Основы механики твердого деформируемого тела

Дальнейшие рассмотрения требуют обращения к истории нагружения. Ниже сопоставляются три траектории, среди которых и та, которая отвечает простому нагружению. При простом нагружении компоненты девиаторов напряжений и деформаций меняются пропорционально одному параметру. Пусть, например,

где k – константа, γ – параметр (угол сдвига), характеризующий напряжен- но-деформированное состояние тела. Уравнение (2.36) задает прямую линию на плоскости ε–γ, исходящую из начала координат. На рис. 2.13 эта прямая обозначена номером 1. Штриховая линия, имеющая форму дуги окружности, указывает на границу поверхности текучести

ε2 + γ2 = 1. (2.32a)

Равенство (2.32a) получается из условия начала пластичности (2.32), если воспользоваться обозначениями (2.31) и очевидными соотношениями

σN = EεN, τM = GγM, σT = EεT, τT = GγT.

то напряжения (2.35) постоянны в любой точке прямой 1, находящейся выше точки A:

Следует подчеркнуть, что условию (2.32) начала пластичности напряжения (2.37) удовлетворяют тождественно.

Траектория 2 по рис. 2.13. Этот путь нагружения состоит из трех участков, на каждом из которых напряженно-деформированное состояние имеет свое описание.

a)Участок 0 ≤ε ≤1 : γ = 0, τ = 0, σ = ε < 1;

b)Участок 1 ≤ε ≤ε : γ = 0, τ = 0, σ = ε = 1;

c)Участок ε = ε =const: ε = ε , γ > 0, dε = 0, dγ > 0. Из формул (2.34a) в этом случае следует, что σ = 0, τ = 1.

Траектория 3 по рис. 2.13.

a)Участок 0 ≤γ ≤1 : ε = 0, σ = 0, τ = γ;

b)Участок 1 ≤γ ≤γ : ε = 0, σ = 0, τ = γ = 1;

c)Участок γ = γ =const: γ = γ , ε > 0, dγ = 0, dε > 0.

762 Часть VII

Согласно формулам (2.34a), σ = 1 и τ = 0.

2.7.2. Решение на основе теории малых упругопластических деформа-

ций. Из физических уравнений (2.22) этой теории отбираются два соотношения, записываемые при ε0 = 0 (несжимаемое тело):

Эти соотношения только по форме напоминают равенства (2.35), ибо теперь связь между напряжениями и деформациями конечна. В случае простого нагружения (2.36), когда γ/ε = dγ/dε = 1/k, напряжения (2.37) и (2.38a) совпадают.

Теории течения и малых упругопластических деформаций при одинаковом простом нагружении приводят к совпадающим решениям задачи не только в рассматриваемом примере. Однако при сложном нагружении результаты, даваемые сопоставляемыми теориями, различны, о чем свидетельствует и данный пример при рассмотрении траекторий 2 и 3 по рис. 2.13. В частности, при траектории 2 теория малых упругопластических деформаций приводит к следующим результатам.

a)Участок 0 ≤ε ≤1 : γ = 0, τ = 0, σ = ε < 1;

b)Участок 1 ≤ε ≤ε : γ = 0, τ = 0, σ = ε = 1.

На этих участках нагружение простое, ибо τ = 0, потому-то и обнаруживается совпадение решений по обеим теориям. Но на третьем участке, т. е. при ε = ε =const, такого совпадения уже не будет. Здесь γ = γ , ε > 0 и

Эти значения напряжений со значениями σ = 0 и τ = 1, полученными в п. 2.7.1, ничего общего не имеют. Правда, при предельном переходе γ → ∞ в равенствах (2.38b) значения σ = 0, τ = 1 достигаются. Но деформация γ → ∞ к малым никак не относится и говорить о применимости в этом случае теории малых упругопластических деформаций не приходится. Таким образом, при сложном нагружении ориентироваться следует на теорию течения.

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ

3.1. Теория пластичности и предельное состояние тела. Полная система уравнений теории пластичности состоит из условий равновесия (I.2.6), кинематических соотношений в форме Коши (I.5.7) либо в форме СенВенана (I.5.9), а также физического закона, следующего из теории течения или деформационной теории. Физические уравнения второй из названных теорий конечны, что позволяет по обычной схеме (см. гл. I.7) перейти от полной системы уравнений к разрешающим уравнениям и указать приемлемую схему их решения, например, итерационную. Последняя приводит к решению задачи за определенное число шагов. Физический закон записывается в форме (2.21), допускающей выделение упругой и пластической долей деформации. Тогда и в разрешающих уравнениях можно будет по отдельности сгруппировать составляющие, описывающие упругие и пластические деформации тела. В окончательном виде разрешающие уравнения записываются так, чтобы слагаемые gi(εip, σi), обусловленные пластической деформацией, находились в правых частях, т. е. присовокуплялись к объем-

ным силам. Эта процедура и дала название описываемому вычислительному процессу – метод дополнительных нагрузок. На первом шаге вычислений

(нулевое приближение) принимают gi(0) = 0, после чего решается задача теории упругости. По найденным в результате такого решения деформациям вычисляется первое приближение gi(1) функции gi(εip, σi), которое используется на следующем шаге итерационного процесса. Данная процедура повторяется до тех пор, пока разница между решениями, полученными на двух смежных приближениях, не станет меньше обусловленного значения. Таким образом, нелинейная задача для упругопластического тела сводится к реше-

нию последовательного ряда линейных задач для упругой среды. Поэтому об описанном методе говорят также как о методе упругих решений.

В предыдущей главе отмечалось, что теория малых упругопластических деформаций применима лишь при нагружениях, близких к простым, когда компоненты тензора напряжений меняются пропорционально одному параметру А. А. Ильюшин показал, что при малых деформациях и несжимаемом материале простое нагружение реализуется (достаточное условие), если ин-

764 Часть VII

тенсивности касательных напряжений и сдвигов связаны степенной зависимостью

где A и α – постоянные. Это соотношение подтверждается экспериментально только при развитых пластических деформациях и заметном упрочнении. В частности, для идеального упругопластического тела зависимость (3.1) места не имеет.

Теория течения более корректно отражает процессы, проходящие при пластическом деформировании, однако ее применение сопряжено с большими вычислительными трудностями. Преодолеть их удается лишь в немногих частных случаях. С другой стороны, если нагрузка, которая выводит конструкцию из строя, известна, то в детализации картины распределения пластических деформаций в рассматриваемой среде особой необходимости нет. Более важным представляется изучение общего состояния тела, при

котором пластические деформации уже не сдерживаются упругой областью, т. е. так называемое предельное состояние. Такое изучение базируется на

ряде положений, которые формулируются в следующем пункте.

3.2. Статическая и кинематическая теоремы о предельной нагрузке.

При доказательстве этих теорем используются понятия статически возможного и кинематически возможного состояний тела.

Статически возможным называют такое состояние тела, при котором выполняются все условия его равновесия и все статические граничные условия. Кинематические уравнения тела, а также кинематические граничные условия могут быть и нарушены.

На рис. 3.1a изображено действительное состояние статически неопределимой упругой балки. Опорные реакции удовлетворяют трем любым независимым уравнениям равновесия конструкции, а ее изогнутая ось (штриховая линия на рис. 3.1a) – кинематическим уравнениям. Условиям равновесия удовлетворяет рассматриваемая балка и в состояниях, изображенных

на рис. 3.1b. Однако кинематические граничные условия в этих состояниях выполняться не будут, что видно и по рис. 3.1c: на нем показаны конструкции, для которых возможные состояния исходной статически неопределимой балки (указаны на рис. 3.1b) являются действительными. Из сказанного становится ясным, что возможные состояния стержневой конструкции можно получать при помощи различных основных систем метода сил. Ясно также, что статически определимая стержневая конструкция имеет только одно статически возможное состояние для усилий – действительное.

Кинематически возможным называют состояние тела, при котором удовлетворяются все кинематические уравнения и все кинематические граничные условия, однако статические уравнения и статические граничные условия могут при этом нарушаться. Такие состояния допустимо получать, например, при помощи основной системы метода перемещений, т. е. накладывая на конструкцию дополнительные связи. Именно в них и могут возникнуть реакции, которые в исходной конструкции отсутствуют. Однако при рассмотрении предельного равновесия тела более интересны кинематически возможные состояния системы, которая уже утратила способность сопротивляться дальнейшему возрастанию нагрузки. Такая система представляет собой механизм, возможные перемещения которого модели-

руются прямыми линиями (рис. 3.2 и 3.5d). Именно

та нагрузка, при которой конструкция обращается в механизм, и называется предельной. Ее значение регламентируется статической и кинематической теоре-

мами. Сначала о первой из них.

На рис. 3.3a изображена конструкция в предельном состоянии, в которое она перешла после того, как сила P совершила работу

На рис. 3.3b показано статически возможное состояние конструкции, являющееся действительным состоянием для основной системы метода сил, что изображена на рис. 3.3c. Если в конструкции удалены связи, то ее перемещения могут либо возрасти, либо остаться прежними. Значит, u ≥ u. В предельном состоянии работа силы P на перемещении u должна равняться

величине (3.2), т. е.

P u = P u,

и так как u ≥u, то

P ≥ P .

Равенство в этой формуле достигается лишь при совпадении статически воз-

можного состояния тела с его действительным состоянием. Таким образом, доказана

Теорема 1. Нагрузка P , которая является предельной для любого статически возможного состояния тела, не больше предельной нагрузки для действительного состояния этого тела.

Аналогично доказывается кинематическая теорема. Состояние, изображенное на рис. 3.3d, является кинематически возможным для заданной конструкции (рис. 3.3a). И оно же есть действительное состояние для показанной на рис. 3.3e основной системы метода перемещений. При накладывании дополнительных связей перемещения конструкции могут либо уменьшаться, либо оставаться без изменения, а так как в предельном состоянии должно выполняться равенство P u = P u, то при u ≤u получается, что P ≤ P . Другими словами, имеет место

Теорема 2. Нагрузка P , которая является предельной для любого кинематически возможного состояния тела, не меньше предельной нагрузки для его действительного состояния.

Сказанное выше свидетельствует о наличии двусторонней оценки

P ≤ P ≤ P

для силового воздействия, отвечающего предельному состоянию тела. При совпадении границ этой оценки будет найдено точное решение задачи о величине предельной нагрузки на конструкцию.

3.3. Предельное состояние при изгибе. Пусть призматический брус выполнен из идеального упругопластического материала, одинаково воспринимающего растягивающие и сжимающие напряжения. Пусть, далее, наибольший по модулю изгибающий момент возникает в сечении 1–1 бруса

(рис. 3.4a) и величина Mz этого момента такова, что напряжения σx в наиболее напряженных волокнах достигают предела текучести. Эпюра "σx" напряжений σx, отвечающая этому этапу нагружения, приведена на рис. 3.4b под номером 1. При расчете по допускаемым напряжениям такое состояние стержня считается предельным, хотя до исчерпания его несущей способности еще далеко. И в самом деле, небольшое увеличение нагрузки не вызовет заметного приращения перемещений стержня, а максимальные напряжения σx = σT в верхних волокнах бруса вообще не изменятся. Правда, зона пластических деформаций станет распространяться от верхних волокон вниз по сечению 1–1, а также влево и вправо от него вдоль оси 0x. При некотором значении возрастающей нагрузки эпюра "σx" примет в сечении 1–1 вид, показанный на рис. 3.4b под номером 2. Этот этап деформирования характерен тем, что теперь напряжения σx достигают предела текучести и в нижних волокнах бруса.

Дальнейшее возрастание нагрузки сопровождается увеличением размеров зон пластичности как в верхней части сечения 1–1, так и в его нижней части. (Ясно, что при h1 = h2 указанные зоны пластичности одинаковы.) Эпюра напряжений принимает вид, представленный на рис. 3.4b под номером 3. Однако до тех пор, пока имеется область упругих деформаций, сечение продолжает воспринимать наращиваемую нагрузку. По мере уменьшения этой области перемещения стержня заметно возрастают и становятся обвальными, как только область упругих деформаций достигает столь малых размеров, что эпюру "σx" в сечении 1–1 можно будет считать состоящей из двух прямоугольников (эпюра 4 на рис. 3.4b). Сечение перестает быть работоспособным, что может послужить причиной утраты работоспособности конструкции в целом. Так оно и будет в случае, если конструкция статически определима.

При чистом изгибе все сечения бруса деформируются одинаково и при предельной нагрузке из строя выходит весь стержень в целом. Если же изгибающий момент вдоль оси бруса меняется, то стержень разрушается в самом напряженном поперечном сечении. На рис. 3.5a изображен профиль балки

в состоянии, когда зона упругих деформаций в опасном сечении сравнительно велика. На рис. 3.5b показана конструкция в предельном состоянии. Картина обвальных перемещений балки (рис. 3.5c) сходна с той, которая была бы при постановке в ее самом напряженном сечении обычного идеального шарнира (рис. 3.5d). Вот почему то поперечное сечение, в котором

упругие зоны полностью отсутствуют, называют пластическим шарниром.

Пусть F1 и F2 – площади растянутой и сжатой зон поперечного сечения (см. рис. 3.4b).

При отсутствии продольной силы должны выполняться соотношения

где Mz – заданный изгибающий момент, или

В предельном состоянии Mz = Mпр, σx = σT при y > 0 и σx = −σT при y < 0, поэтому

Следовательно, нейтральная ось делит поперечное сечение на две части так, чтобы площади его растянутой и сжатой зон были равны друг другу. Если сечение не обладает симметрией относительно оси 0z, то по мере развития пластических деформаций нейтральная ось смещается в сторону более развитой части сечения. Для треугольного поперечного сечения высказанное положение иллюстрирует рис. 3.6.

Через Sz(1) и Sz(2) в формуле (3.3)2 обозначены статические моменты рас-

тянутой и сжатой зон поперечного сечения относительно нейтральной оси.

Сумма их модулей равна так называемому пластическому моменту сопро-

тивления поперечного сечения, обозначаемому через W :

пл

Wпл = Sz(1) + |Sz(2)|.

Тогда

При расчете по предельному состоянию требуют, чтобы действующий изгибающий момент был меньше предельного изгибающего момента, деленного на коэффициент запаса. Последний берется таким же, что и при расчете по допускаемым напряжениям, т. е. равным по величине nT (см. п. I.4.7). В этом случае

Mz ≤ Mпр = σT Wпл. nT nT

Так как σT/nT = [σ], то условие прочности

отвечающее расчету по предельному состоянию, приобретает форму условия прочности

принимаемого при расчете по допускаемым напряжениям. Но у формул (3.4) и (3.4a) имеется важное отличие. В неравенство (3.4) входит пластический момент сопротивления Wпл поперечного сечения, который превышает обычный момент сопротивления Wz при изгибе. По этой причине расчет по предельному состоянию приводит к более экономному расходу материала.

Для прямоугольного поперечного сечения Sz(1) = |Sz(2)|= bh2/8 и

Wпл = bh2/4,

тогда как Wz = bh2/6. Значит, на основании расчета по предельному состоянию балки прямоугольного поперечного сечения можно получить конструкцию, которая несет нагрузку в полтора раза больше той, что следует из расчета по допускаемым напряжениям.

Для стандартных двутавровых поперечных сечений отношение Wпл/Wz находится в пределах 1,15÷1,20, поэтому эффект от перехода к расчету по предельному состоянию оказывается не таким впечатляющим, как в случае прямоугольного сечения. Но важнее другое. При эпюре напряжений σx, состоящей из двух прямоугольных участков разных знаков, половинка стенки двутавра окажется сжатой в значительно большей степени, чем при треугольном очертании эпюры "σx" в пределах сжатой зоны. По этой причине опасность выпучивания стенки двутавра вследствие потери устойчивости значительно возрастает. Двутавровые балки следовало бы проектировать так, чтобы пластические деформации за пределами полок не развивались. Но тогда разница между величинами Wпл и Wz сведется почти к нулю. Сказанное объясняет причину, по которой расчет по предельному состоянию изгибаемых тонкостенных металлических конструкций не ведется.

В связи со сделанным в конце предыдущего абзаца замечанием возникает естественный вопрос: если уж металлические конструкции нельзя проектировать с учетом развития пластических деформаций, то какие тогда можно? Ведь массивные брусья из пластических материалов в силовых конструкциях практически не применяются. Это, действительно так, но среди материалов, используемых в строительстве, заметное место занимает такой своеобразный материал, как железобетон. При проектировании сооружений из железобетона необходимо учитывать такие явления, как усушка, старение, ползучесть (см. п. I.4.9). Прямого отношения теория пластичности к указанным явлениям не имеет, но косвенная связь есть. Дело в том, что разрушению балок, плит и некоторых других конструкций, выполненых из железобетона, предшествует образование зон, эквивалентных пластическим шарнирам. Именно это обстоятельство и позволяет рассчитывать несущую способность элементов железобетонных конструкций по предельному состоянию. И совсем не случайно, что только нормами проектирования строительных конструкций предусматривается такой расчет.

3.4. Предельное состояние балок. Подбирая поперечные сечения балок при помощи условия (3.4), приходится считаться с тем, что в верхней или нижней части опасного поперечного сечения могут возникнуть пластические деформации. При действии только постоянной нагрузки на это обстоятельство можно было бы не обращать внимания. Но когда имеются временные воздействия, необходимо иметь в виду разгрузку, после которой характер распределения напряжений по опасному сечению изменится. Более того,