Основы механики твердого деформируемого тела

ЧАСТЬ VI. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ УСТОЙЧИВОСТИ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕЛА

1.1. Основные понятия. В предыдущих разделах курса изучались равновесные состояния деформируемых тел, но вопрос об устойчивости рассматриваемых состояний не ставился. Между тем не так уж и трудно представить себе картину, когда выведенная случайным воздействием из состояния равновесия конструкция не возвращается в исходное положение и после того, как причина, вызвавшая ее отклонение, исчезла. Такое явление, называемое потерей устойчивости исходной формы равновесия тела или просто

– потерей устойчивости, особенно ярко проявляется у конструкций, которые имеют сжатые элементы. О проблеме устойчивости указанных конструкций и идет речь в настоящем пособии. В первую очередь изучаются плоские стержневые конструкции в предположении, что в исходном состоянии равновесия их элементы испытывают только осевую деформацию, а материал тела является линейно-упругим.

Системой в задачах устойчивости называют конструкцию вместе с силами, осуществляющими сжатие всех или некоторых ее стержней. Степень свободы системы – это число C кинематических параметров u1, u2, . . . , полностью характеризующих ее состояние. В исходном состоянии системы все параметры u1, u2, . . . имеют нулевые значения. Примеры систем с

C = 1, C = 2 и C = ∞ приведены на рис. 1.1. Изгибные жесткости некоторых стержней приняты бесконечно большими. Так можно поступать в том случае, когда осевая сила, приложенная с некоторым эксцентриситетом e, вызывает изгибное перемещение u(x) такое, что u(x) << e (сравнительно короткий стержень с развитым поперечным сечением). Если осевая сила прикладывается только к бесконечно жестким стержням, система имеет конечное число степеней свободы (рис. 1.1a, b), но если сжатым оказывается хотя бы один гибкий стержень (рис. 1.1c), то C = ∞. В этом случае для описания состояния системы надо знать перемещение каждой точки оси сжатого элемента.

При осевой деформации стержни меняют свою длину на величину ∆l, определяемую физическим законом материала. Для линейно деформируемых стержней ∆l = P l/EF . Однако в задачах устойчивости удлинение ∆l считают пренебрежимо малой величиной по сравнению с начальной длиной l элемента конструкции.

Важно оговорить и характер воздействия. До тех пор, пока об этом не будет сказано особо, оно считается консервативным. Работа консервативной силы определяется величиной перемещения точки ее приложения и не зависит от траектории движения этой точки. Консервативными являются любые потенциальные силы, в том числе и силы веса. Системы, в состав которых входят только консервативные нагрузки, называют консервативными.

Под устойчивостью системы понимается ее способность сохранять свое состояние. Чтобы узнать, является ли состояние системы устойчивым, ее выводят из положения покоя и предоставляют самой себе. Если система возвращается на прежнее место, то ее начальное состояние устойчиво. Система может остаться в том положении, в которое ее привело возмущение. Тогда об ее начальном состоянии говорят как о состоянии безразличном. Наконец, система после снятия возмущающего воздействия может продолжать начатое движение. Это случай неустойчивого состояния исходного состояния системы. Примерами описанных состояний служат положения шарика в ямке, на плоскости и на горке.

На устойчивость начального состояния влияет и величина возмущения. Так, если наклонить брус, свободно стоящий на гладкой поверхности (рис. 1.2), на угол ϕ такой, что линия действия силы веса не выйдет за пределы опорной площадки, то брус вернется в исходное положения после снятия возмущения. Но дело будет обстоять иначе, если отклонение увеличить, добившись смещения линии действия силы G за пределы площадки опирания. В таких случаях говорят, что система устойчива

в малом (т. е. при малых отклонениях), но неустойчива в большом. Система же, устойчивая в большом, устойчива и в малом.

Неустойчивость в большом присуща так называемым системам с перескоком, например, пологим арочным конструкциям (рис. 1.3). Если возмущающее отклонение δu центрального узла конструкции меньше некоторого значения δ , то по снятию возмущения система вернется в исходное положение (устой-

чивость в малом), но при δu > δ произойдет скачкообразный переход системы в положение равновесия, показанное на рис. 1.3b. Далее изучается поведение только таких систем, которые получают малые пробные возмущения исходного состояния равновесия.

Важно, что устойчивость исходного состояния системы зависит и от величины нагрузки. Пусть гибкая стойка (рис. 1.4a) за-

гружена сравнительно небольшой силой P . Тогда после отклонения от вертикального состояния равновесия стойка, совершив ряд колебаний, вернется в исходное положение. По мере возрастания силы частота колебаний стойки будет уменьшаться, а время ее возвращения в исходное положение – увеличиваться. Наконец, при достижении силой P некоторого значения P стойка вообще не вернется на прежнее место, а замрет в некотором искривленном положении A B, показанном на рис. 1.4b. Если же состояние A B подвергнуть возмущению, то обнаружится, что именно оно и является устойчивым. Стало быть, при P > P возможны две формы равновесия системы: неустойчивая исходная, при которой стержень испытывает только сжатие, и устойчивая искривленная форма A B, при которой к осевой деформации добавляется изгиб. Чем больше сила P превышает значение P , тем более отличаются эти формы друг от друга. Но при P ≈P (P > P ) они близки и их называют смежными формами равновесия системы.

Наличие смежных равновесных форм (бифуркация) свойственно так называемой потере устойчивости по Эйлеру. Силу P , при которой бифуркация становится возможной, называют критической и обозначают Pкр.

Анализ устойчивости систем, в состав которых входят несколько сил, является довольно сложным, если только все силы системы не пропорциональны

Чтобы исследовать устойчивость отклоненного положения равновесия стойки, надо возмутить это положение, придав приращение ∆ϕ углу ϕ, и найти отношение (ср. с равенством (1.2))

ψ = P l sin(ϕ + ∆ϕ) .

rϕ + ∆ϕ

Сила P определяется формулой (1.4), поэтому

Функция ϕ/ sin ϕ возрастает по ϕ, так что при ∆ϕ > 0 стойка вернется в исходное положение с углом наклона ϕ из-за действия удерживающего реактивного момента. Если же ∆ϕ < 0, то ψ > 1 и стержень снова займет исследуемое состояние, но на этот раз благодаря действию опрокидывающего момента. Таким образом, при P > Pкр существуют два положения равновесия: неустойчивое прямолинейное и устойчивое отклоненное.

На рис. 1.6 дается график зависимости (1.4) силы, поддерживающей систему в равновесии, от угла наклона стойки. Крестиками отмечена ветвь, отвечающая неустойчивому состоянию системы. Малейшее ее возмущение в состоянии D приводит к перескоку системы в состояние D или D .

Исследование завершено. Теперь, например, можно получить ответ и на такой вопрос: при каком значении угла ϕ будет находиться в состоянии равновесия система, если P = kPкр, где k > 1. Ответ на этот вопрос дается численным решением уравнения (см. формулы (1.3) и (1.4))

Так, при k = 1, 11 уравнение (1.4a) дает ϕ = 45o. Из этого результата и из рис. 1.6 видно, что равновесные состояния системы характеризуются весьма большими отклонениями от исходного положения даже при силах P , незначительно превышающих критическое значение. Стало быть, прикладывать

кконструкции нагрузку, хотя бы на незначительную долю превосходящую критическую, нельзя. А потому особой необходимости в исследовании закритического поведения системы нет. Достаточно установить лишь значение критической силы, что можно сделать, изучая только малые отклонения системы от ее начального положения равновесия. И в самом деле, по мере приближения точки E, принадлежащей устойчивой ветви диаграммы "P –ϕ",

кточке G разница между силами PE и Pкр становится исчезающе малой (см.

рис. 1.6). При малых же значениях аргумента ϕ можно принять sin ϕ = ϕ, что приводит условие равновесия (1.1) к виду (рис. 1.5c)

P · ϕl − rϕ = 0.

Поскольку ϕ = 0, то отсюда сразу же следует результат (1.3).

Подход к решению задачи, основанный на малых пробных возмущениях исходного положения равновесия системы и на замене нелинейной функции u(ϕ) = l sin ϕ линейной зависимостью перемещения u от параметра ϕ: u = lϕ, называют линеаризацией задачи устойчивости. Разумеется, при решении линеаризованной задачи не узнать, сколько различных форм равновесия может иметь исследуемая система и какие из них устойчивы. Нельзя будет установить и зависимость силы P от параметра состояния системы. Но критическая сила будет найдена, чего для оценки надежности работы сооружения, как правило, вполне достаточно.

1.3. Пример анализа устойчивости системы с одной степенью свободы энергетическим способом. При возмущении исходного состояния системы в ее деформируемых элементах накапливается потенциальная энергия W . Эта энергия стремится вернуть систему в начальное положение, чему препятствует нагрузка P . Противодействие силы P тем больше, чем большую´ работу она совершает при отклонении системы. Сказанное объясняет структуру формулы для полной потенциальной энергии консервативной

системы:

m

Э = W − Piδi,

i=1

где δi – перемещение, сопряженное с силой Pi. При m = 1 (приложена только одна сжимающая сила) эта формула имеет вид:

В конце XVIII века Ж. Лагранж сформулировал, а в первой половине XIX века П. Г. Лежен-Дирихле доказал следующее утверждение: положение консервативной системы устойчиво, если ее полная потенциальная энергия имеет в этом положении минимум. Данное утверждение, оставляемое здесь без доказательства ввиду его интуитивной ясности (достаточно вспомнить о положениях шарика в ямке, на горке и на плоскости), называется теоремой Лагранжа, но весьма часто – и теоремой Лагранжа – Дирихле. Как используется эта теорема при анализе устойчивости системы, показывает следующий пример.

Система, изображенная на рис. 1.7a, удерживается в положении равновесия гибкой стойкой CK. При отклонении системы в этой стойке накапли-

а потому энергия Э минимальна и положение равновесия системы устойчиво. Наоборот, при P > rl производная (1.10) отрицательна, что свидетельствует о максимуме полной потенциальной энергии системы и, как следствие, об ее неустойчивости. Таким образом,

т. е. отклоненное положение равновесия системы возможно лишь при нагрузке, меньшей критической. Подстановка силы (1.12) во вторую из формул

(1.8) дает:

d2Э = rl2 cos 2ϕ − rl2 cos 2ϕ = −rl2 sin 2ϕ < 0. dϕ2

Энергия (1.7) максимальна, так что наклонное положение равновесия стойки неустойчиво.

График зависимости P (ϕ) представлен на рис. 1.8a. При P < Pкр возможны два состояния равновесия системы: устойчивое исходное (см. точку D на рис. 1.8a) и неустойчивое отклоненное (точки D и D на том же рисунке). Последнее можно создать искусственно, но малейшее возмущение тут же переведет систему в прямолинейное положение равновесия. И при P > Pкр, как уже говорилось, отклоненное положение равновесия неустойчиво. Но теперь любое возмущение системы, каким бы малым оно ни оказалось, закончится опрокидыванием конструкции (см. рис. 1.8b).

Исходная задача может быть линеаризована. Если угол ϕ мал, то sin ϕ ≈ϕ и, согласно формуле (1.6),

Поскольку ϕ = 0 (случай ϕ = 0 отвечает неотклоненной форме равновесия системы), то из равенства (1.9a) следует результат (1.11). Расчетная схема системы, используемая для решения задачи в линейной постановке, приведена на рис. 1.7d. И последнее за-

мечание. Из зависимостей (1.6a) видно, что перемещение δ можно находить по любой из двух приводимых ниже формул:

1.4. Пример анализа устойчивости системы с бесконечным числом степеней свободы. При увеличении числа степеней свободы системы трудоемкость решения задачи устойчивости возрастает.

Особенно сложно исследовать системы с распределенными параметрами, ибо при C = ∞ уравнения равновесия изогнутого стержня являются дифференциальными, а полная потенциальная энергия системы представляет собой функционал, определяемый искомой формой равновесия бруса. Сказанное объясняет, почему здесь придется ограничиться демонстрацией самого простого примера.

Концы стержня, изображенного на рис. 1.9a, подвижно закреплены. Но как в исходном, так и в отклоненном положении системы (рис. 1.9b) ее опорные реакции равны нулю, что позволяет перейти к расчетной схеме, приведенной на рис. 1.9c. Изгибающий момент M в произвольном сечении стержня равен произведению P u. С другой стороны, M =

= −EIκ, где κ = dθ/ds – изменение кривизны изогнутой оси бруса, θ – угол наклона касательной к названной оси, а ds – дифференциал длины ее дуги. Таким образом,

На первом шаге интегрирования данного уравнения – а как раз к решению этой задачи и сводится анализ устойчивости рассматриваемой системы

– исключается функция u(s). Так как (рис. 1.9c)

duds = sin θ,

то после дифференцирования по дуговой координате s уравнение (1.14) примет вид:

а потому

Константу C можно выразить через угол θ0 наклона касательной к оси стержня в точке A , т. е. при s = 0. В этой точке изгибающий момент, а значит, и кривизна dθ/ds оси стержня равны нулю, поэтому C = −2p2 cos θ0 и соотношение (1.16) принимает вид:

Так как cos θ = 1 − 2 sin 2(θ/2), то отсюда следует

2p sin 2(θ0/2) − sin 2(θ/2)

Переменные разделились, но чтобы записать интеграл уравнения (1.17) в стандартном виде, надо от аргумента θ перейти к аргументу ϕ при помощи подстановки

Эта подстановка корректна, ибо θ0 > θ, а потому sin(θ0/2) > sin(θ/2). Так как (см. вторую из формул (1.18))

переменные θ и ϕ обращаются одновременно (см. формулы (1.18)). Следует