Основы механики твердого деформируемого тела

2.2. Условия начала пластичности. Обобщение понятия предела текучести на случай сложного напряженного состояния состоит в формулировании так называемых условий начала текучести (пластичности) – своего рода аналогов теорий прочности. При построении такого обобщения процессу нагружения тела дается следующая геометрическая интерпретация. Рассматриваемому напряженному состоянию ставится в соответствие точка M (σ1, σ2, σ3) трехмерного пространства напряжений (рис. 2.2). Исходному состоянию отвечает точка 0. Нагружение тела сопровождается изменением напряжений σ1, σ2, σ3 – координат точки M , поэтому в пространстве напряжений эта точка вычерчивает некоторую линию L, называемую траекторией или путем нагружения. При одноосном растяжении σ2 = σ3 = 0 и путь нагружения совпадает с осью σ1. Появление пластической деформации в этом случае связано с достижением напряжения

σ1 предела текучести σT. Следовательно, на оси σ1 можно выделить такую область, включающую начало координат, точки которой отвечают упругому деформированию тела. На рис. 2.3a эта область обозначена через V . Ее границами являются точки с координатами ±σT.

Если тело идеально пластично, то точки, лежащие вне области V , недостижимы ни при каких способах нагружения, что видно по диаграммам, представленным на рис. 2.1a, b. Выход точки M на границу области V означает переход в состояние текучести.

Возвращение изображающей точки с границы внутрь рассматриваемой области (разгрузка) сопровождается изменением только упругой доли деформации.

В случае упрочняющегося тела (см. рис. 2.1c) выход точки M за пределы области V возможен. Он свидетельствует о том, что появились остаточные деформации. Если точка M находится правее границы σT, как это показано на рис. 2.3b, т. е. σ > σT, то предел упругости на данный момент времени оказывается равным величине σ . Нижняя граница области V также смещается вправо (в положение σ ), что объясняется эффектом Баушингера. Сказанное означает, что изображающая точка, выходя за пределы интервала [−σT, σT], увлекает за собой всю область V , которая свои размеры сохраняет. При возвращении точки с границы внутрь области V меняется толко упругая составляющая полной деформации.

Естественно считать, что и при сложном напряженном состоянии имеется такая область V , содержащая начало координат, что на любом пути нагружения L V деформация остается упругой. Если тело идеально пластично, то изображающая точка область V не покидает, а при ее выходе на границу Ω области V начинают развиваться пластические деформации, величина которых не определена. При возврате точки M внутрь области V меняется только упругая доля деформации. Происходит разгрузка, хотя некоторые из напряжений σi могут при этом и возрастать.

В случае упрочняющегося тела процесс нагружения, выводящий изображающую точку за пределы области V , сопровождается перемещением последней. Аналогом одномерной модели тела с диаграммой "σ–ε", изображенной на рис. 2.1c, является модель, в которой область V совершает жесткое перемещение (рис. 2.4). Такого рода упрочнение называют трансляционным. Имеются и более сложные модели упрочняющегося тела, в том числе и такие, при которых область V

меняет и свои размеры, и свою форму.

Границу Ω области V называют поверхностью течения (текучести), или

поверхностью нагружения. В пространстве напряжений в каждый данный момент нагружения она разделяет области упругого и пластического деформирования. Достижение изображающей точкой поверхности Ω означает, что в теле начинают развиваться пластические деформации. Пусть f (σ1, σ2, σ3)

– функция, описывающая поверхность текучести в пространстве главных напряжений. Тогда при f (σi) < σT имеют место только упругие деформации, а при f (σi) > σT процесс пластического течения уже идет. Следовательно, равенство

можно трактовать как условие, при котором запускается механизм развития пластических деформаций в рассматриваемой точке тела. Это равенство называют условием начала пластичности. Функция f (σi) является аналогом функции σэкв(σ1, σ2, σ3), которая использовалась в гл. I.8 при построении теорий прочности.

Указать функцию f (σi), определяющую условие (2.1), можно лишь после принятия какой-либо гипотезы о причинах возникновения пластического течения. Но ничто не мешает высказать ряд соображений о свойствах поверхности, описываемой функцией f (σi). Например, можно отметить, что начало координат не находится на поверхности текучести, ибо при нулевых напряжениях пластические деформации отсутствуют. Так как простое нагружение отображается в пространстве напряжений лучом, который исходит

из начала координат, то становится очевидной невозможность пересечения этим лучом поверхности текучести более одного раза: иначе получалось бы, что увеличение нагрузки после достижения предела текучести приводит к упругому деформированию материала.

Если тело изотропно и свойства материала при растяжении и сжатии одинаковы, то перечень качеств, которыми должна обладать поверхность текучести, может быть продолжен. В пространстве главных напряжений луч, исходящий из начала координат под одинаковыми углами ко всем трем координатным осям, соответствует гидростатическому нагружению, ибо в точках такого луча σ1 = σ2 = σ3. Но при всестороннем растяжении или сжатии пластические деформации отсутствуют. Значит, прямая ν, равнонаклоненная к осям σ1, σ2, σ3 и проходящая через начало координат, поверхность Ω пересекать не может.

Любая плоскость, ортогональная к прямой ν, параллельна девиаторной плоскости ΠD (см. рис. 1.5). Такие параллельные друг другу и плоскости ΠD поверхности несут информацию о напряженных состояниях, отличающихся лишь на гидростатическую составляющую. Это означает, что при пересечении поверхности текучести плоскостями, параллельными плоскости ΠD , получается одна и та же линия L и что поверхность (2.1) представляет собой поверхность цилиндра с осью ν, равнонаклоненной к осям главного базиса. Линию L, являющуюся направляющей для указанного цилиндра, называют кривой текучести. Последняя целиком определяет вид поверхности (2.1), поэтому исследование общих закономерностей, которым должна подчиняться любая кривая текучести, представляет несомненный интерес.

На рис. 2.5a показаны фрагмент плоскости ΠD и проекции σi на нее главных осей σi (сплошными линиями), делящие девиаторную плоскость на 6 равных секторов. У изотропного тела свойства материала во всех направлениях одинаковы, поэтому кривая

текучести должна быть симметричной по отношению к любой из осей σi. Такая же симметрия должна соблюдаться и относительно прямых σi , ортогональных, соответственно, к осям σi и показанных на рис. 2.5 штриховыми линиями. Это объясняется одинаковой работой материала на растяжение и сжатие. Сказанное означает, что кривая текучести состоит из 12 одинаковых дуг, как это изображено на рис. 2.5b.

щественно и то, что нельзя забывать об истории нагружения, и о том, как далеко зашли пластические деформации на данный момент времени. Вот почему в условия установившейся текучести (или просто – в условия текучести) вводят так называемые меры упрочнения. Одной из таких мер служит работа пластической деформации

q = (σ1dε1p + σ2dε2p + σ3dε3p), (2.5)

другой – так называемый параметр Одквиста (см. формулу (1.36a))

q = dεинтp . (2.6)

Интегралы (2.5) и (2.6) берутся по пути нагружения (см. далее п. 2.7), что, собственно говоря, и позволяет отслеживать историю развития пластических деформаций в теле.

Таким образом, поверхность текучести описывается функцией

Первое слагаемое f0(σi) записывается по подобию того или иного условия начала пластичности, в частности, по подобию функций (2.3), (2.4). Слагаемое Φ(q), зависящее от меры упрочнения q, учитывает накопленную остаточную деформацию. При конструировании функции Φ(q) надо знать связь

между текущими значениями главных напряжений и пластическими деформациями εip или их приращениями. Ее отыскивают при помощи предположения о независимости строения функции (2.8) от вида напряженного состояния – так называемой гипотезы единой кривой. Это предположение позволяет установить сначала зависимость σ(ε p) для одноосного растяжения, а затем распространить ее на случай общего напряженного состояния.

Процедуру поиска зависимости σ(ε p) при осевом растяжении иллюстрирует рис. 2.8a. На этом рисунке линия 0AB изображает диаграмму "σ–ε" для рассматриваемого материала. Точке B на диаграмме отвечают напряжение σв и остаточная деформация εвp. Но именно эти координаты имеет точка C. Множество подобных

точек образует кривую DC, уравнение которой и является искомой зависимостью σ = σ(ε p). При линейном упрочнении (рис. 2.8b) линия σ(ε p) является прямой:

Через E, E1 обозначены тангенсы углов наклона участков 0A и AB диаграммы "σ–ε".

Поверхность текучести (2.8) называют также поверхностью нагружения пластического тела.

2.3. Активное и пассивное нагружения. Постулат Друкера. Деформацию, которая развивается с увеличением нагрузки, называют активной, в отличие от пассивной деформации, сопровождаемой уменьшением нагрузки. При осевом растяжении или сжатии и чистом сдвиге активная и пассивная деформации устанавливаются по росту или падению абсолютных значений напряжений. В случае сложного напряженного состояния активное и пассивное нагружения различают по интенсивности напряжений. Деформация в окрестности точки тела считается активной, если интенсивность напряжений (1.26) имеет значение, превосходящее по величине все предыдущие ее значения в данном процессе нагружения. Если хотя бы одно из значений величины σинт было больше ее текущего значения, деформация считается пассивной. При активной деформации остаточные деформации εp и γp увеличиваются, а при пассивной – остаются без изменения.

В уточнении нуждаются не только понятия нагрузки и разгрузки. Необходимо более четко определить и термин упрочнение. До сих пор об упрочнении говорилось как о повышении предела упругости материала, который испытал пластическое деформирование, однако о признаках такого повышения при сложном напряженном состоянии речь

не заходила. Кривые на рис. 2.9a, b отражают два основных вида связи между напряжениями и деформациями при осевом растяжении пластического материала. В случае a) материал действительно упрочняется. Дополнительная нагрузка ∆σ > 0 вызывает деформацию ∆ε > 0, и так как ∆σ · ∆ε > 0, в описываемом процессе приращение напряжений на приращении деформаций совершают положительную работу. Подобные материалы называют устойчивыми.

Кривая σ(ε) на рис. 2.9b имеет нисходящую ветвь: деформации растут при падении уровня напряжений. В этом случае работа приращений на-

а так как dεi = dεie +dεip и работа напряжений на упругих деформациях для замкнутого пути нагружения равна нулю, то

(σi − σio)dεip > 0.

Пластическая деформация происходит только на бесконечно малом участке BB , поэтому предыдущее неравенство выполняется лишь тогда, когда

Неравенство (2.9) означает, что при любом приращении компонентов деформации приращение σidεip работы пластической деформации имеет максимальное значение для действительного напряженного состояния по сравнению со всеми возможными состояниями, удовлетворяющими условию f (σi) < 0 (т. е. отображаемыми точками, которые находятся внутри области текучести). Данное утверждение известно как принцип максимума работы пластической деформации. Для упрочняющегося материала обращение в нуль левой части формулы (2.9) возможно лишь при отсутствии пластических деформаций.

При переходе из состояния B в состояние B (см. рис. 2.10) в соответствии с первым положением постулата Друкера должно выполняться неравенство dσi · dεi > 0. Для цикла "нагрузка – разгрузка", т. е. на пути BB B,

ибо работа на упругих деформациях при замкнутом цикле нагружения равна нулю.

Из неравенства (2.9) следует также, что скалярное произведение вектора добавочных напряжений σi −σio и вектора приращений пластических деформаций dεip положительно. Следовательно, названные векторы всегда образуют между собой острый угол (рис. 2.11a). Для этого необходимо, чтобы поверхность текучести Ω была выпуклой, а вектор dεip был ортогонален к ней. И в самом деле, если при выпуклой поверхности Ω вектор приращения пластической деформации не будет направлен по нормали

к касательной плоскости поверхности текучести (след t–t этой плоскости показан на рис. 2.11a), то всегда найдется такой вектор dεip приращения пластической деформации, который образует с вектором dσi тупой угол. Если же поверхность Ω невыпукла, то независимо от наклона вектора dεip к ней всегда можно подобрать точку A так, чтобы условие (2.9) оказалось нарушенным (рис. 2.11b).

Постулат Друкера можно распространить и на идеально пластическое тело. Для этого достаточно заменить строгие неравенства (2.9) и (2.10) на неравенства

Действительно, судя по диаграмме "σ–ε" для идеально пластического материала (см. рис. 2.1b), ∆σ · ∆ε = 0, ибо ∆σ = 0. Вектор dσi догружения лежит в касательной плоскости к поверхности текучести, а потому он всегда ортогонален к вектору dεip. Такое догружение называют нейтральным. Требование положительности работы добавочных напряжений заменяется на условие неотрицательности этой работы, что и достигается переходом от ограничений (2.9), (2.10) к ограничениям (2.11).

2.4. Ассоциированный закон текучести. Приращение σidεip работы пластической деформации можно рассматривать как функцию только напряжений, ибо деформации dεip также являются функциями напряжений. Однако напряжения σi, будучи связаны условием текучести (2.7), не являются независимыми. Значит, при желании воспользоваться принципом максимума работы пластической деформации с целью установить связь между напряжениями σi и приращениями dεip деформаций придется решать задачу на условный экстремум: найти максимум суммы i σidεip при ограничении f (σi) = 0. Данная задача сводится к задаче на безусловный экстремум при помощи множителя Лагранжа dλ. Функция Лагранжа имеет вид:

Φ = σidεip − dλ · f (σi).

i

Необходимые условия экстремума этой функции по переменным σi представляют собой дифференциальные уравнения