Основы механики твердого деформируемого тела

Немногим сложнее решается обратносимметричная задача. Теперь (см. рис. 4.3d и формулу (4.15)):

r11 = a1 + a2, r12 = −c1, r22 = r1 + T = r1 − 4mlω2.

Так как J1 = 1, J2 = 4, λ1 = λ2 = λ, то, согласно таблице 4.1,

При записи реакции r22 учитывалось, что EI/l = J = 1. Уравнение (4.14)

после подстановки в него указанных выше единичных реакций приводится к виду

(ρ22 + 8ρ3ρ5)(ρ4 − 4λρ5) − ρ2ρ23 = 0.

Здесь также требуется численное решение. Из бесконечного спектра частот в таблице 4.3 даются только семь первых значений. Из сопоставления этой таблицы с таблицей 4.2 становится ясным, что колебания основного тона являются обратносимметричными и протекают они с частотой

Верхний индекс поставлен с целью отличить частоты антисимметричных колебаний от имеющих такие же номера частот симметричных колебаний.

На рис. 4.4 изображены эпюры изгибающих моментов M и M , отвечающих колебаниям с частотами ω1 = 3, 184997 и ω1 = 1, 4979772 соответственно. Симметричная эпюра получена по формуле (см. рис. 4.3c)

M = M 1Z1 sin(ω1t + ϕ1)

при sin(ω1t + ϕ1) = 1. Амплитудное значение Z1 угла поворота узлов рамы (как и значение величины ϕ) зависит от начальных условий задачи. Ординаты a1, a2 и b1, b2 эпюры ”M 1” вычисляются по формулам таблицы

4.1при λ1 = 1, 784656.

Эпюра ”M ” строится по правилу (см. рис. 4.3d)

M = M 1Z1 sin(ω1t + ϕ1) + M 2Z2 sin(ω1t + ϕ1).

Здесь также принимается sin(ω1t+ϕ1) = 1, а перемещение Z2 выражается через угол поворота Z1 при помощи

одного из двух линейно зависимых канонических уравнений, например, первого (см. формулы (4.18)):

Коэффициент при Z1 и ординаты единичных эпюр вычисляются при помощи приведенных в таблице 4.1 формул и с учетом того, что λ = λ1 = = 1, 2239188.

Ясно, что своих амплитудных значений усилия M (t) и M (t) достигают неодновременно. Это надо иметь в виду при отыскании экстремальных значений полных динамических усилий, вычисляемых с учетом нескольких первых частот спектра. Впрочем, здесь нечего добавить к тому, что говорилось по аналогичному поводу в п. 2.7.

4.4. Вынужденные изгибные колебания стержней. Пусть колебания призматического стержня, выполненного из материала без внутреннего трения и обладающего равномерно распределенной массой, поддерживаются заданной возмущающей силой G(x). Как и в случае системы с конечным числом степеней свободы, эту силу целесообразно разложить по собственным формам Xi(x) свободных колебаний:

где gi(t) – некоторые функции времени. При их определении опираются на ортогональность собственных форм Xi, что дает (см. в п. 2.10 вывод формулы (2.49)):

где l – длина стержня.

Состояние рассматриваемой системы описывается теперь неоднородным уравнением (ср. с уравнением (4.1)):

Искомое перемещение u(x, t) также может быть разложено по взаимно ортогональным собственным формам:

где Ti(t) – искомая функция времени. Подстановка зависимостей (4.19) и (4.22) в уравнение (4.21) приводит к равенству

Отсюда следует (см. вывод формул (4.3) и (4.4)):

Остается для каждого i проинтегрировать неоднородное уравнение (4.23), правая часть которого дается формулой (4.20). Затем при помощи представления (4.22) находят закон вынужденных колебаний, после чего обычным образом устанавливают динамические усилия.

Для гармонической возмущающей силы решение задачи может быть выполнено в замкнутой форме и затем распространено (например, при помощи метода перемещений) на стержневые конструкции, состоящие из призматических элементов. При более сложных внешних воздействиях решение получают численно. В частности, численно выполняется расчет и на сейсмическое воздействие, в ходе которого распределенные силы инерции сводятся к сосредоточенным. О том, насколько подобная замена корректна, рассказывается в следующем пункте.

4.5. Замена распределенных масс точечными. Сведение динамической континуальной задачи к дискретной избавляет от необходимости интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных, что особенно

важно в случае, когда массы распределены неравномерно или конструкция содержит непризматические стержни. Единственным вопросом, требующим специального рассмотрения, является вопрос о числе точечных масс, заменяющих распределенную массу, при котором может быть обеспечена заранее оговоренная точность решения задачи. В какой-то мере на этот вопрос отвечают приводимые ниже примеры.

На рис. 4.5 представлены две обычно применяемые схемы замены распределенной массы равноотстоящими друг от друга сосредоточенными массами. Согласно схеме "a", массы приводятся в середины интервалов, при этом

mi = m(xi)∆,

а по схеме ”b” – к границам интервалов. В последнем случае

В таблице 4.4 даются результаты вычислений нескольких первых частот спектра свободных колебаний шарнирно опертой балки при разбиении ее пролета на равные участки от 1 до 6. В последней строке указано точное решение (4.12) рассматриваемой задачи:

В этом примере дискретная схема "b" дает лучшие результаты, причем первые четыре частоты при n = 6 практически не отличаются от их точных значений, а погрешность приближенного значения частоты ω5 составляет всего лишь 4, 8%. Однако в других случаях более удачным оказывается приведение масс по схеме "a". Так будет, например, при вычислении спектра частот свободных колебаний консольного стержня (рис. 4.6). Результаты вычислений сведены в таблицу 4.5. Точные значения величин ωk находят по

где λk – корни уравнения cos λ ch λ+1 = 0. Это решение получают способом, изложенным в п. 4.2.

Таким образом, в общем случае не скажешь, сверху или снизу стремится приближенное решение к точному. Расчетная практика показывает, что при

определении частоты основного тона, и только ее, достаточно массу каждого стержня конструкции свести в 2–3 точки, а при вычислении 4–5 первых частот – в 6–10 точек. Однако в неясных случаях задачу на собственные значения лучше решить несколько раз, постепенно увеличивая число точек приведения с тем, чтобы можно было проследить за сходимостью вычислительного процесса. И в завершение темы еще один пример.

Таблица 4.4

На рис. 4.7a изображена система, для которой в п. 4.3 (см. рис. 4.3) были при помощи метода перемещений установлены первые 14 частот спектра ее свободных колебаний. На рис. 4.7b, c приведены схемы дискретизации масс системы для полурам, используемых при исследовании симметричных и обратносимметричных форм собственных колебаний исходной конструкции. Каждая из этих вспомогательных систем имеет семь степеней свободы. Приведение выполнено в соответствии со схемой "b" по рис. 4.5. При этом для системы, изображенной на рис. 4.7b,

а для системы, моделирующей обратносимметричные колебания,

В состав массы m4 входит масса 4ml всего ригеля и 1/8 часть массы стойки. Задача состоит в формировании матриц D и D систем уравнений типа (3.2), описывающих симметричные и обратносимметричные свободные колебания рассматриваемой рамы соответственно, и определении собственных чисел этих матриц.

Вычисления, связанные с решением поставленной задачи, громоздки, поэтому ниже приводятся только их результаты. Матрицы D и D таковы:

Частоты ωi и ωi связаны с характеристическими числами λi и λi матриц D и D зависимостями:

ωi = 1/ λi , ωi = 1/ λi .

В таблице 4.6 приводятся значения частот ωi и ωi (множитель (EI/ml4)−1/2 опущен), а также указаны отклонения ∆i и ∆i этих значений от точных результатов, содержащихся в таблицах 4.2–4.3.

Первые 10 частот спектра свободных колебаний рамы (5 симметричных форм и 5 обратносимметричных) найдены с высокой точностью.

КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ

Полезным при обращении к какой-либо конкретной задаче динамики может оказаться справочник [20]. Разнообразна и учебная литература, к которой относятся как учебники и учебные пособия, целиком посвященные динамике несущих конструкций [17], так и издания, в которых задачам динамики отводится лишь некоторые их части [14, 24, 30]. И хотя только одних учебников, содержащих разделы по динамике сооружений, насчитывается не один десяток, все они отличаются друг от друга или по манере изложения, или по набору рассматриваемых задач, или по тому и другому. Это говорит о наличии обширного материала, из которого есть что выбирать.

Исходные положения динамики сооружений можно считать устоявшимися. Учебная литература этот факт отражает, хотя различные авторы в разной последовательности и с разной степенью детализации излагают материал. Дополнить сказанное во введении к настоящему пособию могут такие издания, как [8, с. 501–505; 30, с. 5–19]. В них, в частности, говорится о поворотных степенях свободы масс, имеющих моменты инерции, пренебрегать которыми нельзя, а также о составлении уравнений движения системы

спомощью теоремы Лагранжа [8, с. 536–544].

Кглаве 1

Вучебнике [30, с. 19–54], помимо тех задач, которые рассматриваются и в настоящем пособии, изучаются биения, действие на систему подвижной нагрузки, а также дается решение задачи о вынужденных колебаниях системы с внутренним трением при произвольном возмущающем воздействии (интеграл Дюамеля). Дополнительные сведения о силах неупругого сопротивления можно почерпнуть из учебных пособий И. А. Константинова [17, с. 17–24] и А. Р. Ржаницына [24, с. 289–299].

К главе 2

Материал настоящей главы традиционен. Но если в пособии А. Р. Ржаницына [24, с. 275–278] ему посвящено всего 4 страницы, чего вполне достаточно для качественного описания линейных колебаний идеально упругих систем, то в книгах [14, с. 51–100; 17, с. 59–105; 30, с. 70–143] колебаниям систем с конечным числом степеней свободы уделено гораздо больше внимания. Это и понятно: прикладное значение данного раздела трудно переоценить. Все описания поневоле содержат много формальных выкладок и численных примеров. В учебнике [30, с. 126–143] подробно рассказывается о сейсмических расчетах сооружений, в том числе и выполняемых с использованием норм проектирования строительных конструкций [31]. Восприятие

книги И. А. Константинова [17] может оказаться более простым, так как в ней отсутствуют громоздкие примеры.

Кглаве 3

Вучебниках [8, 14, 24] параллельно с описанием того или иного явления рассказывается и о реализации вычислений. В настоящем курсе вычислительному аспекту проблемы целиком посвящается вся комментируемая глава. Желающим получить дополнительные сведения по обсуждаемому в ней материалу можно порекомендовать пособие Б. П. Демидовича и

И.А. Марона [9, с. 402–449], написанное в самой доступной форме, а также несколько более сложную, но зато и более приближенную к интересам механики монографию Л. Коллатца [16, с. 266–335]. Следует обратить внимание на главу 5 в книге [30, с. 143–183], в которой на основе метода конечных элементов решаются задачи динамики нестержневых конструкций.

Кглаве 4

По причинам, изложенным в тексте самой главы, рассказ о колебаниях систем с распределенными массами был весьма кратким. Приводимых сведений явно недостаточно тому, кто пожелает специализироваться в области динамики сооружений. О направлениях, в которых можно развивать свои знания, можно узнать из книг [17, 24]. В первой из них целая глава [17, с. 174–194] посвящена распространению волн в упругих средах и на их поверхностях; такого рода задачи представляют интерес для специалистов по сейсмостойкости сооружений. Во второй – рассказывается не только об изгибных колебаниях стержней, протекающих в форме стоячих волн, но и о волновых процессах, которые сопровождают продольные колебания брусьев [24, с. 286–289]. Там же рассматривается пример колебаний стержня при наличии сухого трения (с. 297–299). В учебнике В. А. Киселева [14, с. 101–277] приведены конкретные задачи по динамике систем с распределенными массами. Во всех указанных выше изданиях (да и в книге [30]) читатель найдет описание приближенных способов решения задач на собственные значения. Речь идет о так называемых вариационных методах (Рэлея, Бубнова – Галеркина и др.), разработанных в конце XIX – начале XX века. В случае отдельного стержня они быстрее приводят к цели, нежели замена распределенных масс сосредоточенными. Однако вычисления сегодня не являются самым узким местом расчетов, так что практическая ценность вариационных методов заметно снизилась. И все же знать их полезно. Теоретическое обоснование этих методов имеется у Л. Коллатца [16, с. 221–265]. Важно также, что в указанной монографии содержатся многочисленные примеры (с. 18–53), относящиеся к колебаниям стержневых систем.