Основы механики твердого деформируемого тела

ГЛАВА 2. СИСТЕМЫ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ

2.1. Незатухающие собственные колебания систем с двумя степенями свободы. Рассматривается система, несущая две точечные массы m1

иm2, перемещения которых характеризуются параметрами u1 и u2. К системе приложена возмущающая сила P (t). Силы сопротивления движению не учитываются. Моделью такой системы может служить невесомая балка с расположенными на ней сосредоточенными массами (рис. 2.1). В соответствии с принципами Д Аламбера

иналожения

u1 = u11P1 + u12P2 + u10P (t),

u2 = u21P1 + u22P2 + u20P (t).

После подстановки сюда сил инерции P1 = −m1u¨1 и P2 = −m2u¨2 и очевидных преобразований получится система двух линейных дифференциальных уравнений второго порядка относительно перемещений u1 и u2:

(u1 + u11m1u¨1) + u12m2u¨2 = u10P (t),

(2.1)

u21m1u¨1 + (u2 + u22m2u¨2) = u20P (t).

При P (t) = 0 эта система становится однородной (собственные колебания) и ее решением являются гармонические функции

Подстановка перемещений (2.2) и силы P (t) = 0 в соотношения (2.1) с последующим сокращением функции ω2 sin(ωt+ϕ) и использованием обозначения

Тривиальное решение A1 = A2 = 0 однородных уравнений (2.4) отвечает положению равновесия рассматриваемой динамической системы. Оно интереса не представляет. Чтобы прийти к решению, описывающему движение масс, надо приравнять к нулю определитель уравнений (2.4):

Отсюда и из теоремы взаимности единичных перемещений следует, что

Большему´ из корней (2.6) уравнения (2.5) по формуле (2.3) отвечает меньшая частота свободных колебаний системы. Эту частоту называют частотой основного тона и обозначают через ω1. Числам ω1 и ω2 соответствуют свои перемещения (2.2), суммы которых и дают искомое решение задачи:

u1 = A11 sin(ω1t + ϕ1) + A12 sin(ω2t + ϕ2),

(2.2a)

u2 = A21 sin(ω1t + ϕ1) + A22 sin(ω2t + ϕ2).

Функции (2.2a) называют собственными формами колебаний системы. Конфигурация собственных форм полностью определяется амплитудами Ai1 и Ai2 колебаний масс mi с частотами ω1 и ω2. Векторы

компонентами которых являются названные амплитуды, именуются собственными векторами колебаний системы. Величины A1i и A2i при λ = λi

должны удовлетворять двум зависящим друг от друга из-за условия (2.5) уравнениям (2.4). Поэтому связь между числами A1i и A2i устанавливается при помощи какого-либо одного из этих уравнений, например, первого:

Аналогичные выражения для амплитудных значений перемещений и сил инерции можно записать и в том состоянии системы, когда она совершает колебания только с частотой ω2:

По теореме взаимности Бетти (II.9.9) возможная работа

T(1,2) = P1(1)u(2)1 + P2(1)u(2)2

сил состояния 1 на перемещениях состояния 2 равна возможной работе

T(2,1) = P1(2)u(1)1 + P2(2)u(1)2

сил 2-го состояния на перемещениях 1-го состояния. Значит (см. формулы (2.14a) и (2.14b)),

Если ω1 = ω2 (основной случай), то должно обращаться в нуль выражение в квадратных скобках формулы (2.15). Поэтому справедливы равенства:

ω12(m1A11A12 + m2A21A22) = 0, ω22(m1A12A11 + m2A22A21) = 0

или, что то же самое, T(1,2) = 0, T(2,1) = 0.

Таким образом, работа сил инерции, поддерживающих колебания системы с частотой ωi, на перемещениях той же системы, колеблющейся с частотой ωj (i = j), равна нулю. Это свойство, справедливое для систем с любым числом степеней свободы, большим´ единицы, называют ортогональностью собственных форм коле-

баний. Из записи (2.15) следует, что при m1 = m2 ортогональными будут и собственные векторы (2.7).

В случае кратных частот, т. е. при ω12 = ω22, существует бесчисленное множество собственных форм колебаний, среди которых встречаются не только ортогональные друг к другу формы. На рис. 2.3a изображены два возможных направления движения точечной массы, расположенной на ригеле невесомой трехшарнирной рамы. Поскольку (рис. 2.3b) m1 = m2 = m,

u12 = 0, u11 = u22 = l3/3EI, то из формулы (2.6) следует, что

ml3 λ1 = λ2 = 3EI .

с нулевыми коэффициентами при амплитудах A1 и A2. Эти амплитуды могут быть любыми конечными числами. Например, можно положить A1 = = A2 = 1 или A1 = 1, A2 = 2, и так как векторы

линейно независимы, то их можно трактовать как собственные векторы колебаний рассматриваемой системы. Но можно принять

и каждая из этих пар, в отличие от пары (2.16), образует систему взаимно ортогональных векторов.

2.3. О выборе параметров состояния динамических систем. Параметрами состояния механической системы могут быть назначены любые обобщенные перемещения, однозначно описывающие положения масс. Выбор диктуется исключительно соображениями удобства решения задачи. Так, свободные колебания системы, изображенной на рис. 2.4a, можно описать при помощи перемещений u1 и u2, указанных на этом же рисунке. Несложные вычисления, ради краткости опущенные, дают:

Еще проще решается задача при выборе параметров состояния согласно рис. 2.4b. Тогда u12 = 0 и частоты собственных колебаний можно найти по формуле ωi2 = = 1/miuii. Так как

то результат (2.17) следует незамедлительно. А вот решать задачу в косоугольном базисе (рис. 2.4c) нельзя, хотя внешне он очень удобен: приводит

к локальным и одновременно ортогональным усилиям N 1 и N 2. Дело в том, что при перемещениях u1 и u2, перпендикулярных друг к другу, колебания массы m в направлении u1 никак не сказываются на величине силы инерции P2 и наоборот – движение той же массы вдоль линии u2 не отражается на значении силы P1. Если же угол между направлениями u1 и u2 не равен 90o, то смещение массы по линии u1 или u2 приводит к появлению сразу двух сил инерции: P1 и P2. Поэтому для определения частот ω1 и ω2 не могут быть использованы формулы, полученные без учета отмеченного обстоятельства (например, формула (2.6)). При неортогональных друг к другу параметрах состояния задача решается при помощи аппарата тензорного исчисления. В рамках настоящего курса такое решение выполнить не удастся. Но правило, которое вытекает из сказанного выше, запомнить нетрудно: полный вектор перемещений точки, в которой сосредоточена какая-либо из масс системы, следует раскладывать только по взаимно перпендикулярным направлениям.

2.4. Динамические усилия при незатухающих колебаниях. При построении динамических эпюр усилий возникают проблемы, в сути которых лучше всего разобраться на примере колебаний системы с двумя степенями свободы. Решается задача об определении наибольших и наименьших значений расчетных усилий Sk (k – номер расчетного сечения), возникающих в конструкции, например, после того, как система испытала импульсное воздействие.

Пусть законы (2.2a) движения масс системы установлены, а потому силы инерции Pi = −miu¨i, поддерживающие ее колебания, известны. Искомое усилие Sk может быть представлено в виде:

Sk = P1bk1 + P2bk2 = −m1u¨1bk1 − m2u¨2bk2,

где bki – числа, зависящие от положения сечения и вида усилия. С учетом формул (2.2a) и обозначения

Ski = ωi2(Ai1m1bk1 + Ai2m2bk2)

для амплитудного значения усилия Sk , возникающего при действии силы инерции Pi (i = 1, 2), можно записать:

Требуется отыскать наибольшее и наименьшее значения функции (2.18), что сделать не так просто, как может показаться на первый взгляд. Дело в том, что частоты ωi – числа в общем случае иррациональные, а потому

и задача сводится к отысканию max µ и min µ в интервале [0, 2π], ибо период функции cos τ равен 2π. При этом (см. формулы (2.19) и (2.20a))

График функции (2.20a) представлен на рис. 2.5. Значения max µ = 9, 9597 и min µ = −9, 5037 отличаются от оценок (2.21) менее чем на 5%, что находится в допустимых пределах погрешности прочностных расчетов строительных конструкций. При таком результате какой-либо еще анализ задачи не требуется. И все же любопытно будет узнать, что при τ = 37, 7035 приведен-

ное усилие (2.20a) принимает значение

µ= 9, 999988 ≈ 10, а при τ = 248, 175 –

µ= −9, 99918 ≈−10.

2.5.Собственные незатухающие колебания систем с произвольным числом степеней свободы. Система исходных уравнений рассматриваемой задачи может быть записана по аналогии с системой (2.1). Такая система

состоит теперь из n уравнений и содержит n искомых функций ui(t). При P (t) = 0 (собственные колебания) эти функции имеют вид

ui = Ai sin(ωt + ϕ).

По аналогии с равенствами (2.4) составляются и однородные алгебраические уравнения относительно амплитуд Ai:

Чтобы иметь не только тривиальное решение системы (2.22), надо положить

Данное уравнение степени n относительно параметра λ называют вековым уравнением, или уравнением частот. Название пришло из астрономии. Именно при помощи равенства (2.24) вычисляют периоды движения систем планет по своим орбитам, а периоды вращения многих планет, действительно, очень велики. Например, Нептун делает один оборот вокруг Cолнца за 165 лет, а Плутон – за 249 лет.

Если n > 3, то решение уравнения (2.24) в замкнутом виде представить нельзя. Его корни

λ1 > λ2 > · · · > λn

приходится отыскивать численно (см. следующую главу). По формуле (2.3) им отвечают частоты

Последовательность чисел (2.25) называют спектром частот собственных колебаний системы с n степенями свободы, а частоту ω1 – частотой основного тона или просто основной частотой. Собственные формы колебаний записывают в виде:

Величины Ai1, . . ., Ain, характеризующие колебания массы mi c частотами ω1, . . ., ωn, могут быть выражены через амплитуды Ak1, . . ., Akn колебаний некоторой выделенной массы mk , входящей в систему. Пусть в качестве массы mk выбирается масса m1. Тогда любым n−1 независимым уравнениям из однородной системы (2.22), записанным при λ = λj и A1 = A1j , . . . , An = Anj ,