Основы механики твердого деформируемого тела

могут измениться и механические характеристики материала, если таковой является упрочняющимся.

На рис. 3.7a изображены эпюры напряжений σxc и σxt , порожденных постоянной и временной составляющими силового воздействия. Каждая из них в отдельности пластического течения не вызывает. Таковое обнаруживается лишь при суммарном воздействии (см. эпюру "σxp" на рис. 3.7a). Если временную нагрузку снять, то эпюра нормальных напряжений уже не останется такой, какой она была с самого начала. Эта эпюра примет вид эпюры "σxc ", представленной на рис. 3.7b, что объясняется наложением на напряже-

ния σxc остаточных напряжений. Последние (рис. 3.7c) можно вычленить по разности функций σxc (y) и σxc (y).

Указать численные значения ординат эпюр "σxc ", "σxc −σxc " и определить глубину зон пластического деформирования, а в конечном счете – и момент наступления предельного состояния, можно лишь при условии, что известна история нагружения. Однако при многопараметрическом нагружении предугадать такую историю практически невозможно. Но это не означает, что заранее ничего нельзя сказать о характере деформирования конструкции при постоянной и временных нагрузках.

При любом из трех воздействий, показанных на рис. 3.8a, формы деформирования балки примерно одинаковы. В какой бы последовательности данные нагрузки не прикладывались бы, с увеличением любой из них деформации и напряжения в конструкции будут расти, а с уменьшением – падать. Именно о таком нагружении и говорят как о близком к простому.

Совсем иначе ведет себя балка, изображенная на рис. 3.8b. Если, например, сила P1 и распределенная равномерно нагрузка интенсивностью q1 действуют одновременно, то увеличение силы P1 приведет к уменьшению усилий в пролете, а увеличение распределенной нагрузки – к уменьшению перемещений на консольном участке. Такое нагружение близким к простому не назовешь. Более сложна картина нагружения статически неопределимой балки (рис. 3.8c), ибо на эту картину может оказывать влияние и несиловое воздействие. Но если конструкция находится внутри здания, т. е. эксплуатируется при практически неменяющейся температуре, а неравномерные осадки опор минимальны, то доминирующим становится силовое воздействие, которое, как и в случае, проиллюстрированном на рис. 3.8a, близко

кпростому.

Вбалках продольные силы обычно отсутствуют, но поперечные силы, конечно же, имеются. При наличии касательных напряжений несущая способность сечения будет исчерпана еще до полного исчезновения области упругой деформации в

расчетном сечении. Объясняется это

тем, что касательные напряжения τyx = max τxy , действующие в нейтральном слое бруса, должны быть восприняты работоспособным материалом. На рис. 3.9 показано одно из возможных распределений нормальных и касательных напряжений по симметричному поперечному сечению в предельном состоянии. Размер D зоны упругих деформаций зависит от формы и размеров сечения, а также от величин Mz и Qy . Если сечение имеет прямоугольную форму, то

т. е. разница между величинами Wпл и Wпл почти неощутима. На самом же деле, при обычных для силовых конструкций размерах и нагрузках D h/4. Сказанное объясняет, почему в дальнейшем влияние касательных напряжений изгиба на предельную нагрузку учитываться не будет.

Теперь можно обратиться к конкретным примерам. На рис. 3.10 изображена статически неопределимая однопролетная балка, несущая равномерно распределенную нагрузку. На этом рисунке указаны также значения опорных реакций балки и приведена эпюра изгибающих моментов, отвечающая упругой стадии работы материала (см. табл. 6.2 в гл. IV.6). Это действительное состояние упругой конструкции одновременно является и статически, и кинематически возможным состоянием балки при потере ею своей несущей способности. В соответствии с теоремой 1, предельная нагрузка статически возможного состояния не больше истинного значения предельной нагрузки на конструкцию. Значит, она не может превы-

сить воздействия q , приводящего к изгибающему моменту

|m2| ≡ q 8l2 = Mпр = σTWпл.

Отсюда следует, что

q = 8σTWпл ≤ qпр. l2

С другой стороны, по кинематической теореме предельная нагрузка q любого кинематически возможного состояния не меньше действительной предельной нагрузки. Значит, если положить m1 = Mпр или

1289 q l2 = [σ]Mпр,

то можно будет установить верхнюю границу для величины q :

q= 128 σTWпл ≥ q .

9 l2 пр

Таким образом,

Границы (3.5) для искомой величины qпр очень широки, но и затраты времени на их отыскание были минимальными.

Однако в рассматриваемой задаче и точное значение предельной нагрузки устанавливается не намного сложнее. Для этого достаточно опереться только на статическую теорему. И в самом деле, для балки, изображенной на рис. 3.10, все множество статически возможных состояний порождает основная система метода сил, показанная на рис. 3.11. Это множество является однопараметрическим: константа k определяет положение промежуточного шарнира. С увеличением параметра k абсолютное значение изгибающего момента m1 возрастает, а величина момента m2 уменьшается. Пока эти значения различны, верхняя оценка q предельной нагрузки будет завышена,

и только при m1 = m2 она совпадет с истинным значением величины qпр. Но при m1 = m2 должно выполняться равенство

Это значение qпр неравенствам (3.5) удовлетворяет.

Получить точное решение задачи можно и с помощью одной лишь кинематической теоремы. Но прежде, чем применить ее, несколько слов о кинематически возможных состояниях пластически деформируемой стержневой конструкции. Ясно, что при определенном значении интенсивности нагрузки

вбалке, изображенной на рис. 3.10, начнут развиваться пластические деформации – прежде всего в зоне, примыкающей к заделке. Образующийся

вэтой зоне с ростом нагрузки пластический шарнир обратит рассматриваемую конструкцию в простую балку, показанную на рис. 3.12a. Такая балка способна сопротивляться нарастающему воздействию до тех пор, пока в одном из ее сечений, расположенном в средней части пролета, ни возникнет еще один пластический шарнир (рис. 3.12b). Конструкция, приведенная на рис. 3.12b, изменяема, и ее кинематически возможные состояния связаны с жесткими смещениями дисков (см. рис. 3.2). Меняя параметр k, можно по-

лучить все множество кинематически возможных положений этих дисков, но интерес представляет только то из них, в котором m1 = |m2|= Mпр, т. е.

действительное состояние разрушающейся конструкции. В этом состоянии должны соблюдаться и условия равновесия балки, что позволяет использовать принцип возможных перемещений для отыскания предельной нагрузки, точнее, для установления связи между параметром k и величиной qпр.

Решение начинается с приравнивания к нулю работы всех сил, приложенных к балке, на возможных перемещениях механизма, который возник

после образования в ней (балке) двух пластических шарниров (рис. 3.12c). Так как α1 = u/kl, α2 = u/(1−k)l и m1 = m2 = Mпр = σTWпл, то

В действительном состоянии конструкции величина qпр должна быть минимальной (кинематическая теорема), поэтому значение k можно найти из условия

dqпр = 0 : k2 + 2k − 1 = 0, dk

что дает k = √2−1. Тогда

qпр = 2(3 + 2√2) σTWпл . l2

Это совпадает с результатом (3.6), полученным при помощи статической теоремы.

Только что описанный способ решения задачи особенно удобен в тех случаях, когда число точек осевого контура конструкции, в которых могут образовываться пластические шарниры, ограничено, например, при внешнем воздействии, состоящем только из сосредоточенных сил. Задача решается простым перебором, не требующим обращения к условиям экстремума предельной нагрузки.

На рис. 3.13a изображена статически неопределимая балка, для которой требуется установить предельное значение силы P . Те поперечные сечения балки, в которых могут образоваться пластические шарниры, пронумерованы. Разрушение наступит при образовании двух пластических шарниров, поэтому возможных вариантов механизма разрушения будет три. Все они

где h – толщина пластины. Правила расстановки индексов в этих и последующих формулах поясняет рис. 3.15. Подстановка напряжений σ1, σ2 и напряже-

ния

MT σT = I z

в формулу (3.7) приводит к следующей связи между главными изгибающими моментами и предельным моментом MT:

M12 + M22 − M1M2 = MT. (3.7a)

Согласно кинематической теореме, параметр нагружения в истинном предельном состоянии конструкции должен быть минимальным. Чтобы найти этот параметр при помощи принципа возможных перемещений, необходимо вычислить работу внутренних сил и работу приложенной нагрузки на соответствующих указанным воздействиям возможных перемещениях. В упругой стадии деформирования плиты изгибающие моменты связаны с ее прогибами w(x, y) соотношениями (III.1.10). Такой же вид зависимости M1(w), M2(w) имеют и при пластическом течении, но только цилиндриче-

ская жесткость D заменяется жесткостью D , вычисленной при E = E и

ν = 0, 5:

– изменения кривизн срединной плоскости плиты в направлениях главных осей x1 и x2. Подстановка усилий (3.8) в условие текучести (3.7a) дает

Пусть к поверхности плиты приложена распределенная нагрузка интенсивностью q(x, y):

q(x, y) = P q(x, y),

где P – параметр нагружения, q(x, y) – воздействие, отвечающее единичной силе P = 1. Тогда работа B нагрузки q(x, y) может быть вычислена как интеграл, взятый по площади F :

F

Согласно принципу возможных перемещений, A = B, поэтому (учитывается кинематическая теорема)

Равенство в этой формуле достигается при условии, что прогибы w(x, y) и деформации κ1, κ2, являются действительными.

Если форма изогнутой срединной поверхности неизвестна, то в качестве таковой берется любая поверхность w(x, y), удовлетворяющая кинематическим уравнениям изгиба плит. При выборе функции w(x, y) в виде полинома или отрезка двойного тригонометрического ряда с неопределенными коэффициентами aij наилучшее приближение к точному решению получают, минимизируя правую часть соотношения (3.14) по параметрам aij :

Описанный способ решения задачи применим и при идеальной упругопластической модели тела, ибо в формулах (3.12)–(3.14a) физические константы материала уже не содержатся. Более того, может использоваться привычная схема, предусматривающая пренебрежение упругой долей деформации εe по

сравнению с деформацией εp. Однако формула (3.14) справедлива лишь для изотропных материалов, в частности, для металлов. Тонкие металлические плиты – довольно распространенная силовая конструкция. Достаточно упомянуть, например, круглые крышки сосудов, находящихся под давлением. Предельную нагрузку на такие конструкции находят при помощи формул (3.14)–(3.14a). Величина MT, фигурирующая в этих формулах, определяется эпюрами напряжений σ1 и σ2. Эти эпюры в предельном состоянии имеют вид, приведенный на рис. 3.16:

M = σTh2 .

T 4

Сказанное означает, что предельное состояние в данной части плиты наступает тогда, когда и напряжения σ1 (в первую очередь), и напряжения σ2 достигают предельного значения по всей толщине плиты.

Задача определения предельной нагрузки на железобетонную (неизотропную) плиту решается иначе. На рис. 3.17 изображен план армирования плиты прутьями, оси которых направлены вдоль осей 0x и 0y декартовой системы координат. Штрих-пунктирными линиями показаны касательные к траекториям главных напряжений σ1 и σ2 в некоторой точке C плана пластины. Эти линии пересекают прутья под некоторым углом. Пусть fармx и fармy – площади поперечных сечений прутьев, направленных вдоль осей 0x и

0y, отнесенные к единице длины. Если fармx = fармy , то говорят, что материал обладает конструктивной анизотропией. В одномерной задаче конструктив-

ная анизотропия себя не проявляет, поэтому величина MT для железобетонных балок устанавливается достаточно просто (рис. 3.18):

Через hарм обозначено плечо пары внутренних сил, равное расстоянию от центра тяжести арматуры до центра тяжести сжатой зоны бетона. Для плиты значение предельного изгибающего момента вычисляется несколько сложнее. Делается это при помощи рис. 3.17:

MT = (σT cos α)(fармx cos α)hxарм + (σT sin α)(fармy sin α)hyарм

или

MT = σT(fармx hxарм cos2 α + fармy hyарм sin2 α).