Основы механики твердого деформируемого тела

вость по обратносимметричной форме, то расчет выполняется только с одним неизвестным при помощи расчетной схемы, показанной на рис. 5.10a. Единичная эпюра ”M 1” метода сил и эпюра ”M1”, порожденная совместным действием сил P и X1 = 1, даны на рис. 5.10b. На стойке зависимость усилия M1 от абсциссы x поперечного сечения устанавливается при помощи формул (3.5) и рис. 5.10c. Так как V0 = 0, M0 = M= L, то

При x = h, т. е. в заделке, перемещения u и u обращаются в нуль:

и

M1 = L cos p(h − x) . cos ph

Тогда

Критическое значение параметра p определяется уравнением (5.8), т. е. ра-

Вычисления показывают, что при l = h, l = 4h и l = 8h величина ph = t принимает значения, приведенные в таблице 5.2.

Данный пример, конечно же, метод сил не дискредитирует. И уравнение устойчивости (5.11) проще уравнения (5.4), с которым приходилось иметь дело в п. 5.2, решая задачу методом перемещений, да и вывод соотношения (5.11) особого труда не составил. Более того, это соотношение можно было получить еще проще. Ведь перемещение u11 по направлению силы X1 складывается из перемещения, обусловленного деформированием консоли и равного, как известно, величине L3/3EI, а также жесткого смещения u0L, связанного с поворотом неопорного узла основной системы на угол u0:

u11 = u0L + L3/3EI.

Если подставить сюда величину u0 по формуле (5.9)1, то и получится результат (5.10). Так что рассматриваемую задачу, действительно, лучше решать методом сил. Но в общем случае дело обстоит иначе.

Если конструкция имеет высокую степень статической неопределимости и состоит из большого числа стержней, то избежать вычисления интегралов при подсчете перемещений uik не удастся, а число таких интегралов значительно. Правда, сам процесс интегрирования для призматических стержней можно выполнить в общем виде и свести полученные результаты в таблицы. Действительно, ведь изгибающие моменты при продольном изгибе определяются формулой (3.5)3:

M= EIpu0 sin px + M0 cos px + (V0/p) sin px,

аусилие M – линейная функция координаты x: M = ax + b. Поэтому все сводится к вычислению по частям двух интегралов в выражении

При a = 0, b = L, l = h и величине u0, определяемой зависимостью (5.9)1, отсюда сразу получается первое слагаемое в выражении для перемещения (5.10). В общем случае для того, чтобы воспользоваться формулой (5.12), надо для каждого стержня (и для каждого единичного состояния) иметь значения начальных параметров u0j , M0j и V0j , j = 1, 2, . . . , C. Но опреде-

лить их только по условиям закрепления рассматриваемого элемента основной системы можно лишь тогда, когда этот элемент представляет из себя консоль или шарнирно опертую с двух сторон балку (рис. 5.11). Если выбор удовлетворяющей указанным требованиям основной системы невозможен (как, например, для конструкций, изображенных на рис. 5.12a), то при определении величин u0j , M0j и V0j придется использовать условия сопря-

жения элементов в узлах рамы. Данная процедура при большом числе узлов довольно обременительна, а потому от использования метода сил лучше отказаться.

Для конструкций, показанных на рис. 5.12b, найти начальные параметры достаточно просто, ибо возможны основные системы, удовлетворяющие перечисленным выше требованиям. Но рассчитывать эти рамы методом сил нет смысла хотя бы потому, что степень их статической неопределимости выше степени кинематической неопределимости. При выборе способа расчета не следует также забывать о том, что метод перемещений имеет строго организованную вычислительную процедуру, тогда как каждая задача метода сил в этом отношении индивидуальна.

5.4. Особые случаи при решении задач устойчивости. Двухступенчатая стойка, приведенная на рис. 3.6a, однажды статически неопределима, и при основной системе, показанной на рис. 5.13, она легко может быть рассчитана методом сил. Не потребуется даже строить эпюры усилий M1 и M 1. И в самом деле, ведь u11 – это взаимный угол поворота

торцов стержней 1 и 2 в месте их стыка над опорой D при воздействии X1 = 1: u11 = u (l1) + u (l2). Так как

u0i = M0i = 0, i = 1, 2,

а из условий

MD(i) = 0

равновесия верхней и нижней частей основной системы следует, что V0i = 1/li, то первые две из формул (3.5) имеют вид:

Уравнение устойчивости u11 = 0 как раз и определяется второй из этих формул (ti = lip):

При t1 = t, t2 = 2t, т. е. при l1 = l, l2 = 2l, условие (5.13) тут же приводится к уравнению (3.16a), чего и следовало ожидать.

Более интересен случай l1 = l2 = l, t1 = t2 = t. Здесь

Если sin t = 0, то тогда sin t−t cos t = 0, откуда следует, что (см. п. 3.2, формулу (3.8)) t = 4, 49 . Но для рассматриваемой конструкции в п. 3.4 было установлено, что tкр = π. В этом случае sin t = 0, а при sin t = 0 левая часть уравнения (5.13a) становится бесконечно большой. График зависимости D(t) имеет вид, представленный на

рис. 5.14. В точке t = π получается разрыв второго рода и при переходе через него функция D(t) меняет знак. Значит, в критической точке определитель канонических уравнений метода сил может стремиться не к нулю, а к бесконечности. Так бывает тогда, когда значения критической нагрузки для исходной конструкции и ее основной системы совпадают. Дело в том, что в этом случае при P = Pкр перемещения основной системы неограниченно возрастают, а элементами определителя det (uij ) как раз и являются перемещения основной системы. Таким образом, при решении уравнения (5.8) необходимо следить не только за корнями последнего, но и за разрывами второго рода.

Совпадение критической нагрузки для исходной конструкции и основной системы возможно и при расчете методом перемещений, а потому все, что говорилось по поводу решения уравнения (5.8), относится и к уравнению (5.2). Так, при η < 1 и k > 1 система, изображенная на рис. 5.15a,

может потерять устойчивость только потому, что утрачивает таковую правая стойка конструкции, тогда как все остальные элементы рамы остаются работоспособными. Это и есть тот случай, когда критические силы для самой конструкции и ее основной системы метода перемещений совпадают (рис. 5.15b).

А теперь еще об одном частном случае. Ригель рамы, изображенной на рис. 5.15c, закреплен от горизонтального перемещения, следовательно, в основной системе метода перемещений линейной горизонтальной наложенной связи не будет. Это означает, что информация о правой стойке конструкции вообще не попадет в уравнение (5.2). В подобных случаях конструкцию приходится разбивать на подконструк-

ции (см. рис. 5.15d), находить для каждой из них критическую силу и выбирать из двух полученных значений силы Pкр наименьшее.

Опасность упустить из виду критическую силу существует и при наличии так называемых кратных корней уравнения (5.2) или (5.8). Так, портальная рама, рассмотренная в п. 5.2 (см. табл. 5.3), при l = 4h имеет обратносимметричную форму потери устойчивости, тогда как при l = 8h форма потери устойчивости симметрична. Значит, существует такое отношение ρ = l/h (4 < ρ < 8), при котором критические силы указанных форм потери устойчивости совпадают. Это и есть случай кратности корней характеристического уравнения задачи. Если симметричная и обратносимметричная задачи разделены (это и было сделано в п. 5.2), то никаких осложнений в ходе их решения не возникнет. Просто при l/h = ρ наименьшие корни уравнений

(5.4a) и (5.6) окажутся одинаковыми, что обнаружится при их сопоставлении. Трудности могут возникнуть, если не представлять состояние системы в виде суперпозиции симметричной и обратносимметричной составляющих, а сразу решать задачу с тремя неизвестными (рис. 5.16a). Вид графика левой части уравнения (5.2) зависит от отношения l/h размеров рамы. На рис. 5.16b представлен график функции D(t) при l/h < ρ. Он отвечает обратносимметричной форме потери устойчивости. Симметричной форме (l/h > ρ) соответствует кривая D(t), изображенная на рис. 5.16c. В обоих случаях критическое значение tкр параметра нагрузки легко обнаруживается. Но по мере приближения числа l/h к величине ρ сближаются и корни tкр и t характеристического уравнения задачи, а при l/h = ρ они совпадут. На графике зависимости D(t) случаю совпадающих (кратных) корней отвечает точка касания линии D(t) с осью абсцисс (рис. 5.16d). Найти эту точку при численном решении уравнения (5.2) непросто. Сделать это можно при условии, что о возможности существования кратных корней известно заранее. Вот почему численное решение любого характеристического уравнения задачи устойчивости надо начинать с отыскания границ его наименьшего корня. Кроме того, если состояние системы можно разбить на симметричную и обратносимметричную компоненты, это обязательно надо делать: не столько ради понижения порядка определителей в уравнениях (5.2) и (5.8), сколько с целью уменьшения вероятности натолкнуться на кратные корни.

Кратные корни чаще встречаются в задачах устойчивости пространственных конструкций. На рис. 5.17 изображен стержень, закрепленный по торцам при помощи цилиндрических шарниров, которые ограничивают любые перемещения, кроме поворота относительно оси 0z. Критической является меньшая из сил:

Ясно, что P y−y ≤ P z−z, если

4b3h/12 ≤ bh3/12,

т. е. b ≤h/2. Если же b = h/2, то характеристическое уравнение задачи имеет кратные корни.

5.5. Учет осевой пролетной нагрузки. Конструкции из непризматических стержней. Пусть брус имеет переменное поперечное сечение (другими словами, пусть EI = EI(x)) и, кроме торцевой силы P , несет распределенную осевую нагрузку q(x). Верхняя отсеченная часть такого стержня

В случае q = const это выражение можно упростить, используя интегрирование по частям:

q(u − u(ξ))dξ = q u dξ − u(ξ)dξ =

При EI = const уравнение (5.14) может быть проинтегрировано в Бесселевых функциях или рядах. Во всех остальных случаях (и тем более при q = q(x)) задача может быть решена только численно.

Если q = 0, то уравнение упрощается:

Однако и теперь представить его решение в квадратурах удается лишь в частных случаях. Например, для стойки, изгибная жесткость которой меняется по закону (рис. 5.19)

уравнение (5.14a) имеет аналитическое решение:

в чем можно убедиться, подставив выражение (5.16) в равенство (5.14a). В общем же случае задача на собственные значения уравнения (5.14a), так же, как и уравнения (5.14), решается численно. То же самое можно сказать и о задаче устойчивости стержней с криволинейной осью. Но если это так, то имеет смысл с самого начала изменить постановку задачи, перейдя к конечно-элементной расчетной схеме (рис. 5.20).

Ответ на вопрос, каким должно быть число призматических элементов, заменяющих непризматический стержень, дает расчетная практика. Подобный вопрос уже обсуждался в п. V.4.5. Приведенные там рекомендации распространяются и на задачи устойчивости: обычно 5–6 призматических элементов достаточно, чтобы при замене ими непризматического стержня не выйти за пределы 5-процентной погрешности. В какой-то мере это подтверждает и приводимый ниже пример.

Стойка, изображенная на рис. 5.19, разбивается по высоте на три участка постоянной жесткости (рис. 5.21) таким образом, что

Множители при величине EI0 подобраны так, чтобы площади эпюр жесткостей EIi(x) для ступенчатой стойки и исходного стержня (см. формулу (5.15)) на каждом участке разбиения сов-

и задача о критической силе ступенчатого бруса может быть решена методом перемещений. В конечном счете дело сводится (выкладки опускаются) к поиску наименьшего корня характеристического уравнения

где ϕ1 = −20(α+β)2 +13α3. Численное решение дает tкр = 2, 3522 и

Pкр = 5, 533 EIl20 ,

что на 7,8% меньше точного результата (5.16)2. Погрешность не так уж и мала, но ведь и брус разбивался по высоте всего на три участка. Кроме того, при оценке устойчивости стержня по формуле (4.10b) нужно знать величинуPкр, а относительная погрешность последней будет примерно в два раза меньше, чем у самой критической силы.

ГЛАВА 6. НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ ЗАДАЧИ

6.1. Пространственная форма потери устойчивости гибких стержней. Тонкая полоса, защемленная с одной стороны и загруженная на свободном конце сжимающей силой, может потерять устойчивость не только из-за выпучивания в направлении, ортогональном плоскости наибольшей жесткости (рис. 6.1a), но и в результате закручивания относительно своей оси (рис. 6.1b). Критической будет меньшая из сил Pкр и Pкр. Найти эти величины можно, если рассмотреть систему двух не связанных между собой дифференциальных уравнений, описывающих деформации изгиба и кручения полосы. Более сложно решается задача устойчивости сжатого стержня, который имеет тонкостенное поперечное сечение в форме уголка, ибо такой брус имеет возможность изгибаться в двух плоскостях и закручиваться.

В этом случае три дифференциальных уравнения, описывающих состояние стержня, должны решаться совместно.

Другой тип пространственной потери устойчивости демонстрируется на рис. 6.1c. Речь идет о потере устойчивости плоской формы изгиба бруса. При некотором значении q = qкр интенсивности нагрузки ось стержня может выйти из плоскости загружения и поперечное сечение повернется относительно этой оси. Величину qкр находят, опираясь на дифференциальное уравнение изгиба и кручения тонкостенных стержней открытого профиля.

Приведенных примеров достаточно для понимания того, что проблема исследования пространственных форм потери устойчивости актуальна, главным образом, для тонкостенных стержней открытого профиля, и как бы она ни была сложна, ее придется решать в тех редких для строительных конструкций случаях, когда брус не закреплен должным образом от закручивания и выпучивания из плоскости нагружения. Обычно же тонкостенные стержни применяются в таких конструкциях, где между стержневыми элементами имеются связи (стеновые панели или панели перекрытия, распорки, растяжки и т. п.), делающие невозможным переход к пространственной форме деформирования. Вот почему в настоящем пособии задачи, о которых только что шла речь, не изучаются.