Основы механики твердого деформируемого тела

Аналогично выполняются еще два шага итерационного процесса:

Две последние оценки совпадают, что позволяет завершить вычисления. Полученный результат λ1 = 163, 62461 и найденное в п. 2.7 значение (2.33)1 первого собственного числа для этой же самой матрицы не отличаются друг от друга.

Первый столбец матрицы B8 состоит из чисел

5, 9631522 · 1016, 1, 1807208 · 1016, 1, 6414324 · 1017.

Если разделить их на численное значение первого элемента, т. е. на величину 5, 9631522 · 1016, получится вектор

(e1) = [ 1 0, 19800279 2, 7526253 ] .

Искомый вектор e1 связан с вектором e1 вторым из равенств (3.6):

Вектор e1 получился таким же (см. формулы (2.35)), что и в п. 2.7. Определение величины λ2 и построение вектора e2 начинаются с норми-

рования вектора e1 к единице. Эта операция состоит в делении всех элементов вектора e1 на его модуль, т. е. на число

1 + 0, 198002792 + 2, 75262532 = 2, 7867426.

В итоге получится:

(e1) = [0, 3406774 0, 06745509 0, 98775728 ] .

Затем по формуле (3.10) образуют матрицу

над которой и производятся все дальнейшие операции. Сходимость при вычислении величины λ2 достигается на четвертом шаге итерационного процесса:

При этом (см. первую строку матрицы B116)

(e2) = [1 − 3, 21137331 − 0, 13211916],

e2 = [ 1 − 3, 2137331 − 0, 07627903 ] .

Результаты (2.33)2 и (2.35)2 точно такие же. Нормированный к единице вектор

позволяет при помощи формулы (3.10a) перейти к матрице

Уже на втором шаге итерационного процесса, т. е. при

4 SpB24 = 0, 88164001 ≥ λ1,

вычисления заканчиваются, так как требуемая точность достигнута. Итак,

Практически такими же получились собственное число λ3 и собственный вектор e3 в п. 2.7.

ГЛАВА 4. СИСТЕМЫ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ МАССАМИ

4.1. Введение. При динамическом расчете сооружений распределенные массы зачастую сводят к конечному числу сосредоточенных масс, после чего вычисления выполняются по схеме, изложенной в главе 2 (см. также предыдущую главу). Такой подход предусмотрен, в частности, и нормами расчета сооружений на сейсмическое воздействие. Сказанное относится не только к стержневым конструкциям, но и к плитам, оболочкам, иным телам. Массы этих объектов обычно сводят в узлы сетки, разбивающей тело на конечные элементы. Так что если иметь в виду лишь чисто прикладные задачи, то проблему расчета сооружений на динамические воздействия можно было бы считать исчерпанной. Однако без умения решать задачу в исходной постановке нельзя оценить погрешность перехода от системы с распределенными параметрами к системе с точечными массами. Кроме того, возможны случаи, когда замена континуальной задачи на дискретную нецелесообразна.

Сказанное выше объясняет причину появления настоящей главы. Однако сама возможность свести проблему динамического расчета любого сооружения к задаче динамики системы с конечным числом степеней свободы не могла не отразиться на отборе излагаемого ниже материала. Так, за рамки предстоящих рассмотрений выносятся системы с демпфированием, не изучаются колебания плит, оболочек, массивных тел, а динамика стержневых систем сведена к динамике плоских линейно-деформируемых конструкций с преобладающим изгибом.

4.2. Собственные изгибные колебания призматического стержня.

Пусть вдоль оси ox призматического стержня длиной l равномерно распределена масса m. Перемещения точек стержня в направлении, ортогональном оси ox, являются функциями координаты x и времени t, т. е. u = u(x, t). Изгибные колебания бруса поддерживаются силами инерции, распределенными вдоль его оси. Интенсивность этих сил q = −mu¨. Так как q = EIuIV, то при отсутствии возмущающего воздействия уравнение движения стержня имеет вид:

Решение этого однородного дифференциального уравнения четвертого порядка можно отыскивать, следуя Фурье, в форме стоячих волн. Так называют волны, которые сохраняют свою форму с течением времени. Для них отношение перемещения u(x, t), измеряемого в произвольный момент времени t, к перемещению u(x, t ) той же точки в фиксированный момент времени t (рис. 4.1) есть функция только времени:

u(x, t) = T (t). u(x, t )

При закрепленном значении t перемещение u(x, t ) есть функция только абсциссы x: u(x, t ) = X(x), а потому

Таким образом, стоячая волна может быть представлена в виде произведения двух функций, одна из которых меняется только во времени, а вторая – лишь вдоль оси бруса. Это обстоятельство используется для того, чтобы дифференциальное уравнение (4.1) в частных производных свести к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям.

Подстановка функции (4.2) в уравнение (4.1) дает

Первое из этих равенств должно выполняться при любых значениях аргументов x и t, что возможно лишь тогда, когда обе его части постоянны. Стало быть,

где ω2 – та самая постоянная, о которой было сказано чуть выше (ср. с выводом формул (2.31a) в п. 2.6). Решением уравнения (4.3) является обычная гармоническая функция

а решение уравнения (4.4) имеет вид:

В этой формуле (по аналогии с тем, что было сделано в п. II.4.3 при рассмотрении задачи об изгибе бруса на упругом основании) от функций sin λξ, . . . , ch λξ следует перейти к функциям Крылова:

которые хотя и отличаются от функций (II.4.11), обладают теми же полезными качествами. Во-первых,

K1(0) = 1, K2(0) = K3(0) = K4(0) = 0.

Во-вторых, при дифференцировании функции Ki переходят друг в друга:

Индексом 0 отмечены значения функции X(ξ) и ее производных в начале координат.

Согласно формуле (4.2), искомое решение задачи определяется произведением функций (4.5) и (4.6a). Постоянную A можно отнести к константам Bi, а величины X0 и X0 допустимо трактовать как амплитудные значения линейного перемещения u0 и приведенного угла lu0/λ поворота касательной к оси бруса в точке x = 0. Величины же X0 и X0 суть не что иное, как отнесенные к числам −EIz λ2/l2 и −EIz λ3/l3 амплитудные значения изгиба-

636 Часть V

ющего момента Mz0 и поперечной силы Qy0 в начале бруса. Таким образом (см. формулы (4.6a) и (4.6b)):

Qy = −EIz Λ3 u0K2 + Λ−1u0K3 + ΛMz0K4 + Qy0K1.

Пусть стержень шарнирно закреплен по концам (рис. 4.2a). Для такого стержня u0 = Mz0 = 0 и из формул(4.8) следует:

где K2l и K4l – значения функций Крылова в конце бруса, т. е. при ξ = 1. Тривиальное решение u0 = Qy0 = 0 однородной системы уравнений (4.9) отвечает равновесному состоянию стержня и интереса не представляет. Содержательное же решение возможно лишь при нулевом значении определителя системы (4.9), т. е. при условии, что (см. формулы (4.7)):

Тогда первое из соотношений (4.8) примет вид (ведь

u0 = Mz0 = 0, Λ = λ/l) X = Λ−1u0 sin λξ, ξ = x/l. Это есть амплитудная кривая прогибов балки, тогда как са-

ми прогибы зависят еще и от времени:

Константы u0 и ϕ находят по начальным условиям задачи.

Равенства (4.10) и (4.4)2 позволяют установить бесконечный спектр ча-

Каждому значению ωk по формуле (4.11) отвечает своя форма колебаний:

Первые три из этих собственных форм изображены на рис. 4.2b. Они, как и все последующие собственные формы, взаимно ортогональны. Сумма всех собственных форм и есть искомое решение задачи:

∞

u(x, t) = bk sin kπx sin(ωkt + ϕk). l

k=1

Частота основного тона отвечает значению k = 1 (изгиб по одной полуволне синусоиды). Согласно формуле (4.12),

Инерционное воздействие на систему определяется обычным образом: q = −mu¨. Впрочем, знать это воздействие необязательно, так как необходимые для оценки прочности усилия Mz и Qy можно найти непосредственно по формулам (4.8). Кстати, возможность опереться на готовые зависимости для усилий в стержне является одним из достоинств континуального подхода к решению задачи.

4.3. Собственные колебания многостержневых конструкций. Для определения частот собственных колебаний конструкций с распределенными массами удобно воспользоваться методом перемещений. В основной системе этого метода последовательно смещают наложенные связи по гармоническому закону Φ(t). Возникающие при таких смещениях инерционные силы пропорциональны кинематическим воздействиям Zi(t) = Φ(t). По этой причине названные силы относят к единичным состояниям основной системы. При отсутствии возмущающих нагрузок все свободные члены канонических уравнений обращаются в нуль (Ri0 = 0), а потому канонические уравнения становятся однородными:

суперпозиции симметричных и обратносимметричных колебаний. При симметричных колебаниях сечение A ригеля не будет поворачиваться и смещаться по горизонтали. При обратносимметричных колебаниях это сечение не должно иметь вертикальных перемещений. Приведенные соображения позволяют заменить расчет исходной системы двумя более простыми расчетами систем, показанных на рис. 4.3b. Единичная эпюра ”M 1”, необходимая при анализе симметричных колебаний (рис. 4.3c), получена при помощи позиций 3 и 8 таблицы 4.1, а единичные состояния M 1 и M 2 обратносимметричного расчета (рис. 4.3d) – при помощи позиций 3, 4 и 5 той же таблицы. Особое внимание следует обратить на силу инерции, связанную с горизонтальным движением ригеля при воздействии Z2. Масса mp ригеля равна величине 4ml (для полурамы), так что при его движении по закону Z2 = 1 · sin(ωt + ϕ) получится:

Амплитудное значение силы инерции Pp(t) равно величине

T = 4mlω2.

Сила T препятствует перемещению Z2, а потому в состав реакции r22 она вводится со знаком минус:

Уравнение (4.14) для системы, приведенной на рис. 4.3c, записывается особо просто:

Первые семь корней этого трансцендентного уравнения, полученные численно, приведены в таблице 4.2. Там же даются вычисленные по второй из формул (4.17) частоты свободных симметричных колебаний рамы.

Таблица 4.1