Основы механики твердого деформируемого тела

где

1

σ0 = 3 (σx + σy + σz ) (1.21)

– среднее нормальное напряжение в точке тела, равное октаэдрическому напряжению (I.2.17). Составляющие

называют сферическим (шаровым) тензором и девиатором напряжений соответственно. Несколько слов о терминологии. Если уравнения Коши на поверхности (I.2.8) записать в главных осях, получатся равенства σ1l = = qν1, . . . , σ3l = qν3, из которых следует, что

l = qν1/σ1, m = qν2/σ2, n = qν3/σ3.

Но l2 +m2 +n2 = 1, поэтому

Это есть уравнение эллипсоида, полуоси которого равны модулям главных

−→

напряжений. Величины qνi представляют собой компоненты вектора p ν полных напряжений на одной из главных площадок, содержащих рассматриваемую точку. Следовательно, конец любого из векторов pν всегда находит-

ся на поверхности (1.23), которую по указанной причине называют эллипсоидом напряжений. При всестороннем растяжении или сжатии, т. е. при

σ1 = σ2 = σ3, поверхность (1.23) становится сферической. Вот почему тензор Sн получил имя сферического (или шарового) тензора. Девиатор напряжений

Dн (от лат. deviatio – отклонение) характеризует меру отклонения рассматриваемого напряженного состояния в точке тела от состояния всестороннего растяжения или сжатия.

Эксперименты показывают, что при всестороннем растяжении или сжатии, или, как говорят, при гидростатическом нагружении, пластические де-

формации не развиваются, каким бы ни был уровень напряжений σ0. Стало быть, характеризует пластическое деформирование именно девиатор напряжений. Он же (см. п. I.6.4) определяет и изменение формы тела.

Как и у любого тензора, у девиатора (1.22)2 имеются инварианты. Согласно формуле (1.21), первый инвариант девиатора Dн равен нулю:

I1(Dн) = (σ0 −σx) + (σ0 −σy ) + (σ0 −σz ) ≡ 0.

Наибольший интерес представляет собой второй инвариант тензора Dн, ибо он пропорционален квадрату октаэдрических напряжений (I.2.18), при предельных значениях которых в соответствии с энергетической теорией прочности (см. п. I.8.5) происходит разрушение пластических материалов. Этот инвариант равен сумме главных миноров матрицы (1.22)2, которая после алгебраических преобразований, выполненных с учетом формулы (1.21), приводится к виду:

Из сопоставления формул (1.24a) и (I.2.18) видно, что

I2(Dн) = 32 τокт2 .

С инвариантом (1.24) связано одно из основных понятий теории пластичности, известное как интенсивность напряжений. Она обозначается че-

рез σинт и принимается пропорциональной квадратному корню из второго инварианта девиатора напряжений:

σинт = 3I2(Dн). (1.25)

Подстановка сюда величины I2(Dн) по формуле (1.24a) дает:

В случае одноосного растяжения, т. е. при σ1 = σ, σ2 = σ3 = 0,

σинт = σ.

Таким образом, коэффициент пропорциональности √3 в формуле (1.25) выбран с тем, чтобы при простом растяжении интенсивность напряжений совпадала с величиной растягивающего напряжения.

Аналогично вводится понятие интенсивности касательных напряжений:

При чистом сдвиге (σ1 = τ , σ2 = 0, σ3 = −τ ) получается, что

τинт = τ,

т. е. интенсивность касательных напряжений совпадает со сдвигающими напряжениями. Сопоставление формул (1.25) и (1.27) дает:

σинт = √3τинт.

С девиатором напряжений сопряжена деви-

аторная плоскость ΠD , которая образуется следующим образом. Пусть p – вектор, характеризующий напряженное состояние в точке 0 и имеющий в главном базисе представление (рис. 1.5)

p = σ1e1 + σ2e2 + σ3e3,

где ei – орт оси σi. Так как σi = σ0 +σi −σ0, то

3

p = σ0(e1 + e2 + e3) + (σi − σ0)ei.

i=1

Следовательно, вектор p можно представить в виде p = s+t при

s = σ0(e1 +e2 +e3), t = (σ1 −σ0)e1 +(σ2 −σ0)e2 +(σ3 −σ0)e3. (1.29)

Первый из векторов (1.29) равно наклонен ко всем трем главным осям, т. е. направлен по нормали ν к плоскости ΠD , проходящей через начало координат и также равно наклоненной к осям σi. В этой плоскости расположен вектор t. Это следует из ортогональности векторов t и s, о чем свидетельствует равенство нулю скалярного произведения (см. формулу (1.21))

(s, t) = σ0(σ1 −σ0)+σ0(σ2 −σ0)+σ0(σ3 −σ0) = σ0(σ1 +σ2 +σ3)−3σ02 ≡0.

Сопоставление формул (1.29) и (1.22) показывает, что вектор s связан со сферическим тензором Sн – вместе с вектором ν он образует диаду sν, определяющую данный тензор. Вектор t входит в диаду tν, порождающую девиатор напряжений Dн. Вот почему плоскость ΠD и называют девиаторной. Любой принадлежащий ей вектор характеризует девиатор какого-либо напряженного состояния.

Квадрат модуля вектора t, т. е. квадрат его длины, определяется скалярным произведением

|t|2 = (t, t) = (σ1 −σ2)2 + (σ2 −σ3)2 + (σ3 −σ1)2.

734 Часть VII

Значит (см. формулы (1.24a), (1.26) и (1.28)),

6I2(Dн) = 2σинт2 = 6τинт2 = |t|2.

Следует также обратить внимание на то, что проекции главных осей на плоскость ΠD образуют семейство трех прямых, которые пересекаются в точке 0 и делят плоскость ΠD на шесть одинаковых секторов.

И последнее. Пластические деформации могут развиваться при самых различных сочетаниях главных напряжений. Важно иметь численную характеристику вида напряженного состояния, при котором в данной точке тела происходит пластическое течение. Такая характеристика была предложена немецким исследователем В. Лоде в экспериментальной работе, которую он выполнил под руководством А. Надаи в Институте прикладной механики

Эту характеристику называют коэффициентом вида пластической деформации, или коэффициентом Надаи – Лоде напряженного состояния. Зависи-

мость (1.30) связана со значениями экстремальных касательных напряжений

Как уже отмечалось, гидростатические напряжения (всестороннее растяжение или сжатие) на развитие пластических деформаций влияния не оказывают. Коэффициент (1.30) этот факт отражает: при добавлении ко всем главным напряжениям одной и той же величины σ значение параметра µσ не изменится. В случае одноосного растяжения, т. е. при σ1 = σ, σ2 = σ3 = 0, формула (1.30) дает µσ = −1. При одноосном сжатии (σ1 = σ2 = 0, σ3 = −σ) µσ = 1. При любом другом напряженном состоянии −1 < µσ < 1. Так, при чистом сдвиге, когда σ1 = −σ3, σ2 = 0, величина µσ обращается в нуль.

1.4. Деформированное состояние в точке тела. В главе I.5 были получены формулы (I.5.7), устанавливающие связь между деформациями удлинения, сдвигами и перемещениями точки тела, условия (I.5.9) совместности деформаций (условия сплошности Сен-Венана), а также зависимость (I.5.11) удлинения εν произвольно ориентированного элемента от деформаций εx, εy , . . . , γzx. Все эти соотношения справедливы и при наличии

пластического течения. Надо только иметь в виду, что в тех точках тела, где такое течение произошло, величины εx, εy , . . . , γzx включают в себя и необратимые (остаточные) деформации. Говорилось в главе I.5 и о том, что тензорные соотношения деформированного состояния для изотропного тела имеют такой же вид, что и тензорные соотношения напряженного состояния, и что первые следуют из вторых при замене компонент σx, σy , . . . , τzx на компоненты εx, εy , . . . , γzx/2 соответственно. Это правило относится и к девиаторам, поэтому далее все зависимости, используемые в теории пластичности при описании деформированного состояния в точке тела, приводятся почти без комментариев.

Разложению Tн = Sн+Dн тензора напряжений соответствует аналогичное представление

3

Первый инвариант девиатора деформаций равен нулю:

I1(Dд) = (εx −ε0) + (εy −ε0) + (εz −ε0) ≡ 0,

поэтому тензор Dд описывает деформированное состояние, не связанное с изменением объема тела, т. е. состояние пластического течения. Второй инвариант девиатора деформаций записывается по аналогии с равенством (1.24):

Более компактна запись в главных деформациях:

1

I2(Dд) = 6 [(ε1 −ε2)2 +(ε2 −ε3)2 +(ε3 −ε1)2].

По аналогии с формулами (1.25) и (1.27) вводятся интенсивность линейных деформаций, или просто интенсивность деформаций:

4

εинт = 3 I2(Dд)

где εei , εpi – упругая и пластическая составляющие главной деформации εi. Интенсивностью пластических деформаций называют величину

Экстремальные значения сдвигов определяются равенствами

γ1 = ε2 −ε3, γ2 = ε1 −ε3, γ3 = ε1 −ε2,

с помощью которых характеристика вида деформированного состояния (коэффициент Лоде – Надаи для деформаций)

µε = γ1 −γ3 γ2

При одноосном растяжении ε1 > 0, ε2 = ε3 = 0, что дает µε = −1. В случае чистого сжатия µε = 1, а при чистом сдвиге, когда ε1 = −ε3, ε2 = 0, из формулы (1.35) следует µε = 0.

Если материал находится в пластическом состоянии, то взаимно однозначного соответствия между напряжениями и деформациями может и не быть. В таком случае связь устанавливают между напряжениями и скоростями деформаций или между напряжениями и приращениями деформаций. Пусть ui – перемещение точки тела в направлении главной деформации εi и за короткий промежуток времени dt это перемещение меняется на величину

xi – пространственная координата. Связанные с этими дифференциалами

называют интенсивностью приращений деформаций и интенсивностью приращений пластических деформаций соответственно. Соотношения (1.36) и

(1.36a) записаны по подобию формул (1.33) и (1.33a). Левые части указанных соотношений отмечены чертой потому, что в общем случае приращения dεинт и dεpинт интенсивностей деформаций с интенсивностями dεинт и dεpинт приращений деформаций не совпадают (см. далее вывод формулы (2.19)).

Интенсивность скорости деформации определяется равенством

√2

3 (ε˙1 −ε˙2)2 +(ε˙2 −ε˙3)2 +(ε˙3 −ε˙1)2.

По аналогии с этой формулой можно было бы записать и выражение для интенсивности скорости пластической деформации ε˙pинт.

1.5. Закон Гука. Связь между напряжениями и деформациями в форме (I.6.6) либо (I.6.7), т. е. в форме закона Гука, принимается для тех точек тела, в которых пластических деформаций еще не было. Упругие модули E, G и коэффициент Пуассона ν связаны между собой равенством (I.6.3):

мулы (I.5.5)), то соотношение (1.39) называют законом Гука для объемной деформации, а коэффициент K – объемным модулем упругости.

После его вычитания из каждого уравнения (1.40) получатся три соотношения

σx −σ0 = 2G(εx −ε0), σy −σ0 = 2G(εy −ε0), σz −σ0 = 2G(εz −ε0)

между нормальными напряжениями и осевыми деформациями, к которым

связывающие в обобщенном законе Гука касательные напряжения и сдвиги. Получившуюся систему шести уравнений можно записать, используя обозначения (1.22) и (1.31), в компактной тензорной форме:

Dн = 2GDд,

свидетельствующей о пропорциональности девиаторов напряжений и деформаций. Пропорциональны друг другу и интенсивности напряжений и деформаций:

Как показывают эксперименты, только одно из рассмотренных в данном пункте соотношений, а именно – закон Гука (1.39) для объемной деформации, оказывается справедливым и за пределом упругости.

ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

Экспериментально установлено, что пластические деформации материала возможны при любых видах напряженного состояния, кроме всестороннего растяжения либо всестороннего сжатия. Металлы способны приобретать остаточные деформации и при невысоких температурах, что позволяет не связывать процесс пластического течения с тепловым движением частиц. Такого рода пластичность называют холодной или атермической. Естественно, металлы могут находиться в пластическом состоянии и в результате теплового воздействия, при нагреве до температуры плавления, например. Порожденную таким воздействием неупругость принято называть ползучестью. Иначе говоря, термин "пластичность" относится только к неупругости, носящей атермический характер.

2.1. Модели упругопластического материала при одноосном напряженном состоянии. Идеализация поведения материала при растяжении и сжатии приводит к двум основным типам физических моделей неупругих тел (см. п. I.4.8). Первый тип представлен на рис. 2.1 двумя моделями: a) и b). Из рис. 2.1a видно, что при напряжении 0 < σ < σT материал деформируется упруго (участок 0A диаграммы). При σ = σT начинается пластическое течение. Деформация является неопределенной (участок AB) и может возрастать неограниченно. Разгрузка протекает упруго с тем же модулем E, что и при нагружении (линии 0A и BC параллельны), при этом CD и 0C – суть упругая и остаточная доли полной деформации 0D. Тело, поведение которого характеризуется диаграммой описанного типа, называется идеальным упругопластическим телом, или телом Прандтля.

Телом Сен-Венана, или идеальным жесткопластическим телом, именуют модель 1-го типа, представленную на рис. 2.1b диаграммой "σ–ε". Она применяется в случае, когда пластические деформации зашли далеко и по сравнению с ними упругой долей деформации можно пренебречь. При 0 ≤σ < σT или −σT− < σ ≤ 0 деформаций в теле нет вообще, а при σ = σT или σ = σT− пластическое течение происходит с неопределенной деформацией. Разгрузке отвечает траектория BC, свидетельствующая о том, что вся накопленная в теле деформация является остаточной.

Обе только что рассмотренные модели описывают процесс накопления пластических деформаций, не сопровождаемый изменением предела текучести. Диаграмме "σ–ε", представленной на рис. 2.1c, отвечает модель, которая уже учитывает упрочнение, т. е. повышение предела текучести, обнаруживаемое при повторном нагружении. Величина σT+−σT, на которую повышается этот предел, зависит от величины накопленной пластической деформации (отрезок 0C). Такая модель, называемая линейно упрочняющимся телом, описывает эффект Баушингера: σT− < σT < σT+ (см. п. I.4.5).

Каждая из описанных моделей отражает одну из самых важных особенностей пластического тела – неоднозначность связи между напряжениями и деформациями. Так, для упрочняющегося тела (см. рис. 2.1c) напряжению σ отвечает бесчисленное множество деформаций, среди них и те, которые отображены точками a, b, c. Но если промежуточные разгрузки исключить, то в упрочняющемся теле связь σ(ε) будет взаимно однозначной.

Таким образом, при помощи моделей, представленных на рис. 2.1, предельное состояние тел, испытывающих одноосное растяжение или сжатие, устанавливается без труда. То же самое можно сказать и о деформации чистого сдвига, ибо диаграмма "τ –γ" имеет тот же вид, что и диаграмма "σ–ε". В точке тела пластическое течение происходит при условии, что σ > σT или τ > τT. В случае, когда тело испытывает сложное напряженное состояние, выяснить связь между напряжениями и деформациями на упругопластической стадии работы материала чисто экспериментальным образом нельзя. Впрочем, о невозможности перебрать в опытах все мыслимые сочетания компонент тензора напряжений (деформаций) говорилось еще при обсуждении теорий прочности в главе I.8. Выход из затруднения нужно искать на пути объединения усилий экспериментаторов и теоретиков с тем, чтобы решить следующие задачи. Во-первых, обобщить понятие предела текучести на сложное напряженное состояние. Во-вторых, дать четкое определение нагрузки и разгрузки при сложном напряженном состоянии. В-третьих, установить связь между напряжениями и остаточными деформациями или напряжениями и приращениями остаточных деформаций.