Основы механики твердого деформируемого тела

надо придать форму неоднородных уравнений порядка n −1 относительно величин

а затем найти единственное решение полученной системы. Наконец, при помощи отношений (2.28) и с учетом того, что ρ1j = 1 при любом j, перемещения (2.26) записываются следующим образом:

Константы A1j и ϕj , определяющие функции (2.26a), находят из начальных условий: в фиксированный момент времени t0 надо указать n отклонений uoi и n скоростей vio точек сосредоточения масс.

Можно напомнить (см. п. 2.2), что свойство ортогональности собственных форм колебаний относится и к случаю C = n.

Теперь о динамических усилиях. Если числа степеней свободы и расчетных сечений велики, то задача отыскания максимальных и минимальных значений величин Sk при действии инерционных сил становится особо громоздкой. Вычисления осложняются еще и потому, что различные расчетные усилия достигают своих экстремальных значений в различные моменты времени. Избежать чрезмерно громоздких вычислений можно лишь при использовании приближенных способов решения задачи. Однако говорить о таких способах следует после того, когда будут рассмотрены колебания систем с учетом сил сопротивления.

2.6.Собственные колебания с учетом сил сопротивления. Здесь, как

ив п. 1.4, рассматриваются силы сопротивления, обусловленные внутренним трением. Коэффициент k, определяющий силу внутреннего сопротивления (1.31) для систем с одной степенью свободы, связан с коэффициентом ε

затухания колебаний зависимостью (1.36)1: k = 2m1ε. Для системы с n степенями свободы принимается (i = 1, 2, . . . , n)

Ri = −kiu˙ i,

где ki = 2miε, т. е. величина ε считается постоянной. Таким образом,

Ri = −2miεu˙ i.

Если добавить силы Ri к силам инерции Pi, то при C = 2 исходные дифференциальные уравнения задачи о свободных колебаниях системы примут вид:

первое из которых имеет ту же структуру, что и равенство (1.33), описывающее затухающие колебания системы с одной степенью свободы. Это наблюдение позволяет сразу же указать вид искомой функции Φj :

Φj = e−εt sin(ωj t + ϕj ),

причем (как и в случае C = 1) частоты ωj и начальные фазы ϕj определяются без учета сил сопротивления. Именно для вычисления частот ωj и служит второе из уравнений (2.31a), имеющее структуру уравнения (2.22a). Исследования показывают, что чем выше частота ωj , тем быстрее затухают колебания с этой частотой.

2.7. Динамические усилия при наличии сил внутреннего трения. Динамические усилия при свободных колебаниях системы приходится определять в случае импульсных воздействий. Импульс задает начальные условия движения масс системы, что позволяет найти силы инерции, поддерживающие собственные колебания до тех пор, пока последние не прекратятся. Вычисления ведутся по схеме, намеченной в п. 2.4, но с поправками, учитывающими влияние сил внутреннего трения.

На рис. 2.6a изображена невесомая рама с массами, сведенными в четыре точки. Эта система имеет три степени свободы. Сначала надо установить спектр (2.25) частот системы и отвечающий ему набор собственных векторов (2.27). Так как (рис. 2.6b)

u11 = 20a, u12 = 3a, u13 = 30a, u22 = 4a, u23 = 6a, u33 = 48a,

где a = l3/(12EI), то при обозначении

На рис. 2.6c, исполненном при A11 = A12 = A13 = 1, этот результат проиллюстрирован.

Если силы сопротивления отсутствуют, то колебания протекают по закону (2.26a), причем константы A1j и ϕj должны удовлетворять начальным условиям, записываемым при t = 0:

ui(0) = uoi , u˙ i(0) = vio.

Эти условия порождают при помощи формул (2.26a) две изолированные системы уравнений:

При решении каждой из систем (2.36) целесообразно воспользоваться ортогональностью собственных форм колебаний. Для этого уравнения, входящие в системы (2.36), умножаются на числа mi, где i – порядковый номер уравнения. Например, в случае C = 3 указанная операция приведет к следующей трансформации первой системы уравнений из группы (2.36):

Верхняя из полученных зависимостей умножается на ρ11, вторая – на ρ21, третья – на ρ31, после чего результаты складываются:

g1o(ρ211m1 +ρ221m2 +ρ231m3)+[g2o(ρ12ρ11m1 +ρ22ρ21m2 +ρ32ρ31m3)+

+g3o(ρ13ρ11m1 +ρ23ρ21m2 +ρ33ρ31m3)] = uo1m1ρ11 +uo2m2ρ21 +uo3m3ρ31.

Выражение в квадратных скобках обращается в нуль из-за ортогональности различных собственных форм колебаний (см. п. 2.2). Следовательно,

Аналогичный вид имеют формулы и для обобщенных перемещений g2o, g3o,

. . . , q3o. Ясно, что найденное решение может быть распространено и на произвольное число n степеней свободы:

Теперь при помощи формул (2.37) и (2.38) можно определить величины

A1j и ϕj :

Знак перед радикалом выбирается при помощи формул (2.37).

личаются по модулю от верхней границы max |µ| функции |µ(τ )|, равного сумме модулей амплитуд искомого усилия при колебаниях с частотами ω1, ω2 и ω3. Из записи (2.40a) следует, что

max |µ| = 1 + 0, 134296 + 0, 377233 = 1, 5115 .

А каким же будет решение задачи, если учесть силы внутреннего сопротивления? Пусть рассматриваемая рама выполнена из металла и ψ = 0, 05π. (Из сказанного в п. 1.3 вытекает, что такая конструкция имеет довольно слабое демпфирование.) Тогда (см. обозначения (2.41) и формулу (1.39)2

при ω = ω) εit = ψωit/4π = ωit/80, т. е.

График функции (2.40b) в интервале 0 ≤ τ ≤ 2π (т. е. на первом витке колебаний с частотой основного тона) представлен на рис. 2.8. Амплитудные значения изгибающего момента немного (ведь демпфирование мало) уменьшились по сравнению с теми, что были при незатухающих колебаниях. Но уже на втором витке (2π < τ ≤4π) max µ = 1, 04 , min µ = −0, 96 .

Отмеченные особенности характерны не только для рассмотренного примера, поэтому на них и основываются те упрощения динамических расчетов, о которых сейчас пойдет речь. Прежде всего узаконивается поиск экстремальных значений расчетных усилий только на интервале времени, равном периоду колебаний с частотой основного тона, и предлагается не учитывать

внутреннее сопротивление материала конструкции (в этом случае расчет будет выполнен с некоторым запасом прочности). Но при высокой размерности задачи, т. е. при большом числе n степеней свободы динамической системы, вычисления все равно остаются весьма громоздкими, а потому желательны дальнейшие упрощения. В самом конце п. 2.6 было сделано замечание о том, что высокочастотные колебания быстро затухают. Стало быть, при построении динамических эпюр усилий можно учитывать не все компоненты сил инерции, а только те, которые порождены колебаниями с первыми k частотами спектра (2.25). Число k подбирается экспериментально. Последовательно ведутся вычисления при j = 1, 2, . . . , k до тех пор, пока их результаты на двух смежных шагах не окажутся близкими друг к другу с требуемой точностью (например, различие в экстремальных значениях расчетных усилий не превосходит 5%).

Существуют и более радикальные предложения по снижению объема вычислений, также основанные на том, что наиболее опасны колебания с низкими частотами. Дело в том, что при импульсных воздействиях такие колебания протекают с большими амплитудами, а усилия в линейно-упругих конструкциях пропорциональны перемещениям. Если же частота колебаний основного тона очень мала, то зачастую учет всех остальных частот спектра при определении динамических усилий уже и не требуется. Вопрос только в том, что считать очень малой частотой. Предлагается следующий критерий: если период колебаний основного тона превышает 0,4 секунды, то допустимо вычислять силы инерции только по первой частоте собственных колебаний. Если же это не так, т. е. T1 < 0, 4 секунды, то предлагается принимать во внимание три первые собственные частоты, вычисляя расчетное усилие Ri в сечении i конструкции по формуле

Ri = Ri21 + Ri22 + Ri23.

При определении усилия Rij2 (j = 1, 2, 3) учитываются только те силы инерции, которые возникают при колебаниях с частотой ωj . Такой способ действий приводит к максимально возможному снижению объема вычислений, но все же пользоваться им должен только тот, кто профессионально владеет техникой расчетов несущих конструкций на динамические воздействия.

2.8. Вынужденные колебания при гармонической возмущающей силе. Достаточно исследовать проблему для случая C = 2. Если силы сопротивления не учитываются, то задача сводится к отысканию частного решения системы (2.1) при P (t) = Q sin θt (см. п. 1.2.3), т. е. системы

(u1 + u11m1u¨1) + u12m2u¨2 = u10Q sin θt,

(2.42)

u21m1u¨1 + (u2 + u22m2u¨2) = u20Q sin θt.

Из формул (2.3)–(2.5) видно, что определитель уравнений (2.44) лишь тогда обращается в нуль, когда частота θ совпадает с одной из частот спектра свободных колебаний (резонанс). Во всех остальных случаях амплитуды Ci вынужденных колебаний масс сооружения определяются системой (2.44) однозначно. По найденным амплитудам вычисляются силы инерции

Pi(t) = −miu¨i = miθ2Ci sin θt,

достигающие экстремальных значений при sin θt = ±1. Путь к построению динамических эпюр усилий открыт.

Пусть на невесомой раме, изображенной на рис. 2.9a, располагается двигатель массой m. Если ротор двигателя неуравновешен, то при его вращении возникает центробежная сила (1.11), возбуждающая колебания системы. Но теперь, в отличие от случая, рассмотренного в п. 1.2.3, наиболее опасное направление возмущающей силы заранее неизвестно. Поэтому вычисления приходится выполнять дважды – при вертикальном и горизонтальном направлениях воздействия Q, а затем уже с помощью полученных результатов находить экстремальные значения расчетных усилий.

Итак, пусть в каждом расчетном сечении конструкции известны значения SV и SH усилия S, соответствующие вертикальному и горизонтальному

толчкам двигателя. Тогда усилие S, возникающее при произвольном направлении силы Q, можно будет найти по формуле (см. рис. 2.9a)

S = SV sin θt + SH cos θt.

Пусть, для определенности, S > 0. Если это не так, то можно сменить правило знаков для усилия S на обратное и снова прийти к случаю S > 0. Положительное усилие S максимально, если

то величина S достигает максимума при tg θt = SV/SH, причем

Smax = SV2 + SH2.

Если Sconst – значение усилия S при действии постоянной нагрузки, то ординаты огибающей эпюры этого усилия определяются равенствами:

Остается выполнить вычисления в предложенном примере. Пусть число