Основы механики твердого деформируемого тела

Чтобы получить решение для растянуто-изогнутого стержня, достаточно сменить знак у силы P . В этом случае уравнение (3.2) примет вид

uIV − p2u = 0,

а его решение выразится теперь через гиперболические функции:

u = C1 + C2x + C3sh px + C4ch px.

Изменится знак и в равенстве (3.4):

Q0 = V0 − P u0.

Все последующие действия остаются прежними. Они приводят к такому результату:

Формулы (3.5) и (3.5a) позволяют по заданным силе P и условиям закрепления стержня указать перемещения и усилия в любом его поперечном сечении. Кроме того, при помощи зависимостей (3.5) находят критическую нагрузку на гибкий стержень. О том, как это делает-

ся, рассказывается в следующем пункте.

3.2. Критическое состояние гибкого стержня.

Требуется найти критическое значение силы P для стержня, изображенного на рис. 3.2a, и указать для него отклоненное положение равновесия, смежное с исходным (т. е. определить форму потери устойчивости). Одна из возможных искривленных конфигураций оси стойки показана на рис. 3.2b. При выбранной системе координат u0 = M0 = 0, т. е. из четырех на-

чальных параметров, определяющих состояние (3.5) бруса, неизвестными остаются лишь угол u0 поворота начального торца стойки и опорная реакция V0. Эти величины должны быть подчинены условиям закрепления стойки на нижнем конце:

1) u(l) = 0, 2) u (l) = 0.

Величина A = V0l/p2EI sin pl остается неопределенной, чего и следовало ожидать при решении линеаризованной задачи устойчивости.

Если бы стойка была загружена растягивающей силой, то уравнение (3.7) выглядело бы иначе: pl = th pl. Это уравнение (рис. 3.4) имеет единственный корень pl = 0, лишенный физического смысла. Таким образом, и чисто формально подтверждается интуитивно ясное положение о невозможности потери устойчивости стержней при растяжении.

Таблица 3.1

Результаты (3.8) и (3.9) получил Леонард Эйлер. Им же исследована устойчивость сжатой стойки и при других закреплениях концов (в частности, установлена критическая сила (1.20)). Некоторые решения Эйлера приведены в таблице 3.1. При записи формы потери устойчивости (см. последнюю строку таблицы и формулу (3.9)) неопределенный множитель A отброшен. Из таблицы видно, что для критической силы отдельного стержня может быть предложена единая формула

где µ – так называемый коэффициент приведенной длины стержня, при помощи которого учитывается способ закрепления бруса по концам. Размер

lпр = µl называют приведенной длиной стержня. Такое название объясняется тем, что формула (3.10), по существу, сопоставляет критическую силу для произвольного стержня с критической нагрузкой на шарнирно опертую стойку той же длины l.

3.3. К оценке надежности конструкции, которая может потерять устойчивость. Задача об

устойчивости состояния отдельного бруса решена и тем самым открыт путь к исследованию критических состояний многостержневых конструкций. Но сначала следует задуматься над тем, что надо рассматривать как результат такого исследования. С изолированным стержнем все ясно: чтобы судить о его работоспособности, достаточно сравнить заданную нагрузку P с ее критическим значением (3.10) и, если P < Pкр, сделать вывод о том, что рассматриваемый стержень устойчивости не потеряет. Правда, как и при любых иных оценках, придется позаботиться о том, чтобы какие-либо случайные факторы не привели бы к потере работоспособности элемента. С этой целью в оценочную формулу вводится коэффициент запаса kуст > 1:

Но это уже детали, пусть и весьма важные (настолько, что для их рассмотрения отведена вся следующая глава), которые имеют лишь косвенное отношение к проблеме, затрагиваемой здесь.

Для оценки работоспособности сжатых элементов многостержневых конструкций используется формула

где i – номер стержня, Ni – продольная сила в нем, а Niкр – критическое значение данной продольной силы. Последнюю можно найти только по критическому значению Pкр параметра нагружения системы в целом. В определении величины Pкр и состоит прежде всего расчет на устойчивость сложных конструкций. Затем во всех стержнях конструкции вычисляются продольные силы Niкр, которые подставляются в формулу (3.10) вместо силы P . Полученные таким образом соотношения разрешают относительно коэффициентов приведенной длины сжатых элементов конструкции:

О том, как отыскиваются величины Niкр и как используется формула (3.12) для оценки устойчивости многостержневой конструкции, рассказывается в

главе 5. Но до этого следует обсудить предложенную задачу для систем с небольшим числом стержневых элементов.

3.4. Устойчивость ступенчатого стержня. Если стержень состоит из двух элементов, оси которых расположены на одной линии, то для определения критической нагрузки можно опереться непосредственно на формулы (3.5). На рис. 3.5a изображен ступенчатый брус, состоящий из двух призматических участков различной изгибной жесткости. Значения параметра (3.1) для этих участков таковы:

Так как величины p1, p2 различны, формулы (3.5) записываются для элементов AD, DB отдельно. Состояние системы в целом характеризуется 8 параметрами (i=1, 2): u0i, u0i, M0i, V0i. Некоторые из них будут равны нулю, остальные нужно подчинить условиям сопряжения участков в точке D. Какие именно параметры обратятся в нуль и какие ограничения накладываются на ненулевые параметры, зависит как от способа прикрепления стержня к земле, так и от выбора локальных систем координат. На рис. 3.5b и 3.5c показаны два варианта такого выбора. В обоих случаях начала отсчета находятся на одной вертикали, но если в варианте "b" оси 0u1 и 0u2 параллельны, то в варианте "c" они антипараллельны. При любом из вариантов набор нулевых начальных параметров одинаков: u01 = M01 = u02 = u02 = 0. Различие обнаруживается при записи условий сопряжения участков.

Если ориентация осей 0u1 и 0u2 совпадает (рис. 3.5b), то совпадают и знаки однонаправленных перемещений u1(x) и u2(x) на участках 1 и 2, а также знаки изменений кривизн осей этих участков (т. е. знаки изгибающих моментов). А вот углы наклона параллельных касательных к линиям u1(x) и u2(x) имеют разные знаки. Разными будут знаки и у однонаправленных поперечных сил

Q1(x) и Q2(x). И в самом деле, под однонаправленными обычно понимаются по-

перечные силы, которые одинаково (скажем, по часовой стрелке) вращают отделенную разрезом часть элемента. Но как видно по рис. 3.5b, на первом участке сила Q1, вращающая по часовой стрелке отсеченную часть стержня, параллельна координатной прямой 0u1, а на втором участке сила Q2 антипараллельна оси 0u2. При выборе же системы отсчета, согласно рис. 3.5c,

противоположные знаки имеют на участках 1 и 2 перемещения и изгибающие моменты, а одинаковые – углы поворота сечений бруса и поперечные силы. Таким образом, условия сопряжения перемещений и усилий в точке D имеют вид:

Эти условия, записанные с учетом формул (3.5), приводят к системе линейных однородных уравнений относительно ненулевых начальных параметров. Отклоненное состояние равновесия системы возможно, если определитель этой системы обращается в нуль:

det(p1, p2) = 0.

Остается найти наименьший корень данного уравнения и тем самым установить значение критической силы P .

Изложенный способ решения задачи применим и тогда, когда стержень имеет постоянное поперечное сечение, а на участки его разбивает промежуточный шарнир или промежуточная опора (рис. 3.6). В этом случае (см. формулу (3.1))

и при системах отсчета, принятых согласно рис. 3.6b, условия сопряжения участков рас-

сматриваемого двухпролетного стержня имеют вид:

Следует обратить внимание на то, что в данной задаче |Q1(l1)| = |Q2(l2)|, ибо в сечении D приложена сила RD.

С помощью формул (3.5) указанные выше условия сопряжения участков записываются подробно:

а также отнести множитель 1/p2EI к силам V0i. После этого условие существования нетривиального решения системы (3.14) приводится к виду:

или (после раскрытия определителя и ряда опускаемых здесь упрощений)

Если l1 = l2 = l, то t1 = t2 ≡t и

D ≡ 2t2 sin t cos t − 2t sin 2t = 0.

Наименьший ненулевой корень этого уравнения t = π (т. е. sin t = 0). Из формул (3.13) и (3.15) в этом случае следует, что

Этот результат вытекает и из соображений симметрии: при равных длинах и одинаковых изгибных жесткостях каждый участок стержня, изображенного на рис. 3.6b, выпучится в результате потери устойчивости точно так же, как и отдельная шарнирно опертая стойка длиной l. А критическая сила последней как раз и дается формулой (3.17).

При l1 = l2 уравнение (3.16) требует численного решения. Для этого необходимо локализовать его наименьший положительный корень, т. е. указать нижнюю Pmin и верхнюю Pmax границы критической силы. Пусть, для

определенности, l2 > l1. Если бы оба участка имели одинаковую длину l, то при l = l1 формула (3.17) привела бы к результату Pкр(1) = π2EI/l12, а при l = l2 – к значению Pкр(2) = π2EI/l22. Из сказанного следует, что

т. е. критическую силу надо находить в интервале (см. также формулы (3.13) и (3.15)):

График функции D(t) в указанном интервале параметра t дан на рис. 3.7. Из него видно, что tкр = 1, 93, и в соответствии с формулой (3.19))

При числе участков более двух использовать формулы (3.5) для анализа устойчивости ступенчатого стержня нецелесообразно из-за громоздкости вычислений. Тем более такой подход неприменим при определении критической нагрузки и коэффициентов приведенных длин элементов многостержневых конструкций произвольного вида. В этих случаях задача решается на основе метода перемещений либо (что значительно реже) – на основе метода сил. Однако прежде, чем говорить о правилах использования названных методов, следует более детально, чем это было сделано в предыдущем пункте, разобрать проблему оценки работоспособности элементов конструкции, которым угрожает потеря устойчивости.

ГЛАВА 4. ОЦЕНКА ПРОЧНОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ СЖАТОГО ЭЛЕМЕНТА КОНСТРУКЦИИ

4.1. Касательно-модульная и приведенно-модульная концепции критического состояния стержня из пластического материала. Элементы стальных конструкций наиболее подвержены потере устойчивости, что вполне объяснимо. Ведь сталь – один из самых прочных строительных материалов, а потому металлические стержни имеют небольшие по сравнению с их длиной размеры поперечных сечений. Изгибная жесткость стержней с малоразвитыми сечениями невысока, что и приводит к их выпучиванию даже при сравнительно небольшой сжимающей нагрузке. Сказанное объясняет причину того, почему исследователи в области устойчивости конструкций так много внимания уделяют обеспечению надежной работы сжатых стержней, выполняемых из пластических материалов.

Напряжения, вызванные силой P = Pкр, называют критическими. Их можно найти по формуле (см. также равенство (3.10))

Pкр π2E I

σкр = F = (µl)2 F .

Так как I/F = r2 – квадрат радиуса инерции поперечного сечения, то при обозначении

Величина λ именуется гибкостью стержня. Чем больше эта величина, тем быстрее брус поддается выпучиванию при сжатии. Такое выпучивание и называют продольным изгибом. Чем длиннее брус и чем менее жестко он закреплен по концам (речь идет о коэффициенте µ), тем больше его гибкость. Наоборот, с развитием поперечного сечения, т. е. с увеличением величины r, гибкость стержня уменьшается.