Основы механики твердого деформируемого тела

обозначены известные функции времени, которые можно трактовать как обобщенные возмущающие силы. Задача состоит в интегрировании уравнений (2.46) при заданных начальных условиях ui(t0) = uoi , u˙ i(t0) = vio. Обычно решение строится численно. Но в любом случае при его построении удобно разложить функции (2.47) по собственным формам колебаний. Этот прием применяется не только при кинематическом воздействии, так что его имеет смысл рассмотреть особо.

2.10. Разложение возмущающего воздействия по собственным формам колебаний. Пусть вынужденные колебания системы описываются уравнениями (2.46), в которых Gi(t) – любые заданные возмущающие силы, в том числе и обобщенные. Считается, что задача на собственные значения рассматриваемой системы решена, т. е. известны спектр частот (2.25) и векторы (2.27). Решение же задачи о вынужденных колебаниях системы начинается с представления сил Gi в виде:

где gj (t) – пока неизвестные функции времени. В частности, при C = 2

G1(t) = m1(A11g1 + A12g2), G2(t) = m2(A21g1 + A22g2).

Если первое из этих равенств умножить на A11 и прибавить к нему второе равенство, умноженное на A21, а затем по аналогичной схеме составить сумму G1A12 + G2A22, то получатся зависимости

G1A11 + G2A21 = g1(m1A211 + m2A221) + g2(m1A11A12 + m2A21A22), G1A12 + G2A22 = g1(m1A12A11 + m2A22A21) + g2(m1A212 + m2A222).

В общем случае (C = n)

mj A2ji j=1

Из записи (2.48) видно, что воздействия Gij пропорциональны силам инерции Pij , поддерживающим колебания масс mi с частотой ωj . Значит, если

в качестве возмущающей нагрузки приложить к системе лишь обобщенные силы Gij , система будет совершать колебания только по j-й собственной форме. При этом силы Gij и Pij будут уравновешиваться (принцип Д Аламбера) упругой восстанавливающей силой Fij :

Пусть u(ij) – перемещение точечной массы mi при колебаниях с частотой ωj .

Тогда

Pij = −miu¨(ij), Fij = ciu(ij),

где ci – коэффициент пропорциональности, и равенство (2.50) примет вид:

Множитель перед функцией u(ij)(t) имеет смысл квадрата частоты ωj , так что

Можно напомнить, что обобщенные силы Gij определяются соотношениями (2.48) и (2.49).

Уравнения (2.50a) при любых i, j = 1, 2, . . . , n решаются точно так же, как и уравнение движения системы с одной степенью свободы (см. п. 1.2). После того, как все такие решения будут получены, используется принцип суперпозиции для записи искомых перемещений

n

ui(t) = u(ij)(t).

j=1

Задача решена.

2.11. Расчет конструкций на сейсмическое воздействие. Если при определении сейсмического воздействия опираться на акселерограммы (см. п. 1.2.4) той местности, где предполагается возводить проектируемое сооружение, то придется смириться с тем, что расчет несущих конструкций будет довольно сложным. Теперь к чисто техническим неудобствам, связанным с большой размерностью задачи и асинхронностью достижения экстремальных значений различными расчетными усилиями, добавляются еще и принципиальные трудности. Ведь любые акселерограммы дают информацию (да и то – обобщенную, т. е. не относящуюся непосредственно к той стройплощадке, где намечается строительство) лишь о тех землетрясениях, которые в данном районе бывали раньше, но они не говорят о том, как

будут выглядеть последующие землетрясения. Поэтому расчеты при помощи акселерограмм требуют привлечения статистических методов обработки как исходных данных, так и результатов вычислений. При проектировании оригинальных дорогостоящих объектов ничего не остается, как выполнять такие расчеты, поручая их специалистам в области теории вероятности и динамики сооружений. В остальных случаях расчеты на сейсмическое воздействие допустимо вести по правилам, изложенным в нормах проектирования строительных конструкций. Нормами предлагается находить динамические силы, на которые должен выполняться расчет конструкции, по готовым формулам. Эти формулы содержат коэффициенты, зависящие от класса сооружения, его высоты, конструктивных особенностей, грунтовых условий и, конечно же, сейсмоопасности района строительства, измеряемой в баллах. Кстати, увеличение уровня сейсмичности на 1 балл означает возрастание выделяемой при землетрясении энергии вдвое. Входить в детали такого расчета здесь не предполагается. Во-первых, изучать его лучше непосредственно по первоисточнику: нормам проектирования строительных конструкций. Во-вторых, далеко не всем инженерам приходится принимать участие в проектировании сейсмостойких сооружений. Наконец, нормы проектирования со временем меняются, так что цитаты из них не могут быть использованы в качестве справочного материала.

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

3.1. Задача на собственные значения. Ранее многократно подчеркивалось, что в задачах высокой размерности частоты собственных колебаний и собственные формы колебаний можно найти только численно. Обоснованию и анализу различных численных методов решения задач на собственные значения посвящена обширная литература. В настоящем пособии приводятся только самые необходимые сведения, имеющие отношение к обсуждаемой проблеме. Пусть D – квадратная матрица порядка n, а x и y – n-мерные векторы. Равенство

задает преобразование вектора x в вектор y, которое меняет, вообще говоря, как величину вектора x, так и его направление (рис. 3.1a). Особый же интерес представляют собой такие векторы x, которые при преобразовании (3.1) ориентацию сохраняют (рис. 3.1b), т. е.

где λ – некоторое число. Вектор x, обладающий свойством (3.1a), называют

собственным вектором матрицы D, а множитель λ – характеристическим, или собственным, числом указанной матрицы. Именно задача определения собственных векторов и собственных чисел по уравнению (3.1a) и называется задачей на собственные значения матрицы D.

Уравнение (3.1a) можно записать в матричной форме

по существу, ничем не отличающейся от равенства (2.22a). А условие

наличия у уравнения (3.2) ненулевого решения есть не что иное, как иначе записанное соотношение (2.24). Сказанное объясняет истоки той терминологии, что использовалась в предыдущей главе.

Матрица B, в отличие от матрицы D, – симметрическая.

Из равенств (3.1b) и (3.5) следует, что матрицы D = AM и B имеют одинаковые собственные числа, хотя их собственные векторы x и y различны: они связаны между собой равенством (3.6)2.

При решении задач динамики большой размерности матрицу D симметризировать надо обязательно. Объясняется это тем, что численные методы решения задачи на собственные значения симметрических матриц намного проще и эффективнее методов, на симметрию матрицы не рассчитанных.

И последнее замечание. Поскольку матрица B симметрическая и положительно определенная (из-за положительной определенности и симметрии матрицы A и положительности матрицы M ), то все ее характеристические числа, а значит, и все характеристические числа матрицы D, являются положительными вещественными числами.

3.2. Первые собственное число и собственный вектор симметрической матрицы. При решении ряда задач динамики оказывается достаточным найти только частоту основного тона собственных колебаний системы и только ту собственную форму колебаний, которая отвечает этой частоте. В таком случае из спектра (3.4) характеристических чисел определению подлежит лишь число λ1. Ниже описывается один из наиболее удобных способов решения данной задачи.

Пусть квадратная матрица B симметрична, имеет порядок n и

det |D − λE| = 0.

По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна коэффициенту при λn−1, т. е. числу

SpB = b11 + b22 + · · · + bnn,

называемому следом матрицы B и равному сумме ее диагональных элементов. Итак,

Следовательно, SpBm > λm1 , а при достаточно больших m из-за условия λ1 > λ2 > λ3 > · · · все дробные слагаемые в круглых скобках соотношения (3.8) станут пренебрежимо малыми по сравнению с единицей, так что

Формула (3.9)2 лежит в основе следующей итерационной процедуры нахождения числа λ1. Последовательным возведением в квадрат находят матрицы B2, B4, . . ., B2m (m = 1, 2, . . .) и отвечающие им по формуле (3.9)2 верхние оценки λ(2)1 , λ(4)1 , . . . , λ(21 m) числа λ1. Вычисления заканчиваются при

таком m, которое обеспечивает равенство λ(21 m−1) = λ(21 m) с требуемой точностью.

После определения числа λ1 находят отвечающий ему собственный вектор e1. Пусть y – произвольный n-мерный вектор, допускающий разложение по собственным векторам матрицы B с ненулевым коэффициентом при век-

торе e1:

n

y = cjej, c1 = 0.

j=1

Преобразование вектора y матрицей B дает

n n

By = cjBej = cjλjej

j=1 j=1

(ведь Bej = λjej). Такое преобразование повторяется m раз:

При достаточно больших m члены, помещенные в квадратные скобки, становятся исчезающе малыми, поэтому

Bmy ≈ c1λm1 e1,

т. е. при любом выборе y вектор Bmy лишь множителем отличается от коллинеарного ему вектора e1.

Тогда произведение Bmy(k) совпадет со столбцом k матрицы Bm. Сказанное означает, что любой столбец матрицы Bm может рассматриваться как собственный вектор e1 матрицы B. Поскольку множитель α перед вектором e1 несуществен, удобства ради выбранный столбец матрицы Bm нормируют, например, разделив все его элементы на значение первого элемента.

3.3. Метод исчерпывания. Итак, задача отыскания первых собственных числа и вектора матрицы B решена. Как уже отмечалось, зачастую полученных результатов бывает достаточно, чтобы оценить работу конструкции при динамических воздействиях. Но говорилось и о том (см. п. 2.7), что вполне может возникнуть необходимость в определении ряда первых частот спектра и построении отвечающих им собственных векторов. Такую задачу называют частной задачей на собственные значения, в отличие от так именуемой полной проблемы на собственные значения, при решении которой находят весь спектр частот и все собственные векторы.

Частную задачу можно решить методом исчерпывания. Пусть все собственные векторы матрицы B нормированы к единице, т. е. соблюдаются равенства

Так как e1 e1 = 1, а Be1 = λ1e1, то после умножения соотношения (3.10) справа на вектор e1 получится равенство B1e1 = 0 или

B1e1 = µe1,

где µ = 0. Это равенство делает очевидным утверждение: одно из собственных чисел матрицы B1 равно нулю. С другой стороны, если соотношение (3.10) умножить справа на собственный вектор ei (i = 1), ортогональный, конечно же, к вектору e1, то результат будет следующим:

B1ei = λiei, i = .1

Значит, все остальные собственные числа (т. е. весь спектр, за исключением величины λ1) у матриц B1 и B одинаковы и наибольшее собственное значение матрицы B1 есть число λ2. Дальнейший образ действий ясен. Он вытекает из формулы, обобщающей равенство (3.10):

Метод исчерпывания имеет лишь один недостаток. Он заключается в том, что на каждом последующем шаге уменьшается точность из-за накопления вычислительной погрешности. Поэтому полную проблему на собственные значения решают при помощи специальных алгоритмов, более сложных, нежели метод исчерпывания. И еще одно замечание. Случай кратных частот здесь не рассматривается. Если же он встретится, дав о себе знать резким замедлением сходимости итерационного процесса, то нужно заменить формулу (3.9)2 формулой

λ1 = m SpBm/k,

где k – кратность наибольшего характеристического числа. Число k устанавливают экспериментально. В остальном вычислительная схема не меняется.

Остается привести иллюстративный пример. При расчете конструкции, изображенной на рис. 2.6, были найдены собственные числа (2.33) и построены собственные векторы (2.35) матрицы

Для этого использовались вековое уравнение (2.24) и система уравнений (2.22), определяющая амплитуды колебаний. Чтобы решить задачу методом исчерпывания, надо прежде всего симметризовать матрицу D:

И далее вместо каждого значения элемента симметрической матрицы, расположенного ниже главной диагонали, будет ставиться значок . При решении задачи на собственные значения численный множитель при симметризованной матрице (в данном случае – число 3) можно опускать.

Первая оценка числа λ1 равна следу матрицы B:

SpB = 20 + 4 + 144 = 168 ≥ λ1.