Основы механики твердого деформируемого тела

ГЛАВА 5. МНОГОСТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ

5.1. Введение. Итак, анализ работоспособности сжатых стержней сводится к проверкам их прочности и устойчивости по формулам (4.10), а для того, чтобы вычисления по второй из этих формул были возможны, необходимо знать коэффициент µj приведенной длины рассматриваемого элемента. И в самом деле, множитель ϕ в соотношении (4.10b) зависит от гибкости λj стержня, а последнюю, согласно равенству (4.1), можно установить только тогда, когда известна величина µj . Эта величина определяется формулой (3.12), в которую входит сила Niкр(Pкр), так что становится совершенно очевидной необходимость отыскания критической нагрузки на рассматриваемую конструкцию в целом.

Если в зависимостях (3.1) и (3.5) модуль упругости E заменить на касательный модуль Et или приведенный модуль Er, то критическая сила для каждого из стержней, представленных в таблице 3.1, уменьшится, но коэффициенты их приведенных длин останутся прежними. Это означает, что величины (3.12) можно найти по критической силе, определенной на упругой стадии деформирования конструкции, а затем применить полученные результаты и при пластической работе материала.

5.2. Использование метода перемещений. При определении критической нагрузки на линейно деформируемую многостержневую конструкцию метод перемещений применяется наиболее часто. Пусть конструкция загружена так, что в исходном состоянии ее элементы испытывают только осевую деформацию (рис. 5.1a). Данная модель системы используется при расчете рам, воспринимающих вертикальную нагрузку. Последняя сводится в узлы точно так же, как и любое силовое воздействие на ферму. При смещении наложенных связей (рис. 5.1b, c) силы kiP порождают дополнительные изгибающие моменты в тех стержнях, которые искривляются при воздействиях Zj = 1. Например, к изгибающему моменту M 1, который возникает в стойке AB только от воздействия Z1 = 1, добавится усилие k1P u(x), так что в конечном счете в этой стойке появится дополнительный изгибающий момент k1P u(x)Z1. Таким образом, мера влияния узловых сил на напряженнодеформированное состояние конструкции определяется величиной перемещений ее узлов, а потому эти силы должны быть отнесены к единичным (а не к грузовому) состояниям основной системы. Но тогда M0 ≡0 и все свобод-

ные члены Ri0 канонических уравнений метода перемещений обращаются в

нуль:

n

k=1

Единичные реакции rik находят статическим способом по эпюрам ”Mk”, которые строят в основной системе при помощи стандартных табличных решений (см. таблицу 5.1 на с. 693), получаемых при помощи формул (3.5) или (3.5a). Пусть, например, верхний защемленный торец сжатого стержня, изображенного на рис. 5.2, поворачивается на угол, равный единице. Так как u0 = 0, u0 = 1, то первые две из формул (3.5) принимают вид:

С учетом условий закрепления второго конца стержня отсюда следует:

Из этих двух неоднородных уравнений находят константы M0 и V0, после чего для определения усилий в любом сечении стержня останется воспользоваться двумя последними равенствами из соотношений (3.5). Результаты такого рода решений для стержней двух типов приведены в таблице 5.1. Совершенно аналогично, но уже при помощи формул (3.5a), получают усилия в растянуто-изогнутых стержнях.

силой Pj = kj P , будет (см. табл. 5.1)

t2j = kj P lj2/EIj .

При P = Pкр эта формула дает

t2j EIj kj Pкр = lj2 .

С другой стороны, для отдельного стержня (формула (3.10))

kj Pкр = π2EIj .

Из сравнения двух последних зависимостей следует, что

µj = π/tj .

Ничего, кроме примеров, больше не требуется.

На рис. 5.3a изображена стойка, критическая нагрузка на которую была найдена в п. 3.4. Рядом, т. е. на рис. 5.3b, приведены основная система метода перемещений и эпюра усилия M1. При ее построении использовалась таблица 5.1, согласно которой

то равенство (5.3) сводится к уравнению (3.16a), а потому решение задачи будет таким же, что было получено еще в п. 3.4.

Следующий пример. На рис. 5.4a изображена портальная рама, находящаяся под воздействием равномерно распределенной нагрузки. Последняя сводится к узловым силам так, как это показано на рис. 5.4b. Портальная рама с вертикальными узловыми силами теряет устойчивость по обратно симметричной форме. И в самом деле, критическая нагрузка на раму будет тем больше, чем выше погонная жесткость ригеля. При kEI/l →∞ эта сила максимальна и в случае обратносимметричной формы потери устойчивости она будет такой же, как и для стойки, имеющей с одной стороны неподвижное защемление и подвижную заделку с другой. Критическая сила для такой стойки известна (см. рис. 5.5a). При нулевой изгибной жесткости ригеля критическая сила рамы минимальна. Если форма потери устойчивости симметрична, то эта сила совпадает с той, что имеет стержень, показанный на рис. 5.5b. Но тогда

что и доказывает сделанное выше утверждение об обратной симметрии формы потери устойчивости рассматриваемой рамы.

Из сказанного следует, что основную систему необходимо назначить так, чтобы она отвечала обратносимметричной форме потери устойчивости (рис. 5.4c). Эпюры ”M1” и ”M2” строятся при

помощи таблицы 5.1. По ним обычным для метода перемещений образом определяются реакции

(η = kh/l)

r11 = 2(α1 + 3η), r12 = 2(α + β)1/h, r22 = 2γ1/h2,

после чего записывается условие (5.2), которое элементарными преобразованиями приводится к виду:

N (1), N (2), . . . , N (C) (C – число стержней). Очевидно,

N (j) = N (j)P,

где P – параметр нагрузки, N (j) – значение продольной силы в стержне j от

силы P = 1. После того, как числа N (j) будут найдены, вычисления ведутся обычным образом.

Найти продольные силы в раме, изображенной на рис. 5.4a, проще всего методом перемещений (одно неизвестное, если учитывать симметрию конструкции). Результаты расчета представлены на рис. 5.7a. Расчетная схема (см. рис. 5.7b) для решения задачи устойчивости определяется эпюрой продольных сил, при этом

При обратносимметричной форме потери устойчивости основная система и эпюры усилий M1 и M2 остаются такими же, что и в предыдущем примере (рис. 5.4c), но только теперь значение изгибающего момента на левом конце ригеля при смещении Z1 = 1 будет равно числу 2ηα2, а не 6η. Это приводит к иному значению реакции r11:

Величины γ1, α1 и (α + β)1 по-прежнему определяются формулами (5.5), но,

Однако самое существенное отличие между системами, помещенными на рис. 5.4b и 5.7b, заключается в том, что первая из них всегда теряет устойчивость по обратносимметричной форме, а вторая в зависимости от отношения размеров h и l имеет обратносимметричную либо симметричную форму потери устойчивости. Стало быть, при анализе устойчивости портальной рамы со всеми тремя сжатыми элементами ограничиваться изучением лишь

ееобратносимметричного деформированного состояния нельзя.

Всимметричной задаче (nпер = 1) условие r11 = 0 существования невырожденного решения (рис. 5.8) принимает вид:

Уравнения (5.4a) и (5.6) решаются численно. Результаты решения при k = 1 и трех различных отношениях h/l приведены в таблице 5.3 (см. также табл. 5.2). Критические

значения tкр = h Pкр/EI параметра t в таблице 5.3 набраны жирным шрифтом, а значения t, отвечающие неустойчивым (нереализуемым) отклоненным формам равновесия системы, заключены в скобки. В третьей строке снизу указана разница ∆ между критическими силами, найденными с учетом и без учета (т. е. при k2 = 0) сжатия ригеля. Из таблицы видно, что только от исходных данных зависит, будут ли вычисления при k2 = 0 и k2 = 0 приводить к практически одинаковым результатам (случай η = 1), к весьма далеким результатам (в случае η = 1/4) или даже к результатам, не имеющим между собой ничего общего, как при η = 1/8, когда различны даже формы потери устойчивости.

Следует также обратить внимание на характер изменения коэффициентов приведенной длины элементов рамы (2 последние строки табл. 5.3), вычисляемых по формуле (3.12). С ростом отношения l/h величина µ2 уменьшается, что говорит о повышении жесткости закрепления ригеля. Так оно и есть на самом деле, ибо ригель представляет собой упругозащемленный по торцам стержень, причем роль упругих заделок берут на себя стойки. Жесткость этих заделок тем больше, чем больше отношение длины l ригеля к высоте h стоек. Однако гибкость λ = µ2l/r ригеля для всех трех помещенных в таблице 5.3 конструкций одинакова, так как уменьшение числа µ с ростом величины l/h компенсируется увеличением размера l. Понижением погонной жесткости ригеля с возрастанием величины l/h, а значит, и

уменьшением его (ригеля) влияния на деформируемость стоек, объясняется увеличение с ростом l/h коэффициента µ1.

5.3. Использование метода сил. Этот метод при решении задач устойчивости применяют редко, но познакомиться с методом сил имеет смысл по двум причинам. Во-первых, надо понять, чем объясняется сравнительно малая его популярность. Во-вторых, на его основе проще обсудить некоторые особенности, которые могут встретиться при исследовании критических состояний многостержневых конструкций.

Как и при расчете методом перемещений, предварительно находят продольные силы во всех стержнях, после чего пролетную нагрузку отбрасывают (рис. 5.9a). Затем выбирается основная система метода сил. Делается это так, чтобы основная система в исходном состоянии под действием только осевых сил kj P не изгибалась (рис. 5.9b). Если же грузовое состояние основной системы безмоментно, то свободные члены канонических уравнений