Основы механики твердого деформируемого тела

ЧАСТЬ VII. ПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ТЕЛ

Теория пластичности изучает напряженно-деформированное состояние тел, в которых возникают напряжения, превышающие предел упругости. Казалось бы, что к услугам этой теории следует обращаться лишь специалистам по изготовлению прокатных, штампованных и кованных изделий или специалистам по механике разрушения. Ведь строительные конструкции и силовые конструкции машин должны проектироваться так, чтобы не испытывать неупругих деформаций в течение всего намеченного срока их эксплуатации. Спрашивается, зачем же тогда интересоваться состоянием, в котором проектируемое сооружение никогда не должно оказываться? На это можно было бы заметить, что инженер, выполняющий прочностные расчеты, должен иметь ясное представление о том, что произойдет с конструкцией, если нагрузка на нее окажется выше допустимой. Однако важнее другое. Оказывается, что при помощи методов, изучаемых в теории пластичности, удается находить более экономичные инженерные решения по сравнению с теми, которые основываются на учете только упругих деформаций материала. С рассмотрения доводов, подтверждающих это утверждение, и можно приступить к знакомству с теорией пластичности.

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ. НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ ТЕЛА

1.1. Предельное состояние силовой конструкции. Как неоднократно отмечалось выше, инженер должен обеспечить надежную работу проектируемой конструкции, и прежде всего – ее прочность. Для этого и выполняются разного рода вычисления, которые позволяют установить распределение напряжений по телу конструкции при различных сочетаниях постоянной и временной нагрузок. Однако знания напряженно-деформированного состояния еще недостаточно. Необходимо при помощи того или иного критерия прочности убедиться в том, что ни в одной из расчетных точек тела эквивалентные напряжения не превышают предельного для данного материала уровня (см. гл. I.8). Поэтому при проектировании конструкции нужно выделить в ее теле все опасные точки, вычислить в них напряжения σэкв и

будет нарушено, то проект конструкции придется менять. Оценку прочности, основанную на неравенстве (1.1), называют расчетом по допускаемым напряжениям (см. п. I.4.7).

Если конструкция изготавливается из хрупкого материала, то оценить ее прочность можно только при помощи условия (1.1) или ему подобного. Однако при пластическом материале нарушение неравенства (1.1) в одной или ряде точек тела далеко не всегда приводит к разрушению конструкции или к появлению в ней недопустимых перемещений. Так, если в одном из лишних стержней статически неопределимой фермы возникнет пластическое течение, а все остальные стержни продолжают деформироваться упруго, то конструкция из строя не выйдет, перемещения ее узлов будут ограничены и ферма сможет воспринять еще некоторую дополнительную нагрузку. Сказанное подтверждает пример, приводимый ниже.

На рис. 1.1 изображен жесткий диск, загруженный силой P и поддерживаемый в состоянии равновесия четырьмя одинаковыми деформируемыми стержнями. Требуется найти такое значение силы, при котором рассматриваемая система утратит свою работоспособность. При помощи рис. 1.1b можно составить полную систему уравнений, описывающих состояние конструкции при малых перемещениях (см. главу II.1). Уравнения равновесия Y = 0,M0 = 0 этой полной системы имеют вид:

Состояние рассматриваемой конструкции, насчитывающей две степени свободы, полностью характеризуют перемещения v и ϕ, которые связаны с удлинениями ∆i стержней кинематическими равенствами

Разрешающие уравнения в перемещениях получают, введя в условия равновесия (1.2) усилия (1.4) с последующей заменой удлинений ∆i на перемещения v и ϕ при помощи формул (1.3):

четвертый стержень выйдет из строя и при расчете по допускаемым напряжениям надо было бы признать неработоспособной и всю конструкцию в целом. Пусть [σ] = σT/k, где k – коэффициент запаса. Тогда из условия σ4 ≤ [σ] следует, что предельная нагрузка на конструкцию равна величине

Жесткий диск при такой силе наклонится на угол (см. формулы (1.5))

Угол (1.8) вполне может быть меньше своего допускаемого значения [ϕ], устанавливаемого нормами проектирования строительных конструкций: ведь стержни 1–3 пока еще работают упруго, а потому их удлинения невелики.

Для поддержания же равновесного состояния рассматриваемой конструкции трех работоспособных стержней более чем достаточно. Стало быть, считать конструкцию непригодной к эксплуатации потому, что стержень 4 потек, при ϕпр < [ϕ] было бы неправильным. Эта конструкция в состоянии воспринять силу, превосходящую силу (1.7a). Однако величину дополнительной нагрузки можно установить лишь при условии, что поведение материала по достижению предела текучести и вслед за ним известно.

Пусть стержни 1–4 рассматриваемой конструкции выполнены из мягкой строительной стали, диаграмма растяжения которой имеет ярко выраженную площадку текучести. Физической моделью такого материала служит идеальное упруго-жесткое тело (см. п. I.4.8 и рис. 1.2). При увеличении нагрузки на стержень, который потек, в нем станут накапливаться остаточные деформации, не со-

провождаемые изменением напряжений. Значит, не будет меняться и усилие N4 = σTF в стержне 4, так что приращение P1 силы P может быть воспринято только первыми тремя стержнями конструкции. Дополнительные усилия в них определяются полной системой уравнений, которые можно составить, глядя на рис. 1.3:

N1+N2+N3−P1 = 0, N2+2N3−4P1 = 0;

– суть окончательные напряжения в элементах рассматриваемой конструкции. Как только какой-либо из стержней 1 или 2 потечет, конструкция ста-

Таким образом, конструкция выдерживает нагрузку, равную сумме сил

Это воздействие на 33% превышает силу (1.7a). К моменту разрушения в стержнях 3 и 4 остаточные удлинения будут равны величинам

что следует из формул (1.14) и (1.15).

1.2. Приспособляемость. Простое нагружение. Нетрудно привести и другие примеры, в которых предельная нагрузка на конструкцию, найденная с учетом пластического деформирования материала, заметно больше воздействия, которое к превышению предела текучести не приводит. Поэтому может сложиться впечатление, что от расчета по допускаемым напряжениям конструкций из пластических материалов следовало бы раз и навсегда отказаться. Но по ряду причин такого отказа не последовало. Дело в том, что цикл "разгрузка – повторное нагружение" при упругой и пластической работе материала протекает по различным законам и конструкция, некоторые элементы которой испытали наклеп, становится уже другой. Закономерен вопрос: не уменьшится ли значение предельной нагрузки после того, как внешнее воздействие сначала будет снято, а затем снова возвращено на конструкцию? Частично на этот вопрос отвечает анализ поведения конструкции, изображенной на рис. 1.1, после ее разгрузки при силе P , приближающейся к значению (1.17), и повторном нагружении.

Итак, при силе P ≈ Pпр = 4σTF/3 (но все же такой, что P < Pпр) пластическое течение испытывают только стержни с номерами 3 и 4. Тогда по снятию нагрузки в конструкции появятся остаточные напряжения σiост, обусловленные необратимыми удлинениями (1.18) указанных стержней. Эти напряжения можно найти, если рассчитать конструкцию на кинематическое воздействие (1.18), трактуя стержни 3 и 4 как неточно изготовленные. Полная система уравнений данной задачи состоит из условий равновесия (1.2), записанных при P = 0, кинематических соотношений (1.3) и закона Гука (см. формулы (1.4), (1.17) и п. II.1.10):

Однако в обсуждаемой задаче проще найти остаточные напряжения σiост, вычитая из напряжений (1.16) чисто упругие (закон разгрузки!) напряжения (1.6), которые должны быть вычислены при силе (1.17). В любом случае результат будет следующим:

Повторное нагружение конструкции силой P дает (к напряжениям (1.6) добавляются остаточные напряжения (1.19)):

При силе P , совпадающей с силой (1.17), эти напряжения станут такими:

Несущая способность конструкции исчерпана и предельная нагрузка на нее ничем не отличается от предельной нагрузки (1.17), полученной до перехода к циклу "разгрузка – повторное нагружение". Важно, что при повторном нагружении материал всех стержней деформировался упруго вплоть до наступления предельного состояния конструкции в целом. Если такое чисто

упругое поведение материала после наклепа проявляется на каждом цикле процесса P –0–P –0– · · · , то об этом явлении говорят как о приспособляемости конструкции к повторным нагружениям.

Естественно, что никаких преград к переходу от расчета по допускаемым напряжениям к расчету по предельному состоянию не было бы, если бы конструкция приспосабливалась к повторному нагружению любого вида. Однако это не так. Приспособляемость обычно лишь тогда имеет место,

когда внешние силы меняются пропорционально одному параметру, т. е. в случае так называемого простого нагружения. Пропорционально этому па-

раметру меняются и усилия (напряжения) в конструкции. В рассмотренном примере в роли параметра нагружения выступали силы P , P1 и P2. Реальные воздействия на силовые конструкции простыми бывают только в исключительных случаях. Обычно при расчете несущих конструкций зданий и сооружений, кроме их собственного веса, приходится учитывать еще

различные временные воздействия, каждое из которых меняется во времени по своим собственным законам. При сложном многопараметрическом воздействии все зависит от так называемой истории нагружения, т. е. от того,

в каких элементах конструкции и в какой последовательности развивались пластические деформации.

Пусть конструкция, изображенная на рис. 1.1, перед нагружением силой P испытывала температурное воздействие, которое заключалось в повышении температуры стержней 1 и 2 на toC. Возникающие при таком изменении температуры напряжения можно найти при помощи полной системы уравнений, которая отличается от таковой для задачи расчета конструкции на кинематическое воздействие только формой записи закона Гука:

N1 = EF (∆1/l+αt), N2 = EF (∆2/l+αt), N3 = EF ∆3/l, N4 = EF ∆4/l,

где α – коэффициент линейного расширения материала. Вычисления дают:

Пусть величина αEt такова, что

−σ2(t) = σ3(t) = 5σT/4.

В этом случае в стержнях 2 и 3 появятся остаточные удлинения:

После снятия температурного воздействия состояние конструкции характеризуется напряжениями

Далее конструкция, унаследовавшая напряжения (1.20) от временного повышения температуры, загружается силой P . До предельного состояния эта конструкция доводится за три шага. При силе

37

P = 40 σTF

потечет стержень 4, при силе P +P1, где (см. рис. 1.3)

153

P1 = 440 σTF,

из строя выходит 3-й стержень. Наконец, при P (t) = P +P1 +P2, где

наступает предельное состояние для конструкции в целом. Следует подчеркнуть, что нагрузка

которая является предельной при только что рассмотренной истории нагружения, несколько меньше нагрузки (1.17a) – также предельной, но уже при ином способе ее реализации.

Однако история потому так и называется, что оперирует с информацией о событиях, которые уже состоялись и были каким-то образом зафиксированы. Собрать же сведения о том, когда и как загружалась конструкция, невозможно даже для введенного в эксплуатацию сооружения, что же тогда говорить о стадии его проектирования! Вот почему в общем случае расчет конструкций по предельному состоянию выполнен быть не может. Нормами проектирования строительных конструкций отмеченное обстоятельство учитывается следующим образом. Во-первых, в нормах не обсуждается технология вычисления усилий и напряжений. Во-вторых, дифференцируются коэффициенты запаса. Они берутся своими для каждой составляющей многопараметрического нагружения, а численные значения этих коэффициентов назначаются с учетом того, что локальные пластические деформации

к разрушению тела не приводят. Наконец, нормы проектирования сопровождаются различного рода инструкциями, содержащими методики расчета по предельному состоянию тех элементов конструкций, для которых такой расчет возможен. В частности, по предельному состоянию могут рассчитываться некоторые балки и плиты (см. далее главу 3).

По предельному состоянию целесообразно рассчитывать конструкции разового использования, такие, например, как металлические фермы установок для запуска ракет. С учетом пластических деформаций ведут прочностные расчеты стволов артиллерийских орудий, броневой защиты танков. Кстати, именно за разработку методов расчета танковой брони крупному специалисту по теории пластичности А. А. Ильюшину была в 1948 году присуждена Сталинская премия. Во всех перечисленных выше случаях нагружения на конструкции являются простыми или близкими к ним.

Сказанного, по всей видимости, достаточно, чтобы убедиться в необходимости изучения теории пластичности теми инженерами, которые должны будут решать проблемы, связанные с обеспечением прочности, жесткости и устойчивости силовых конструкций.

1.3. Дополнительные сведения о напряженном состоянии в точке тела. Для решения задачи теории пластичности, так же, как и для решения задачи теории упругости, необходима полная система уравнений. Помимо связи между напряжениями и деформациями (физического закона), такая система содержит статические и кинематические уравнения. Последние от вида материала не зависят, поэтому при малых перемещениях их можно взять точно такими же, какими они были указаны в первом разделе настоящего курса (см. главы I.2, I.5). В частности, сохраняются уравнениях равновесия Навье (I.2.6), условия Коши (I.2.8) на поверхности тела, формулы (I.2.9), (I.2.10) для напряжений на наклонных площадках, а также формулы, с помощью которых устанавливаются главные напряжения и главные площадки (см. п. I.2.3–I.2.6).

При развитии пластических деформаций меняется, главным образом, форма тела, а не его объем, поэтому в тензоре напряжений Tн принято выделять компоненты, которые за изменение формы тела ответственны. Первый шаг в этом направлении был сделан в п. I.6.4, когда удельная потенциальная энергия деформации тела разбивалась на энергии изменения формы и изменения объема. Тензор Tн был представлен в виде суммы двух слагаемых (см. рис. 6.2 в п. I.6.4):