Основы механики твердого деформируемого тела

6.2. Критическая нагрузка для тонких плит. К тонким плитам относятся конструкции трех типов (см. п. III.1.8): мембраны, гибкие пластины, жесткие пластины. Мембраны работают на растяжение, и вопрос об их устойчивости не возникает. Жесткие плиты при большой сжимающей нагрузке скорее разрушатся, нежели потеряют устойчивость. Таким образом, целесообразно исследовать устойчивость равновесного состояния лишь гибких плит, перемещения w(x, y) которых (рис. 6.2a) сопоставимы с их толщиной. При расчете гибких пластин учитываются цепные усилия Nx, Ny , Sxy , действующие в срединной плоскости. Разрешающее уравнение задачи вытекает из формул (III.1.25)2 и (III.1.26):

Все остальное демонстрируется на примере.

Пусть тонкая переборка прямоугольной формы сжимается равномерно распределенными по кромкам силами Nx и Ny (рис. 6.2b). Переборка шарнирно закреплена по всем краям, так что при отыскании формы ее возможного выпучивания нужно учесть граничные условия (III.1.14a), приведенные на с. 300:

При равномерном в обоих направлениях сжатии пластины сдвигающие силы отсутствуют. Нет и нагрузок, ортогональных к срединной плоскости плиты: q = 0. Стало быть,

Решение уравнения (6.1a) разыскивается в форме ряда

удовлетворяющего граничным условиям задачи при любых конечных значениях коэффициентов Amn. Подстановка функции (6.2) в уравнение (6.1a) дает:

Это равенство выполняется в каждой точке срединной плоскости плиты лишь тогда, когда

При Amn = 0 пластина находится в исходном положении равновесия. Для ее выпучивания необходимо, чтобы

Глядя на формулу (6.3), можно заметить, что отклоненная форма равновесия пластины возможна при различных сочетаниях нагрузок Nx и Ny и различных числах m и n полуволн синусоид вдоль длинной и короткой сторон переборки. В частности, если нагрузка Ny отсутствует, то

Наименьшее значение величины Nx достигается при n = 1. Остается найти минимум нагрузки (6.3a) по параметру m. Условие

∂Nx = 0 ∂m

при n = 1 приводит к следующему результату:

Соотношение (6.4) говорит о том, что потеря устойчивости в форме (6.2) возможна лишь при целочисленном отношении размеров a и b. Если это не так, решение задачи усложняется.

Подстановка чисел (6.4) и n = 1 в формулу (6.3a) дает

N кр = 4π2D .

x b2

Этот результат напоминает формулу Эйлера для критической силы защемленного с двух сторон стержня, в которой вместо изгибной жесткости EI берется цилиндрическая жесткость, а роль длины l отводится наименьшему из размеров пластины в плане. Более подробно остановиться на проблеме устойчивости плит в настоящем пособии не удастся.

6.3. Случай неконсервативной нагрузки. В п. 1.1 было введено одно важное ограничение на класс рассматриваемых нагрузок: требовалась их консервативность. Однако не все воздействия относятся к таковым. На рис. 6.3 показаны три различных способа загружения консольного стержня силой P . В первом случае груз свободно подвешивается к стойке в точке A, во втором – воздействие осуществляется путем натяжения троса, перекинутого через блок B, и в третьем – стержень испытывает отдачу реактивного двигателя. Исходное состояние всех трех систем одинаково. Различие обнаруживается после того, как стержень начинает изгибаться. При отклонении стойки с подвешенным грузом (рис. 6.a) сила P направления не меняет. (Нагрузку, которая при бифуркации не меняет ни величины, ни направления, в механике деформируемого твердого тела называют мертвой.) Сила P , вызванная натяжением троса (рис. 6.3b), "следит" за положением блока B. Обе рассмотренные нагрузки порождены силой веса, а потому они являются

консервативными. Иное дело – следящая реактивная нагрузка, обусловленная истеканием газов из сопла двигателя. Работа силы P в этом случае зависит от того, по какой траектории точка A перемещается в положение A . Например, если в процессе движения точки A сила P оставалась вертикальной, а достигнув положения A , она повернулась на угол ϕ (рис. 6.3c), то ее работа окажется равной величине P v. Но если сначала повернуть силу P на угол ϕ, а затем уже перевести ее в положение A , то выполненная этой силой работа будет иной: P (v cos ϕ−u sin ϕ).

При анализе устойчивости неконсервативных систем как статический, так и энергетический критерии критического состояния применять нельзя. Корректное решение задачи возможно лишь при использовании так называемого динамического критерия, согласно которому неконсервативная система устойчива тогда и только тогда, когда сообщенный ей импульс приводит к свободным гармоническим колебаниям (либо к затухающим колебаниям, если учитываются силы сопротивления). На рис. 6.4 изображен консольный стержень, загруженный силой P , которая следит за углом наклона касательной к оси стержня в точке A с запаздыванием, определяемым коэффициентом k. Требуется найти критическое значение этой силы.

Прежде чем применить для решения поставленной задачи динамический критерий, имеет смысл попытаться найти критическую нагрузку, исходя из предположения, что отклоненные равновесные состояния системы существуют. Только таким образом можно очертить границы возможных действий в рамках статического критерия.

При малых отклонениях стойки

PV = P, PH = ku0.

Тогда

M = P u − P ku0x

и (ведь M = −EIu ) разрешающее уравнение задачи сводится к виду:

При k = 0, т. е. тогда, когда сила вертикальна, получается известное решение Эйлера: Pкр = π2EI/4l2. Если же нагрузка направлена точно по касательной к оси стержня, т. е. k = 1, то уравнение (6.6) решения не имеет. Это означает, что отклоненных форм равновесия у стойки при k = 1 нет и найти критическую нагрузку, опираясь на статический критерий, в этом случае не удастся. Однако, если

этот критерий работоспособен. На рис. 6.5a представлен график зависимости параметра p от коэффициента k, построенный при помощи равенства (6.6). Из него видно, что критическая сила тем больше, чем ближе друг к другу линия действия силы и касательная к оси стержня.

Объем вычислений, связанных с использованием динамического критерия, зависит от числа степеней свободы динамической системы. Наиболее просты они при C = 1, т. е. в случае, когда собственная масса стержня пренебрежимо мала по сравнению с массой m двигателя. Отвечающая этому случаю система изображена на рис. 6.6. При помощи принципа Д Аламбера ее уравнение движения может быть получено по той же схеме, что и уравнение (6.5):

лета, находящегося в воздушном потоке, действует подъемная сила, которая приводит к изгибу и кручению крыла. В процессе его деформирования угол наклона плоскости крыла к направлению потока меняется, а значит, меняется и подъемная сила. В результате этого возникают изгибно-крутильные колебания крыла, которые при некоторой скорости обтекания становятся разрушительными. Флаттеру подвержены не только авиационные конструкции. Хорошо известен случай разрушения висячего моста через реку Такома (США, 1940 г.) от изгибно-крутильных колебаний полотна проезжей части, которые были спровоцированы ураганной ветровой нагрузкой. А для дымовых труб, высотных башен и градирен весьма опасен так называемый срывной флаттер. Он заключается в периодическом раскачивании сооружения из-за срыва с его поверхности воздушных вихрей, которые образуются в результате трения частичек воздуха о границу обтекаемого тела. Вот почему неконсервативные задачи устойчивости должны находиться в поле зрения инженеров-строителей.

КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ

Вопросы устойчивости силовых конструкций и их отдельных элементов относятся к тем проблемам механики твердого деформируемого тела, которые являются наиболее емкими как по насыщенности идеями, так и по объему материала. Подтверждением сказанному является хотя бы тот факт, что одна из лучших монографий, посвященных устойчивости деформированных тел [4], насчитывает 880 страниц и содержит ссылки примерно на 500 публикаций. Данная монография является, по существу, справочником, в котором приводится краткая информация о решении множества конкретных задач и указываются адреса, по которым можно найти подробный анализ полученных решений. Еще один пример. В весьма интересной книге Я. Г. Пановко и И. И. Губановой [19] анализируются многочисленные парадоксы и заблуждения, связанные с развитием механики в XIX и XX веках. И все, о чем рассказывается в этой книге, относится к задачам устойчивости или динамики.

Задачам устойчивости в учебной литературе уделяется ничуть не меньше внимания, чем, скажем, задачам динамики. Зачастую эти части механики деформируемого тела излагаются совместно и пространство книги, в которой они освещаются, делится между устойчивостью и динамикой практически поровну [14, 30, 42]. Вот почему читателю будут теперь довольно часто встречаться ссылки на те же самые литературные источники, с которыми он уже сталкивался при чтении библиографических примечаний к предыдущей части курса.

К главе 1

Как уже отмечалось, устойчивость сооружений – одна из наиболее сложных частей механики деформируемого твердого тела, поэтому при ее изучении обращаться к различным литературным источникам нужно обязательно. Особенно важно войти в проблему, ибо от того, насколько ясными станут исходные позиции и насколько четко будет очерчен круг решаемых задач, зависит все остальное. Читатель и сам сможет оценить только что сказанное после ознакомления с введением в теорию устойчивости по книгам Н. А. Алфутова [2, с. 7–30], В. А. Гастева [6, с. 338–344], В. А. Киселева [14, с. 281–298], А. Р. Ржаницына [24, с. 204–213], А. Ф. Смирнова с соавторами [30, с. 207–212], А. П. Филина [42, с. 277–308]. Этот список можно было бы продолжать еще долго, но необходимости в этом нет. При желании всегда можно обратиться к монографии А. С. Вольмира [4] или

справочнику [20] и воспользоваться имеющимися там обширными библиографическими данными. Выразительные иллюстрации к задаче, описанной

вп. 1.4, имеются в книге А. П. Филина [42, с. 359–366].

Кглаве 2

Материал этой главы комментариев и ссылок на дополнительную литературу не требует.

Кглаве 3

Озадачах, которые не попали в настоящую главу или были рассмотрены

вней недостаточно подробно, можно узнать из изданий [14, 24, 30]. К ним относятся, например, задачи о критической нагрузке сжатых брусьев, имеющих упругоподатливые опоры [14, с. 328–329; 22, с. 221–225; 30, с. 244–248], брусьев, загруженных распределенными или сосредоточенными в промежуточных точках оси сжимающими силами [24, с. 338–341; 30, с. 239–244], а также брусьев, покоящихся на упругом основании [20, с. 342–345]. О влиянии местных ослаблений поперечных сечений стержней и учете деформации сдвига на критическую нагрузку рассказывается в учебниках [6, с. 350–357] и [30, с. 252–255]. Что же касается приближенных способов решения задач устойчивости, то о них хорошо рассказывается в монографии Н. А. Алфутова [2, с. 64–77].

Кглаве 4

Задача устойчивости сжатого бруса за пределами упругости обсуждается в любом учебнике по сопротивлению материалов. Изложение этого вопроса В. А. Гастевым [6, с. 361–371] относится к одному из лучших. Им рассмотрен и случай, когда деформации сжатой стойки являются конечными и задачу приходится решать в нелинейной постановке [6, с. 378–390]. В монографии А. С. Вольмира [4, с. 85–114] приводятся экспериментальные данные, подтверждающие концепцию Ф. Шенли. Подробный анализ задачи Шенли для идеализированного упругопластического стержня дается в книгах [19, с. 119–132] и [42, с. 420–430]. Дополнительные сведения о влиянии начальных несовершенств на поведение упругих и упругопластических стержней имеется как у А. С. Вольмира [4, с. 63-69, 107–113], так и А. П. Филина [42, с. 301–303, 344–348, 394–404].

К главе 5

Проблемы, связанные с устойчивостью многостержневых конструкций, изучаются строительной механикой. Поэтому и ссылки даются на учебники по этому разделу механики деформируемого тела. Полезную информацию об

устойчивости данных конструкций можно получить в учебниках [30, с. 281– 294; 13, с. 355–398]. Последняя книга содержит большое число конкретных примеров.

К главе 6

Начальные сведения об устойчивости тонкостенных стержней можно почерпнуть в учебнике В. А. Гастева [6, с. 371–378]. Простейшие задачи потери устойчивости плоской формы изгиба балок рассмотрены А. Р. Ржаницыным [24, с. 246–249] и В. А. Гастевым [6, с. 393–396]. Более обстоятельно эти задачи разобраны А. С. Вольмиром [4, с. 158–197]. В монографии [4] три главы посвящены устойчивости пластин, шесть глав – устойчивости оболочек и еще три главы – специальным вопросам устойчивости плит и оболочек. Однако изучать эти вопросы лучше не по справочнику [4], а, например, по монографии Н. А. Алфутова [2, с. 134–177, 220–268]. Кратко и вместе с тем очень доступно рассказано о потере устойчивости при неконсервативной (следящей) нагрузке в книге Я. Г. Пановко и И. И. Губановой [19, с. 66–86]. Там же (с. 262–268) приводятся истории разрушения от флаттера ряда висячих мостов, и в том числе Такомского моста. В учебнике [30, с. 351–359] говорится о расчетах на устойчивость при многопараметрическом нагружении и о расчетах по деформированному состоянию [30, с. 359–365]. В настоящем пособии эти проблемы не затрагивались вообще.