться с изменением механических характеристик материала. Надо также иметь в виду, что каждое нагружение осуществляется по вполне конкретной траектории и что именно вдоль нее константы материала меняются, тогда как по всем иным направлениям на поверхности текуче-

сти они остаются прежними. Данную особенность пластического течения называют деформационной анизотропией. Простейшим ее примером явля-

ется эффект Баушингера. Сказанное означает, что на форму поверхности упрочнения существенно влияет история нагружения, т. е. последовательность и характер прикладываемых воздействий – осевой силы и давления или осевой силы и крутящего момента.

Опыты по установлению формы поверхности текучести упрочняющегося материала проводятся при двухмерном напряженном состоянии, что можно было понять и по последней фразе предыдущего абзаца. Прежде всего оговаривается мера остаточной деформации, по которой устанавливается предел текучести σT, например, по той или иной величине εT, выбранной из диапазона 0, 15 ÷0, 25%. После этого строится экспериментальная начальная кривая текучести L, ограничивающая на плоскости σ1σ2 упругую область деформирования материала, еще не подвергавшегося упрочнению. Линия L строится по точкам (σ1, σ2), которые получают в ходе испытания ряда образцов при различных сочетаниях внешней нагрузки. На рис. 4.8a каждому нагружению отвечает свой луч, исходящий из начала координат. На каждом таком луче находят точку (σ1, σ2), отвечающую деформации εT, т. е. принадлежащую линии L. Как говорилось в предыдущем пункте, эта линия близка к эллипсу Губера – Мизеса.

На втором этапе испытания выбирается какая-либо траектория нагружения (одинаковая для всех образцов, например, луч 0A на рис. 4.8b), приводящего к оговоренной остаточной деформации ε образца. Как только деформация ε > εT будет достигнута, нагрузка сбрасывается. Затем каждый из образцов повторно на-

гружается по некой новой траектории (своей для каждого образца) до достижения деформации ε . Отложенные на плоскости σ1σ2 точки, отвечающие во всех проведенных опытах деформации ε , соединяются плавной кривой

L, которая изображена на рис. 4.8b. Это и будет искомая кривая текучести. Опыты показывают, что кривая нагружения смещается в направлении предварительного пластического деформирования, т. е. вдоль луча 0A, и что

входе такого смещения ее форма меняется. К числу одних из наиболее обстоятельных экспериментов по установлению закона упрочнения относятся опыты Л. В. Ху и Д. Марина, выполненные в середине XX века. В статье, посвященной описанию своих испытаний, они говорят следующее: "Результаты опытных исследований двухмерного напряженного состояния с переменным отношением напряжений показывают, что ни критерий энергии формоизменения, ни критерий Прагера не определяют адекватной функции нагружения, даже если эту функцию модернизировать за счет учета начальной анизотропии материала. Далее, результаты опытов с определенностью отвергают гипотезу изотропного расширения поверхности нагружения

входе пластической деформации. Наконец, результаты опытов качественно подтверждают гипотезу образования в процессе нагружения в пластической области так называемой угловой точки текучести".

Ив заключение еще несколько слов об угловых точках. Появления острых углов, или, как еще говорят, конической особенности на поверхности

нагружения в экспериментах не наблюдалось. Однако возникновение участков большой кривизны вблизи точки нагружения (т. е. точки A на рис. 4.8b) было очевидным. Вот почему Ху и Марин говорят лишь о качественном подтверждении гипотезы угловой точки.

4.4. Экспериментальная проверка деформационной теории. При построении теории малых упругопластических деформаций делались допущения об отсутствии изменения объема тела и о наличии единой кривой, т. е. о независимости функции σинт(εинт) от вида напряженного состояния. Что касается экспериментальной проверки равенства ε0 = 0 или ε0 = 0, то она проста. Достаточно сложить замеряемые в опыте главные деформации εi или εi и убедиться, что полученная сумма близка к нулю. Такие подсчеты делались, в частности, и при проведении опытов, о которых говорилось в п. 4.3. Все они подтвердили справедливость предположения о сохранении объема тела при пластическом течении.

Имеется еще одна несложная проверка правильности деформационной теории, которую можно осуществить в ходе проведения экспериментов, преследующих более широкие цели. Речь идет о проверке равенства (2.23), связывающего коэффициенты Лоде – Надаи для напряжений и деформаций:

Как было показано в п. 2.6, это равенство является следствием теории малых

упругопластических деформаций и в случае справедливости этой теории оно должно соблюдаться по меньшей мере при простых нагружениях. Это означает, что экспериментальные точки (µσ , µε) должны размещаться на плоскости µσ µε около прямой (4.10). Координаты µσ и µε этих точек вычисляют по формулам (1.30) и (1.35). В первую из них подставляют значения напряжений, которые находят при помощи соотношений (4.1)–(4.4) или (4.6), а во вторую

– замеренные в опыте главные деформации (при развитом течении – истинные деформации (4.7)). Результаты экспериментов В. Лоде, Г. Тейлора – Г. Квини и Е. Дэвиса, выполненных в первой половине XX века, приведены на рис. 4.9.

Лоде испытывал трубчатые образцы из стали, меди и никеля при многопараметрическом нагружении осевой силой и внутренним давлением. Такое нагружение является сложным. Из рис. 4.9a, на котором представлены результаты испытаний стальных образцов, видно, что экспериментальные точки скучиваются вблизи теоретической прямой (4.10), хотя при µσ = −1 (чистое растяжение) наблюдается отклонение ряда точек от нее. Указанное отклонение обычно относят на счет недостаточно точного построениея диаграммы растяжения материала.

Тейлор и Квини испытывали на совместное действие растягивающей силы и крутящего момента стальные, алюминиевые, медные, свинцовые, стеклянные и кадмиевые трубы. Результаты испытаний четырех из перечисленных материалов представлены на

рис. 4.9b. Нагружение, как и в опытах Лоде, было сложным. Экспериментальные точки расположились недалеко от прямой (4.10). Таким образом, опыты, проведенные Лоде, Тейлором и Квини, показали, что равенство (4.10)

выполняется не только тогда, когда нагрузка меняется пропорционально только одному параметру. Этим отчасти объясняется тот факт, что теория малых упруго-пластических деформаций приводит к достоверным результатам и при нагружениях, близких к простому.

Дэвис проводил испытания медных трубчатых образцов при действии осевой силы и внутреннего давления, которые менялись в процессе нагружения пропорционально друг другу. Такое простое нагружение привело к тому, что экспериментальные точки почти не отходят от прямой µσ = µε.

Более сложными были эксперименты Дэвиса, направленные на проверку гипотезы единой кривой. В качестве образцов брались медные и стальные трубы, которые подвергались осевому растяжению и внутреннему давлению, менявшимся пропорционально одному параметру. Напряженное состояние является двухмерным, что позволяет характеризовать его вид отношением

k = σ2/σ1.

При k = 0 образец испытывает чистое растяжение либо чистое внутреннее давление. Если k = 0, 5, то реализуется чистый сдвиг. И в самом деле, в случае чистого сдвига µσ = 0 (см. комментарии к формуле (1.30)), т. е.

Значению k = 1 отвечает всестороннее плоское растяжение либо всестороннее плоское сжатие. Величины k, при которых приводились опыты, указаны на рис. 4.10.

В экспериментах замерялись логарифмические деформации (4.7) и вычислялись истинные напряжения (4.6), по которым однозначно устанавливались главные касательные напряжения и главные сдвиги. Наибольшие касательные напряжения τmax пропорциональны интенсивности напряжений (1.26) и интенсивности касательных напряжений (1.28), о чем говорилось в п. 1.3. С другой стороны, наибольший угол сдвига γmax пропорционален интенсивности осевых деформаций (1.33) и интенсивности сдвигов (1.34). Стало быть, о существовании единой кривой можно судить не только по

функции σинт(εинт), но и по зависимости τ max(γmax) истинных касательных напряжений от истинных деформаций сдвига. Экспериментальные графи-

ки именно этих зависимостей, полученные Дэвисом при испытании медных образцов, приведены на рис. 4.10. Кривые, отвечающие разным видам напряженного состояния, разнесены по горизонтали – иначе бы они слились в одну линию, ту самую единую кривую, существование которой опыты Дэвиса так блестяще подтвердили. Наличие единой кривой при простом нагружении наблюдалось в дальнейшем и другими исследователями.

4.5. Экспериментальная проверка теории течения. Проверить достоверность этой теории можно при сопоставлении результатов, устанавливаемых экспериментально, с теми напряжениями и деформациями, которые следуют из уравнений (2.17). Как и обычно, опыты проводятся с трубчатыми образцами при различных сочетаниях неоднократно упоминавшихся выше трех видов воздействий.

Ход испытаний и их итоги определяются историей нагружения. Пусть, например, образец на первом этапе деформирования растягивается осевой силой до возникновения остаточной деформации. На рис. 4.11 этой стадии деформирования образца отвечает участок 0A диаграммы "σ–ε". Далее сила P фиксируется и догружение образца осуществляется уже крутящим моментом. Другими словами, на однородную деформацию растяжения накла-

дывается однородная же деформация чистого сдвига. На рис. 4.11 догружению отвечает участок AB диаграммы "τ –γ". Тангенс угла β наклона касательной AC0 к линии AB равен модулю сдвига G0, отнесенному к началу догружения. Согласно теории течения (см. последнюю из формул (2.17)), в самом начале догружения, т. е. при dεp = 0, имеет место равенство

dγ = G1 dτ,

из которого следует, что начальный модуль сдвига GT0 совпадает с упругим модулем G: GT0 = G. При помощи последней из формул (2.22) можно таким

же образом установить, чему должен равняться в начале догружения модуль сдвига GД0 , следующий из деформационной теории. В случае чистого сдвига

по этой теории

γ = 3 σε τ.

По рис. 4.11 видно, что σ/ε = tg α, а потому

GД0 = 13 tg α.

Говорят, что начальный модуль сдвига, получаемый по деформационной теории, равен одной трети от секущего модуля. Таким образом,

Если в опыте получится, что G0 ≈ G, то теория течения правильно описывает исследуемое напряженное состояние.

По разобранной выше схеме в 50-е годы XX века выполнялись испытания тонкостенных трубчатых образцов из стали А. М. Жуковым и Ю. Н. Работновым. Исследовались четыре истории нагружения, отличающиеся друг от друга величиной предварительной вытяжки образцов (рис. 4.12). Во всех четырех историях нагружения диаграмма "τ –γ", фиксируемая в эксперименте при действии на образец крутящего момента (догружение), имеет вид, представленный на рис. 4.11. Иначе говоря, из экспериментов следовало, что (см. формулы (4.11))

GT0 < G0 < GД0 ,

т. е. не подтвердилась ни теория течения, ни теория малых упругопластических деформаций.

Ш. Н. Кац и Л. М. Качанов проводили эксперименты по иной методике (1957 г.). Ими испытывались тонкостенные трубчатые образцы из отожженной стали, которые сначала доводились до пластического течения внутренним давлением, а затем догружались крутящим моментом. Они установили, что равенство G0 = G соблюдалось с удовлетворительной точностью при любой начальной пластической деформации, что как раз и согласуется с теорией течения. Описанное нагружение является сложным, так что расхождение результатов экспериментов с теорией малых упругопластических деформаций вполне объяснимо.

В опытах Д. Моррисона и В. Шепферда (1952 г.) испытывались тонкостенные стальные трубы и симулиновые трубки. (Симулин – огнеупорный сплав кремния и алюминия.) Программа испытаний была четырехэтапной. На 1-м этапе осуществлялось многоступенчатое растяжение образцов осевой силой. На 2-м этапе при убывающей осевой силе к образцу ступенчато прикладывался крутящий момент. На 3-м этапе уменьшался уже крутящий момент, тогда как осевая сила вновь ступенчато возрастала. Наконец, на заключительной стадии эксперимента повторялось нагружение 2-го этапа. Всюду отмечалось лучшее соответствие экспериментальных данных теории течения.

Анализ описанных экспериментов и других подобных им испытаний приводит к следующим выводам. При простом нагружении обе сопоставляемые теории удовлетворительно описывают напряженное состояние пластически деформируемого тела. Сложное нагружение все еще нуждается в дополнительных исследованиях и, скорее всего, такие исследования потребуют не малых сил и времени. Тем не менее, сегодня можно твердо сказать, что при сложном нагружении предпочтение следует отдавать теории течения. Правда, применять на практике эту теорию из-за ее сложности пока удается лишь для решения весьма ограниченного круга задач. Но это уже проблема теоретиков, а не экспериментаторов.

4.6. Заключительные замечания. Теория пластичности, как и любая иная теория, является лишь моделью явления. Экспериментально проверяются различные следствия этой теории с той или иной степенью точности. Однако вопрос о том, что считать удовлетворительной точностью, остается открытым. Примером может служить, хотя бы, определение момента наступления текучести. Даже при осевом растяжении переход тела из упругого состояния в пластическое фиксируется по остаточной деформации, произвольно выбираемой из довольно широкого диапазона в 0, 2 ÷0, 5%. Что же тогда говорить о случае объемного напряженного состояния? Остается лишь вспомнить детально описанный выше подход, состоящий в обращении к одной из теорий пластичности. Другими словами, надо a priori оговорить связь