Основы механики твердого деформируемого тела

Эти равенства выражают так называемый ассоциированный закон течения, ибо они связаны (ассоциированы) с конкретным условием текучести (2.7).

Множитель dλ, входящий в ассоциированный закон течения, остается неопределенным. Найти его значение, не конкретизируя физическую модель материала и не указывая историю нагружения, нельзя. И в самом деле, как об этом говорилось в п. 2.2, условие текучести (2.7) зависит от меры упрочнения q, а последняя может быть вычислена только при известной траектории (истории) нагружения и выбранной модели материала. Различные траектории нагружения с общими началом и концом приводят, вообще говоря, к различным условиям текучести и, как следствие, к различным решениям уравнений (2.12).

Если в формулу (1.36a), определяющую приращение интенсивности пластической деформации, ввести величины dεip, которые даются формулой (2.12), то для множителя Лагранжа получится следующее выражение:

Ясно, что найти отсюда множитель dλ нельзя, ибо величина dεинтp неизвестна, но из равенства (2.13) можно установить неотрицательность этого множителя: dλ ≥0. Это наблюдение, в свою очередь, приводит к следующим утверждениям.

a) При активном нагружении тела

∂f

∂σi dσi > 0, f (σi) = 0, dλ > 0.

b) В случае пассивного нагружения (разгрузки)

∂f

∂σi dσi < 0, f (σi) = 0, dλ = 0.

c) При нейтральном нагружении

∂f dσi = 0, f (σi) = 0, dλ = 0. ∂σi

Если материал является идеально пластическим (нет упрочнения), то при его нагружении

∂f dσi = 0, f (σi) = 0, dλ > 0 ∂σi

вслучае разгрузки.

2.5.Теория течения. При помощи ассоциированного закона текучести (2.12) можно получить разные теории пластичности, отвечающие той или иной функции (2.7), которая определяет как поверхность текучести, так и закон упрочнения. Одну из таких теорий, называемую теорией течения, получают в предположении, что в процессе нагружения поверхность текучести равномерно расширяется (изотропное упрочнение). В этом случае двум равным по величине и обратным по знаку нагружениям отвечают напряжения одной и той же интенсивности, что упрощает построение теории. Однако изотропное упрочнение не описывает эффект Баушингера, т. е. вступает в противоречие с экспериментально установленным фактом. Это несущественно в случае, если история нагружения не содержит разгрузки из пластической зоны, но тогда, когда такая разгрузка была, результатами, полученными с помощью теории течения, надо пользоваться с осторожностью.

и мера q берется в форме (2.6) параметра Одквиста. Тогда (см. также равенство (1.26))

В конце п. 2.2 говорилось о независимости вида функции Φ(q) от вида напряженного состояния, что позволяет находить ее по диаграмме "σ–ε" простого растяжения, т. е. при σ1 = σ, σ2 = σ3 = 0. В состоянии текучести коэффициент Пуассона любого материала равен 1/2, поэтому dε1p = dεp, dε2p = dε3p = −0, 5dεp. Равенства (1.26) и (1.36a) в этом случае дают

Более конкретную информацию о функции Φ(q) можно получить только при наличии диаграммы "σ–ε" (см. рис. 2.8).

Ассоциированный закон течения (2.12) содержит частные производные от функции f (σi) по напряжениям σi. Они же (производные) определяют множитель Лагранжа (2.13). Найти величины ∂f /∂σi можно, обратившись к соотношению (2.14). Например,

∂f

∂σ1 = (σ1 −σ2) − (σ3 −σ1) = 2σ1 −σ2 −σ3 −σ1 +σ1 = 3(σ1 −σ0),

где σ0 – среднее напряжение (1.21). Таким образом,

и множитель Лагранжа имеет представление

Эта формула с учетом равенства (1.26) записывается более компактно:

При таком значении величины dλ и производных (2.15) ассоциированный закон течения (2.12) принимает вид:

Отсюда следует, что компоненты тензора приращений пластических деформаций пропорциональны компонентам (σi −σ0) девиатора напряжений. Согласно закону Гука (I.6.6), упругая доля приращения деформации ε1 определяется равенством:

dε1(e) = E1 [dσ1 − ν(dσ2 + dσ3)].

Но σ2 +σ3 = 3σ0 −σ1 и тогда (см. формулу (1.37))

соотношениями физических уравнений (2.17) и составляет основу деформационных теорий пластичности.

Получить искомые конечные соотношения между напряжениями и деформациями можно лишь при условии, что нагружение является простым: отказа от рассмотрения траекторий нагружения, не включающих разгрузку, еще не достаточно. При простом нагружении компоненты девиатора напряжений возрастают пропорционально некоторому параметру α:

σi − σ0 = α(σi − σ0) , 0 ≤ α ≤ 1.

Значком отмечены компоненты напряженного состояния в конце нагружения. Тогда (см. формулу (2.16))

dεip = 32 (σi −σ0) dεpинт.

Следовательно,

После подстановки величины εip , даваемой этим равенством, в формулу (1.33a) для интенсивности пластических деформаций и выполнения ряда преобразований с использованием выражения (1.26) получится, что

εip = dεинтp . (2.19)

Но тогда dεpинт = dεинтp . Стало быть, в случае простого нагружения интенсивность dεинтp приращения пластических деформаций равна приращению dεинтp интенсивности пластических деформаций.

Равенство (2.19), являющееся следствием простого нагружения, позволяет придать физическому уравнению (2.18) конечную форму (индекс теперь может быть опущен):

Из формул (I.6.6)1, (1.38) и (1.37) следует (см. также вывод уравнений (2.17))

Эту упругую составляющую полной деформации εie с учетом зависимости σинт = 3Gεинт, даваемой формулой (1.41), можно представить в виде

Тогда (см. соотношение (2.20))

При помощи формул (1.33), (1.33a) и εi = εei +εpi можно убедиться в том (формула для величины εинтe подобна зависимости (1.33a)), что

εинт = εинтe

т. е. интенсивности полных, упругих и пластических деформаций обладают теми же аддитивными свойствами, что и сами деформации. Следовательно,

В осях 0x, 0y, 0z связь между напряжениями и деформациями описывается уже шестью уравнениями типа (2.21a):

В теории малых упругопластических деформаций предполагается, что при пластическом течении объем тела не меняется, т. е. ε0 = 0. Для несжимаемого материала коэффициент ν поперечной деформации равен 1/2. Это значение коэффициента Пуассона, установленное при упругой работе материала, остается таким же и при малых пластических деформациях. Если же остаточные деформации велики, то величину ν вычисляют по формуле

ν = 1 − 1−2ν σ ,

2 2E ε

которая здесь приводится без вывода. В случае идеального пластического тела с ростом деформации ε отношение σ/ε стремится к нулю, а коэффициент ν – к 1/2.

Предположений о том, что нагружение является простым, история нагружения не содержит разгрузки и объем тела при пластическом деформировании не меняется, еще не достаточно для построения деформационной теории пластичности. Дело в том, что в уравнения (2.22) входит отношение εинт/σинт, вычисление которого требует знания связи между величинами σинт и εинт. Эту связь устанавливают по результатам испытаний материала на растяжение, что предполагает наличие единой кривой, о которой шла речь в п. 2.2. График зависимости σинт(εинт) называют диаграммой деформирования материала. Гипотеза о существовании единой кривой, т. е. о независимости функции σинт(εинт) от вида деформации, была выдвинута в начале XX века немецким исследователем П. Людвиком.

Из уравнений (2.22) вытекают две группы равенств:

фиксирующих пропорциональность компонентов девиаторов напряжений и деформаций, а также главных касательных напряжений и главных сдвигов. При помощи первой группы этих формул можно следующим образом трансформировать коэффициент Лоде – Надаи (1.30):

Таким образом, если теория малых упругопластических деформаций верна, то коэффициенты Лоде – Надаи по напряжениям и деформациям должны совпадать не только в случае простейших напряженных состояний (чистые растяжение, сжатие, сдвиг), но и при любых иных напряженных состояниях. Это обстоятельство используется для экспериментальной проверки деформационной теории пластичности (см. далее п. 4.4).

Уравнения (2.22) были получены в первой половине прошлого века академиком А. А. Ильюшиным. Им же был разработан метод их численного решения.

Теория малых упругопластических деформаций, основу которой составляют уравнения (2.22), является самым простым вариантом деформационной теории пластичности. В более общем случае связь между компонентами

758 Часть VII

девиаторов деформаций и напряжений дается равенством (ср. с формулой (2.21a))

где ψ – некоторая скалярная функция напряжений и деформаций. При ψ = 1 уравнение (2.21b) приобретает форму закона Гука для девиаторов, а при

ψ= 3 εинт 2 σинт

соотношение (2.21b) приводит к основному уравнению (2.21a) теории малых упругопластических деформаций. В случае, когда нагружение близко к простому, эта теория дает достаточно правильную картину распределения напряжений в теле.

2.7. Иллюстративный пример. Приводимый ниже пример предназначен не столько для демонстрации процедур решения задач теории пластичности методами, описанными в предыдущих пунктах, сколько для сопоставления напряженных состояний, к которым приводят теории течения и малых упругопластических деформаций. Дело в том, что на простом примере невозможно показать даже самые основные элементы вычислительных алгоритмов теории пластичности, а обращение к сложным примерам существенно загромоздило бы изложение.

На рис. 2.12 показана тонкостенная труба, выполненная из несжимаемого идеального упругопластического материала, по торцам которого приложены растягивающие силы и крутящие моменты. При δ = const R касательные напряжения кручения τM равномерно распределены и по толщине скорлупы, и вдоль ее средней линии (см. п. II.7.6). Равномерно распределены по поперечному сечению и нормальные напряжения σN растяжения. Кроме того, напряжения τM и σN не меняются вдоль оси трубы. Следовательно, напряженное состояние рассматриваемого тела однородно (к тому же оно является двумерным). На площадке dF , как видно по рис. 2.12, действуют только напряжения τM, σN, а на площадках, параллельных плоскости, проходящей через векторы напряжения τM и σN, напряжений нет вообще, поэтому в той же плоскости τMσN расположены и векторы главных напряжений σ1 и

σ2, значения которых находят по формулам (I.2.13c):

Аналогичный вид имеют и формулы для главных деформаций:

В двумерной задаче σ3 = ε3 = 0.

Напряжениям (2.24) отвечают следующие интенсивности (1.26) и (1.28) нормальных и касательных напряжений:

Аналогично, но уже при помощи формул (2.25), (1.33) и (1.36a), устанавливаются значения интенсивностей деформаций и приращений пластических деформаций:

Так как физические уравнения теорий течения и малых упругопластических деформаций содержат интенсивности напряжений, деформаций и приращений пластических деформаций, то без помощи выражений (2.26) и (2.27) задачу о распределении напряжений в упругопластическом теле не решить.

Согласно условию (2.4) начала текучести Губера – Мизеса, а именно оно принимается при решении рассматриваемой задачи, материал переходит в пластическое состояние, если

Для несжимаемого материала ν = 1/2, а в этом случае, согласно формуле (1.37), E = 3G. Тогда в момент наступления текучести

σT = EεT, τT = GγT = EγT/3

которые позволяют записать условие начала текучести (2.26a) и формулы (2.26)1 и (2.27) для интенсивностей нормальных напряжений и деформаций в виде:

Теперь можно обратиться к непосредственному решению задачи. Сначала оно выполняется средствами теории течения.

2.7.1. Решение на основе теории течения. Из физических уравнений (2.17) этой теории нетривиальными остаются только два уравнения: одно для нормальных напряжений, другое – для касательных. При этом упругие составляющие деформаций отбрасываются (идеально жесткое пластическое тело):