Основы механики твердого деформируемого тела

также иметь в виду и то, что длина s дуги изогнутой оси стержня – величина сугубо положительная. Тогда

Интеграл в формуле (1.17b) является эллиптическим интегралом 1-го рода. Он представляет собой функцию двух переменных – аргумента ϕ и модуля m, обозначаемую через F (m, ϕ). Эта функция затабулирована. Если же ϕ = = π/2, то интеграл называют полным эллиптическим интегралом 1-го рода

и обозначают через F (m). Таким образом,

и решение (1.17b) уравнения (1.17a) записывается в компактной форме:

В середине стержня, т. е. в точке s = l/2, касательная к его оси вертикальна, а потому в этой точке ϕ = θ = 0, F (m, 0) = 0. Следовательно,

На рис. 1.10 приведен график зависимости F (m). При m = 0 интеграл F (m) имеет наименьшее значение: F (0) = = π/2. Из формулы (1.19a) в этом случае следует, что pl = π. Значит, при pl < π искривленные формы равновесия стержня не существуют, т. е. возможно лишь исходное (безизгибное) равновесное состояние системы. Из сказанного же с учетом формулы (1.14a)2 и равенства pl = π вытекает, что

При P > Pкр становится возможным и искривленное состояние равновесия стержня. Каждой из сил P > Pкр отвечает своя равновесная форма оси, устанавливаемая следующим образом. По заданной силе P с использованием таблиц полных эллиптических интегралов подбирают параметр m, обеспечивающий равенство (1.19a). Затем через этот параметр и аргумент

ϕ выражают декартовы координаты x и u произвольной точки изогнутой оси стержня. Так как (см. рис. 1.9c и формулы (1.17a), (1.18))

то

du = 2 sin 2θ cos 2θ ds = 2 sin 2θ · 1−sin 2 2θ ds = 2m sin ϕ · 1−m2 sin2 ϕ ds =

– обычный и полный эллиптические интегралы 2-го рода.

Формулы (1.21) дают параметрическое представление координат x и u точки изогнутой оси стержня. Эту ось строят по точкам, задаваясь значениями аргумента ϕ из интервала [0, π/2] и ставя им в соответствие пару чисел (1.21). На рис. 1.11 приведены несколько равновесных форм искривленного стержня, полученных при разных значениях силы P > Pкр. Их называют эластиками Эйлера. Даже при небольшом превышении силой P критического значения (1.20) отклонение линии u(x) от прямой u = 0 весьма заметно. С увеличением нагрузки перемещения u(x) быстро растут, чем и опасна нагрузка, превышающая критическую.

После построения кривых u(x) можно было бы приступить к анализу устойчивости соответствующих форм равновесия бруса. Однако выкладки, сопряженные с таким анализом, громоздки, а их результат практически очевиден: искривленные формы равновесия стержня при P > Pкр устойчивы, тогда как исходная прямолинейная форма равновесия бруса устойчивостью при P > Pкр не обладает. Поэтому в подробном разговоре на эту тему особой необходимости нет.

Интереснее обсудить проблему, связанную с так называемыми многоволновыми формами равновесия стойки. Эти формы сопряжены с некоторой неограниченной сверху последовательностью сил P2, P3, P4, . . . Ряд таких форм приведен на рис. 1.12. И в самом деле, при силе P2 (см. первый из рис. 1.12) роль, которую играла точка B оси стержня в предыдущей задаче, отойдет к точке D, отстоящей от верхней опоры на четверть пролета, а тогда вместо уравнения (1.19a) надо использовать равенство

pl = 4F (m),

что дает P2 = 4π2EI/l2. Аналогично можно найти все последующие силы. Таким образом,

Соответствующее исследование (здесь опускаемое) равновесных состояний, отвечающих силам P2, P3, P4, . . ., говорит о том, что все они неустойчивы, а потому и малоинтересны.

Столь подробный и далеко не простой анализ задачи нужен лишь тогда, когда конструкция должна воспринимать нагрузку, превышающую критическую. Но сверхкритические воздействия обычно недопустимы, а потому достаточно найти значение только критической силы. Это можно сделать, решая линеаризованную задачу, т. е. полагая κ ≈u . Уравнение (1.14) упрощается:

u = −p2u, p2 = EI/l2,

664 Часть VI

и его решение становится очевидным:

u = A sin px + B cos px.

Так как u(0) = 0, то B = 0. Условие u(l) = 0 дает

A · sin pl = 0.

Искривленная форма равновесия существует лишь при A = 0, а потому sin pl = 0.

Ненулевые корни этого уравнения кратны π: pl = π, 2π, 3π, . . . ,

что сразу же приводит к спектру (1.22). Наименьшая из сил этого спектра и есть критическая.

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

Здесь и далее рассматриваются только линеаризованные задачи устойчивости консервативных систем.

2.1. Пример решения задачи статическим способом. На рис. 2.1a изображена система, для которой C = 2. Требуется найти критическую силу и установить конфигурацию возможной отклоненной формы равновесия системы, считая размеры li стержней конструкции и жесткости rj поддерживающих пружин заданными.

Решение начинается с изображения нового положения равновесия системы, смежного с исходным, и выбора параметров состояния. В качестве таковых можно взять узловые перемещения u1 и u2 (рис. 2.1b). Перемещения малы, так что сближением точек A и B при составлении условий равновесия отклоненной системы следует пренебречь, полагая δ = 0. Названные условия записываются таким образом, чтобы в них не входили ника-

кие иные неизвестные, кроме перемещений u1, u2 и силы P . Так, уравнения

помимо перечисленных выше величин, содержат неизвестную реакцию VB жесткой связи. Ее необходимо исключить, например, при помощи условия

MD’пр = 0 : P u2 + VBl3 = 0.

Врезультате получится следующая система двух однородных алгебраических уравнений:

Это уравнение имеет корни

Таким образом, Pкр ≡ P1 = rl/3 и, согласно формуле (2.3),

Форма потери устойчивости системы приведена на рис. 2.2a. Можно указать и неустойчивое отклоненное положение равновесия этой конструкции. Для этого в равенство (2.3) надо ввести силу P2 = rl, что дает u2 = u1. Этот результат иллюстрирует рис. 2.2b.

2.2. Статический критерий в случае произвольного конечного числа степеней свободы. Результаты предыдущего пункта без особых затруднений распространяются на системы, для которых C = n, где n – любое конечное число. Пусть состояние системы характеризуется параметрами

Для положения системы, смежного с исходным, составляются n условий равновесия так, чтобы в них не входили иные неизвестные, кроме параметров (2.5) и силы P . Указанная система уравнений однородна относительно перемещений u1, . . . , un, а потому возможно тривиальное решение ui = 0, i = 1, 2, . . . , n, отвечающее исходному положению равновесия конструкции. Чтобы перейти к содержательному решению, надо положить

Наименьший корень этого алгебраического уравнения степени n дает значение критической силы:

Pкр = min(P1, P2, . . . , Pn).

Корни уравнения (2.6) располагают в возрастающей последовательности, так что Pкр = P1.

Для отыскания формы потери устойчивости из n уравнений равновесия системы отбирают n−1 линейно независимых соотношений, полагают в них P = Pкр и решают относительно величин

Об описанном в настоящем пункте способе решения задачи говорят, что он следует из статического критерия критического состояния консервативной системы.

2.3. Пример решения задачи энергетическим способом. Ниже снова рассматривается конструкция, изображенная на рис. 2.1, но теперь решение разыскивается при помощи теоремы Лагранжа – Дирихле. Потенциальная энергия деформации двух пружин, поддерживающих жесткие стержни, вычисляется по формуле Клапейрона (II.9.4):

W = 12 · (r1u1) · u1 + 12 · (r2u2) · u2 = 12 (r1u21 + r2u22).

Работа P δ силы P определяется величиной перемещения δ, которое зависит от углов наклона всех трех сжимаемых стержней. Чтобы выполнить вычисления, надо воспользоваться второй из формул (1.13) и рисунком 2.1b:

Таким образом (см. также равенство (1.5)),

Условия ∂Э/∂u1 =0 , ∂Э/∂u2 =0 стационарности полной потенциальной энер-

гии системы по параметрам u и u приводятся к виду:

1 2

Нетривиальное решение этих однородных уравнений возможно, если

Все остальное сводится к тем же самым процедурам, которые применялись при построении решения задачи статическим способом.

Отсюда сразу же следует результат (2.4). Естественно, и форма потери устойчивости не будет ничем отличаться от той, что была установлена в предыдущем пункте (см. рис. 2.2a).

2.4. Энергетический критерий в случае произвольного конечного числа степеней свободы. Пусть состояние системы характеризуется перемещениями (2.5). Тогда функцией этих переменных будет и полная потенциальная энергия Э системы, вычисляемая по ее возмущенному положению равновесия. Условия

стационарности энергии Э по параметрам ui имеют форму линейных однородных уравнений относительно перемещений ui. Так как интерес представляет только нетривиальное решение этих уравнений, к нулю приравнивается их определитель det(P ), т. е. записывается условие (2.6). Наименьший корень уравнения (2.6) дает критическую силу. Форма потери устойчивости определяется отношениями (2.7), которые получают путем решения любых n −1 независимых уравнений, отобранных из соотношений (2.8). О таком образе действий говорят, что он следует энергетическому критерию критического состояния консервативной системы.

Из сказанного выше становится ясным, что статический и энергетический критерии приводят к задаче на собственные значения матрицы порядка n (см. главу V.3). В первом случае – это матрица уравнений равновесия отклоненного положения системы, а во втором – матрица условий стационарности полной потенциальной энергии той же системы. Собственными числами в этой задаче являются значения силового параметра P , а собственными векторами – все (устойчивая и неустойчивые) равновесные формы состояния системы. Но в отличие от задачи динамики в задаче устойчивости интерес представляют только первое собственное значение и только первый собственный вектор исследуемой матрицы.

ГЛАВА 3. УСТОЙЧИВОСТЬ ГИБКОГО СТЕРЖНЯ

3.1. Отклоненное состояние равновесия стержня, испытывающего осевую и изгибную деформации. Прежде чем говорить об устойчивости многостержневых конструкций, надо изучить поведение отдельного гибкого стержня при продольном изгибе, т. е. в случае, когда изгибающий момент в нем (стержне) возникает в результате возмущения исходного состояния равновесия системы. В конструкции могут быть как сжатые, так и растянутые элементы, поэтому исследованию подлежат процессы деформирования сжато-изогнутого и растянуто-изогнутого стержней. Сначала рассматривается брус, загруженный осевой сжимающей силой. На рис. 3.1 изображена отсеченная часть такого бруса, отнесенная к системе координат, начало которой совмещено с началом стержня до его отклонения в новое положение равновесия. Перемещения начала стержня (линейное и угол поворота), а также относящиеся к нему усилия отмечены индексом 0. В разрезе при-

ложены усилия M , Q, N . Так как перемещения малы,

можно положить N = P и считать также, что угол наклона касательной к изогнутой оси стержня равен тангенсу этого угла. Тогда

M = −EIu ,

причем

M = P (u − u0) + M .

Через M обозначена доля изгибающего момента, порожденная торцевым моментом M0 и горизонтальной составляющей V0 торцевых сил. (Очевидно, M = M0 + V0x.) Таким образом,

EIu + P (u − u0) = −M .

Так как (M ) = −q = 0 (нагрузка к брусу прикладывается только по его концам), то после двойного дифференцирования записанное выше равенство примет вид:

(EIu ) + P u = 0.