Основы механики твердого деформируемого тела

Ясно, что вычислять критические напряжения по формуле (4.2) можно только до тех пор, пока эти напряжения меньше предела пропорциональности: σкр ≤ σпц. В противном случае не будет оснований для использования в указанной формуле модуля упругости E. Ограничение π2E/λ2 ≤ σпц можно записать как неравенство λ ≥λпр, где

так называемая предельная гибкость стержня – своя для каждого материала. В частности, для мягкой малоуглеродистой стали E = 2, 1 · 106 кГ/см2, σпц = = 1900 кГ/см2 и

λпр = π 2100000/1900 ≈ 110. (4.3a)

Гибкости стержней металлических конструкций обычно не удовлетворяют условию λ ≥ λпр: они находятся в пределах от 40 до 80 единиц. Поэтому формулы (3.10) и (4.2) требуют замены на такие, которые учитывали бы переход материала в пластическую стадию деформирования при P → Pкр.

Первая попытка учесть отмеченное выше обстоятельство была предпринята немецким исследователем Ф. Энгессером еще в 1889 г. Он предложил для определения критических силы и напряжения использовать те же зависимости (3.10) и (4.2), но заменить в них модуль упругости E на

касательный модуль Et:

Определяемые этими формулами величины Pкрt и σкрt получили название касательно-модульных критической силы и критических напряжений соответственно.

Суть предложения Энгессера объясняет рис. 4.1. На нем изображена часть диаграммы "σ – ε" сжатия образ-

ца из пластического материала. В точке A, отвечающей на диаграмме напряжению σкрt , проведена касательная, тангенс угла наклона которой трактуется как некий модуль упругости, характеризующий процесс деформирования материала при указанном выше напряжении. Другими словами, модуль Et является функцией критических напряжений. Вид этой функции определяется той кривой, которая используется для аппроксимации участка диаграммы "σ – ε", расположенного выше точки B. Часто связь между касательным модулем и критическими напряжениями принимают параболической (через σт обозначен предел текучести):

что вполне приемлемо для мягких сталей. После подстановки модуля (4.5) во вторую из формул (4.4) получится квадратное уравнение относительно напряжения σкрt , которое при известных материале и гибкости λ стержня решается без труда.

На первый взгляд, предложение Энгессера вполне приемлемо. Просто события с участка OB диаграммы "σ – ε" перемещаются на ее дальнейшую часть, а там появляется уже другой модуль деформирования. Так оно и было бы, если бы речь шла об упругом, пусть даже и нелинейно, материале. Но на участке BA и далее материал ведет себя неупруго, а потому его разгрузка из точки A идет не по кривой AB, а по прямой AB (см. штриховую линию на рис. 4.1). Поэтому при выпучивании стержня те волокна, которые разгружаются, деформируются с модулем E, а не Et, чего формулы (4.4) не учитывают. На это обстоятельство внимание Энгессера обратил известный специалист в области строительной механики Ф. С. Ясинский (1894 г.). Энгессер немедленно отозвался на критику Ясинского и предложил иную концепцию деформирования сжато-изогнутого стержня в пластической стадии. Через 14 лет независимо от Энгессера с такой же концепцией выступил видный немецкий теоретик и экспериментатор Т. Карман. Теперь она известна как приведенно-модульная теория Энгессера – Кармана. Суть теории может быть изложена на примере деформирования стержня прямоугольного

поперечного сечения.

Предполагается, что в момент времени, предшествующий потере устойчивости, стержень находится в пластическом состоянии с равномерно распределенными по поперечному сечению напряжениями σ (рис. 4.2a). При выпучивании бруса к напряжениям сжатия добавляются напряжения изгиба. Там, где изгиб порождает сжимающие напряжения (на рис. 4.2b – в нижней части стержня), материал догружается, а потому его поведение характеризуется модулем Et. Там же, где изгиб приводит к растяжению волокон (верхняя часть бруса на рис. 4.2b), происходит разгрузка материала с модулем E.

Согласно гипотезе плоских сечений,

где ρ – радиус кривизны изогнутой оси стержня, поэтому исходные напряжения со стороны нижних и верхних волокон изменятся соответственно на величины Eth2/ρ и Eh1/ρ. Через h1 и h2 обозначены расстояния от крайних волокон прямоугольного поперечного стержня до оси, являющейся нейтральной при изгибе. Из сказанного следует, что полная эпюра нормальных напряжений в сечении стержня в конечном счете оказывается кусочнолинейной. Условие равенства нулю суммы сжимающих и растягивающих сил, порождающих изгибающий момент в поперечном сечении стержня при его выпучивании, дает

Кроме того, h1 +h2 = h, поэтому

так называемый приведенный модуль Энгессера – Кармана. Таким образом,

1/ρ = M/ErI.

Полученная зависимость между изменением кривизны оси бруса и изгибающим моментом имеет точно такой же вид, что и при линейной упругости, только вместо обычного модуля E в ней присутствует приведенный модуль. Это означает, что для определения критических силы и напряжения могут быть использованы формулы:

Величины Pкрr и σкрr называют приведенно-модульной критической силой и приведенно-модульным критическим напряжением соответственно.

4.2. Сопоставление теоретических результатов с экспериментальными данными. Оценка устойчивости сжатых стержней. Казалось бы, что формулу (4.7)2 можно непосредственно использовать для определения критических напряжений, после чего осталось бы только сравнить их с допускаемыми напряжениями. Однако не все так просто. Ведь не стал бы Ясинский сомневаться в касательно-модульной теории, если последняя согласовывалась бы с экспериментами. Экспериментальной проверке необходимо было подвергнуть и приведенно-модульную теорию.

При испытании стержней на устойчивость исследуется зависимость критических напряжений σкр от гибкости λ. Характер этой зависимости представлен на рис. 4.3. Кривая 1 (так называемая гипербола Эйлера) построена по формуле (4.2), отвечающей упругой стадии деформирования материала. Кривые 2 и 3 соответствуют касательно-модульной и приведенно-модульной теориям. Они (кривые) получены по формулам (4.4)2 и (4.7)2 с учетом зависимостей (4.5) и (4.6). Формула (4.6) справедлива лишь для прямоугольного сечения, но форма поперечных сечений массивных стержней, как показывают вычисления, здесь опускаемые, мало влияет на приведенный модуль. Кружками на рис. 4.3 показаны экспериментальные точки. При λ > λпр эти точки хорошо укладываются на гиперболу Эйлера, тогда как при λ < λпр в расположении экспериментальных точек наблюдается значительный разброс (см. рис. 4.3a), поэтому отдать предпочтение какой-либо одной из сопоставляемых теорий затруднительно.

Хаотическая картина в результатах испытаний при малых значениях λ объясняется в том числе и сложностью постановки опытов на устойчивость. Критическую силу находят по тому моменту времени, когда начинается резкое выпучивание стойки. На выпучивание же влияют многие случайные обстоятельства и прежде всего – так называемые начальные несовершенства: неоднородность материала и размеров сечений, начальная кривизна оси стержня, эксцентриситеты при его закреплении в захватах испытательной машины и т. п. Невозможно устранить и динамические эффекты при наращивании нагрузки. Но по мере того, как оттачивалась техника экспе-

риментов, становилось ясно, что они все же скорее свидетельствуют в пользу касательно-модульной теории, нежели приведенно-модульной (рис. 4.3b). Правда, это свидетельство какое-то нерешительное. Да, при λ < λпр экспериментальные точки действительно находятся гораздо ближе к кривой 2, чем к линии 3, но все они лежат выше этой кривой, вместо того, чтобы равномерно распределяться по обе стороны от нее. А ведь только равномерное распределение экспериментальных точек относительно теоретической кривой (см. на рис. 4.3 участок диаграммы при λ > λпр) говорит о том, что теория верно описывает исследуемое явление. Так что пришлось признать, что обе теории механизм потери устойчивости за пределами упругости не описывают, и оставалось надеяться лишь на то, что со временем исследователи сумеют разобраться в проблеме. И действительно, в 1946 году американский ученый Ф. Шенли выдвинул концепцию продолжающегося нагружения (см. следующий пункт), которая помогла расставить все точки над i. Но в начале XX века ждать, пока теоретическое решение задачи будет найдено, было нельзя. Металлические конструкции входили в строительную практику столь стремительно, и столь частыми стали их аварии из-за потери устойчивости, что ответ на вопрос о том, как должны проектироваться сжатые элементы сооружений, требовалось получить немедленно. И такой ответ был найден, в чем немалая заслуга Ф. С. Ясинского.

Короткие стержни с развитым сечением устойчивости не теряют. Они утрачивают работоспособность из-за разрушения материала. Такое поведение сжимаемых стержней, выполненных из мягкой строительной стали, наблюдается при λ0 < 40 ÷ 60. Поэтому Ясинский предложил в указанном диапазоне гибкостей считать, что критическое напряжение равно пределу текучести: σкр = σт (см. участок CA диаграммы, изображенной на рис. 4.4). В точке B(λпр, σпц) и за ней зависимость σкр(λ) описывается гиперболой Эйлера. Между точками A и B на графике функции σкр(λ) проводится прямая линия. Таким образом,

График именно этих напряжений и представлен на рис. 4.4. Аппроксимация экспериментальной зависимости σкр(λ) ломаной CAB приводит к погрешности, не превосходящей 5%.

Теперь уже действительно можно поставить вопрос об оценке прочности и устойчивости сжатых элементов конструкций. Прочность оценивается самым обычным образом:

где k – коэффициент запаса, Fнетто – площадь поперечного сечения бруса, вычис-

ляемая в наиболее ослабленном (например, отверстиями для болтов) сечении. Кроме того, по правилу

оценивается устойчивость сжатого элемента. В формуле (4.9) через Fбрутто обозначена площадь рядовых поперечных сечений бруса. Правомерность использования этой величины (а не площади Fнетто) при оценке устойчивости стержня очевидна: локальное ослабление бруса не может заметно сказаться на такой интегральной характеристике его работоспособности, как критическая сила.

Через kуст в формуле (4.9) обозначен коэффициент запаса по устойчивости. Его величина ставится в зависимость от гибкости элемента: чем выше гибкость, тем большим´ должен быть этот коэффициент. Так, при λ = 60

принимается kуст = k, при λ = 200 – kуст = 2k. Между этими крайними значениями зависимость kуст(λ) аппроксимируется квадратной параболой.

Из соотношений (4.8) и (4.9) следует:

Так как σкр ≤ σт, k ≤ kуст, то ϕ ≤ 1. Поэтому число ϕ называют коэффициентом уменьшения допускаемых напряжений при продольном изгибе.

Значения ϕ(λ) занесены в таблицы, составленные для различных конструкционных материалов. Такие таблицы приводятся в справочной и учебной литературе по сопротивлению материалов и строительным конструкциям.

Если поперечные сечения ослаблений не имеют, то выполняется лишь проверка (4.10b).

4.3. Концепция продолжающегося нагружения. Формулы (4.10), подкрепленные таблицами значений ϕ(λ) для самых разных материалов, проблему прочности и устойчивости сжато-изогнутых стержней решают полностью. Это устраивало инженеров-практиков, но никак не исследователей, которых продолжало беспокоить отсутствие удовлетворительного объяснения того, что происходит при потере устойчивости элементов конструкций за пределами упругости. Как уже говорилось, такое объяснение дал Ф. Шенли (в 1946 году). Ниже результаты исследований Шенли приводятся конспективно. Ничего иного в рамках настоящего курса сделать нельзя.

Итак, пусть напряжения в сжатом стержне превзошли предел упругости, но уровня касательно-модульных критических напряжений еще не достигли. Если в целях проверки устойчивости системы отклонить стержень из начального положения равновесия, прервав его нагружение, а затем возмущение устранить, то система в исходное состояние не вернется (несмотря на то, что P < Pкрt ), ибо пластические деформации необратимы. Стало быть, классические способы оценки устойчивости систем в данном случае неприемлемы. А какие же приемлемы? Ответ на этот вопрос и дает теория Шенли, известная также под названием концепции продолжающегося нагружения. Согласно данной концепции, изучению подлежит именно тот процесс, который реализуется во всех экспериментах на устойчивость. В ходе испытаний нагрузка наращивается непрерывно и никаким пробным отклонениям из начального состояния равновесия образец не подвергается. Да в этом и нет необходимости – с ролью пробных возмущений успешно справляются начальные несовершенства системы. Наконец, наступает момент, когда образец начинает быстро выпучиваться. Отвечающая этому моменту времени нагрузка является критической. Отсюда и следует логика концепции продолжающегося нагружения: для того чтобы узнать, устойчива система или нет, ее надо отклонить из положения, отвечающего некоторому значению силы P , а затем продолжить наращивание сжимающей силы. Если при малом увеличении силы P и перемещения возрастают на малую величину (а тем более, если они вообще не меняются или даже уменьшаются), то система устойчива. Если же незначительное увеличение силы приводит к стремительному росту перемещений, – система неустойчива.

Подробный анализ поведения упругопластического стержня при сжатии, проведенный по описанной выше схеме, привел к следующему результату. При P < Pкрt исходная равновесная форма u = 0 оси бруса устойчива, а при малом возмущении δu этой формы и одновременном увеличении силы P не только не происходит дальнейшего возрастания перемещения u после снятия возмущения, но искривленная ось бруса даже выпрямляется. Это любопытное явление можно объяснить при помощи рис. 4.5 и следующих рассуждений.

Если сжатую силой P0 < Pкрt стойку, находящуюся в стадии пластического деформирования, отклонить при помощи горизонтальной силы T , то левые волокна бруса разгрузятся (рис. 4.5b). Но разгрузки могло бы и не произойти, если одновременно с боковым воздействием соответствующим образом увеличить силу P0 (рис. 4.5c). Если теперь начальное возмущение снять (рис. 4.5d), то брус несколько выпрямится, а его правые волокна разгрузятся. Материал в этой части бруса подвергнется наклепу, и его жесткость на сжатие увеличится. При дальнейшем наращивании силы P левые волокна, где наклепа не было, будут укорачиваться быстрее (εлев = σ/Et) правых (εпр = σ/E), что и приводит к полному выпрямлению стержня.

Если сила P превышает значение касательно-модульной критической силы, то прямолинейная форма равновесия стержня перестает быть устойчивой, а устойчивым становится отклоненное положение равновесия системы. Это проявляется в том, что малое наращивание нагрузки вызывает столь же малое изменение в положении отклоненной системы. Чем ближе сила P к величине приведенно-модульной критической силы Pкрr , тем далее устойчивое отклоненное положение равновесия системы отходит от уже переставшим быть устойчивым состояния u = 0. При P = Pкрr перемещения системы неограниченно возрастают и любые устойчивые формы равновесия системы становятся невозможными.

График зависимости P (u) в случае, когда система была возмущена при P = Pкрt , представлен на рис. 4.6 кривой AE. Если же при P = Pкрt си-

стему из исходного прямолинейного состояния не выводить, а сделать это только после того, как сила достигнет некоторого значения P из интервала [Pкрt , Pкрr ] (см. точку B на рис. 4.6), то характерного для упруго деформируемых систем перескока с неустойчивой ветви

AC на устойчивый участок AE диаграммы, т. е. в точку D, не будет. Сила P и перемещение u связаны между собой зависимостью, которая отображается на диаграмме "P –u" линией BE. Любая точка этой линии при P < Pкрr отвечает устойчивому отклоненному положению равновесия системы, т. е. система ведет себя точно так же, как и при возмущении из положения A. При P > Pкрr устойчивых равновесных форм нет.

Сказанным выше и объясняется разброс экспериментальных точек, которые на рис. 4.3 изображены кружками. Ведь момент отклонения системы от исходного положения равновесия определяется уровнем начальных несовершенств, специфическим для каждого образца, поэтому в роли критической может оказаться любая сила из интервала [Pкрt , Pкрr ]. Таким образом, приведенно-модульная критическая сила есть не что иное, как верхняя граница множества критических нагрузок на упругопластическую систему, а касательно-модульная сила – нижняя граница указанного множества. Систем без начальных несовершенств не бывает, и те дают о себе знать почти сразу же после того, как сила P превзойдет величину Pкрt . Поэтому касательно-модульную силу и следует трактовать как критическую нагрузку на стержень, т. е. как нагрузку, превышать которую небезопасно.

Вот таким неожиданным образом (представ, правда, совсем в ином качестве) напомнила о себе 50 лет спустя некогда отвергнутая самим же ее автором концепция касательно-модульной критической силы.

4.4. О начальных несовершенствах. Как было показано выше, начальные несовершенства существенно влияют на поведение сжатого стержня за пределами упругости. Конечно, тот факт, что каждой силе P из интервала [Pкрt , Pкрr ] отвечает не одна, а сколь угодно много

устойчивых отклоненных форм равновесия системы (см., например, точки A1, D, A2 на рис. 4.7), а каждая такая форма u , в свою очередь, может поддерживаться любой силой из указанного выше интервала (точки B1, D, B2 на этом же рисунке), определяется свойствами материала, а не начальными несовершенствами. Но только от таковых зависит, какое именно состояние из неограниченного множества возможных состояний реализуется в конкретном эксперименте.