Основы механики твердого деформируемого тела

При помощи символа u1 записывается приближенное значение рассматриваемого перемещения u1.

Если, например, τ = T /6, то в соответствии с равенствами (1.24) и (1.25)

т. е. погрешность приближенной формулы менее 5%. Следует отметить, что при импульсивном воздействии τ << T /6.

При P = const импульс (1.21) возмущающей силы равен величине P τ , а потому P = S/τ и uст = P u10 = Su10/τ . Это позволяет записать формулу

Пусть теперь сила P (t) меняется на интервале [0, τ ] по линейному закону

1.3. Учет сил сопротивления. Колебания (1.3) ничем не ограничены во времени, а потому их называют незатухающими. Однако по ряду причин система, выведенная из состояния покоя и не получающая притока энергии извне, довольно скоро прекращает движение и останавливается. Как уже отмечалось в начале п. 1.1, одной из причин затухания колебаний строительных конструкций является рассеивание (диссипация) механической энергии на выделение тепла, что связано с необратимыми деформациями материала. Говорят, что материал конструкции испытывает внутреннее трение. На затухание колебаний влияют и силы сопротивления со стороны окружающей среды. Эти силы, пропорциональные квадрату скорости движения, существенны лишь при очень быстрых колебаниях или при колебаниях в плотных средах. В настоящем пособии задачи, связанные с учетом сопротивления среды, не рассматриваются.

Силы трения в опорных и междисковых связях дают о себе знать лишь на заключительной стадии движения, когда амплитуды колебаний и скорости перемещений масс заметно снижаются. Этот этап деформирования сооружения изучать нет смысла.

Для того чтобы описать свободные затухающие колебания системы, исследуют связь между силой инерции P1, поддерживающей движение, и перемещением u1 точки приложения этой силы в предположении, что возмущающего воздействия нет. График зависимости P1(u1) для идеальной системы, т. е. системы, сохраняющей механическую энергию, представлен на рис. 1.11a. Точка на прямой AA отвечает положению системы в некоторый момент времени t, определяя взаимно однозначную связь между силой P1(t) и перемещением u1(t). При движении из состояния A система, минуя положение равновесия 0, переходит в состояние A , после чего снова возвращается на исходную позицию A. Колебания по описанной схеме продолжаются сколь угодно долго. Однако на самом деле зависимость P1(u1) получается иной (см. рис. 1.11b). При движении системы из состояния A наблюдается запаздывание перемещения u1, т. е. сила P1 достигает нуле-

вого значения раньше, чем указанное перемещение (см. на рис. 1.11b точку C). Кроме того, находящиеся в противофазах точки A и A неодинаково удалены от положения равновесия 0 и после полного цикла колебаний система в состояние A не возвращается. Движение системы осуществляется по спирали и завершается остановкой в позиции 0.

Рассеивание механической энергии, приводящее в конечном счете к остановке системы, происходит на каждом цикле колебаний. Мерой рассеивания служит отношение

где W – энергия, затрачиваемая на поддержку одного цикла колебаний идеальной системы, а ∆W – энергия, которую за один цикл теряет реальная система. Безразмерный параметр ψ называется коэффициентом поглощения энергии. При определении величины ∆W можно с достаточной для практических целей точностью считать, что точки A и A на диаграмме ”P1–u1” равноудалены от центра 0, а траектория движения является замкнутой кривой, для которой прямая линии AA является осью симметрии (см. рис. 1.11c). Эту кривую называют петлей гистерезиса: от греческого νστ ερησιζ – запаздывание, отставание. Площадь фигуры, ограниченная петлей гистерезиса, равна потерянной системой энергии.

При свободных колебаниях два смежных цикла n и n+1 отстоят друг от друга во времени на период T . Пусть амплитуды этих циклов суть an и an+1 и пусть им отвечают петли гистерезиса Gn и Gn+1 (рис. 1.12). Величина ∆W , входящая в формулу (1.28), численно равна потере потенциальной энергии при переходе из состояния Gn в состояние Gn+1. Так как (учиты-

так называемый логарифмический коэффициент затухания, или логарифмический декремент колебаний. Согласно формуле (1.28a), коэффициент поглощения энергии ψ связан с декрементом колебаний δ равенством

Эксперименты показывают, что величины ψ и δ зависят от типа конструкции и ее материала, но не зависят от частоты ω свободных колебаний. Например, для стальных дымовых труб ψ = 0, 11, а для стальных мостов ψ = 0, 17. Коэффициент ψ поглощения энергии колебаний каменных и железобетонных конструкций находится в пределах 0, 5÷0, 7. Однако для того, чтобы привлечь эти и другие экспериментальные данные к расчету инженерных конструкций, необходимо опереться на какую-либо модель материала с внутренним трением. Предлагаемая модель должна достаточно точно описывать реальные материалы и в то же время позволять более или менее просто составлять и решать определяющие уравнения динамических задач. Одной (и самой простой) из таких моделей является вязкоупругая модель Кельвина, по которой силы сопротивления принимаются пропорциональными скорости движения. Развил же теорию вязкоупругого тела до состояния, пригодного для практического использования, немецкий исследователь Фойгт. Для системы с одной степенью свободы модель Кельвина – Фойгта приводит к силе сопротивления

прикладываемой в точке сосредоточения массы m1 по направлению движения этой массы. Коэффициент пропорциональности k равен силе вязкого сопротивления при движении точечной массы со скоростью, равной единице. Этот коэффициент связан с величиной ψ зависимостью, которая будет получена в следующем пункте.

1.4. Собственные колебания при учете сил внутреннего трения.

Пусть к системе с одной степенью свободы (рис. 1.13) наряду с силой инерции P1 прикладывается сила сопротивления (1.31). Пусть также имеется и возмущающее воздействие, влияние которого на колебательный процесс будет исследовано в дальнейшем. Из принципа наложения следует, что

u1 = u11P1 + u11R1 + u10P (t),

и уравнение движения системы имеет вид (ср. с уравнением (1.1)):

где α, C – константы. Подстановка функции (1.34) в уравнение (1.33) приводит к характеристическому уравнению относительно постоянной α:

При большом внутреннем трении, т. е. при больших значениях коэффициента k, подкоренное выражение в формуле (1.35) будет положительным, а корни α1 и α2 характеристического уравнения – отрицательными. Каждому из этих корней отвечает своя экспонента (1.34), сумма которых и дает искомое решение задачи:

u1 = C1e−|α1|t + C2e−|α2|t.

График зависимости u1(t) представлен на рис. 1.14a. Колебания отсутствуют: выведенная из состояния покоя система медленно возвращается в исходное положение. Так, например, двигалась бы масса системы, если бы конструкция была выполнена из вязкоэластичного полимера – материала с большим внутренним трением.

При k2/4m21 < 1/m1u11 корни (1.35) характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными числами.

Пусть

Тогда α1,2 = −ε ± ω i, где i – мнимая единица, и решение уравнения (1.33) может быть записано в виде:

u1 = e−εt(C1eiω t + C2e−iω t)

Из-за комплексной сопряженности чисел αi константы C1 и C2 также являются комплексно-сопряженными, а потому их комбинации C1 + C2 и i(C1 −C2) – вещественные числа. При обозначениях

В скобках стоит гармоническая функция, которая может быть представлена и иначе (см. формулы (1) и (1a) на с. 580):

Множитель e−εt убывает с течением времени. С его помощью как раз и описывается эффект затухания колебаний. Мера затухания определяется параметром ε, который связан с коэффициентом k первой из формул (1.36): ε = k/2m1. С другой стороны, величина ε обуславливает амплитуды циклов

Следовательно, вязкие силы сопротивления не сказываются на частоте и периоде собственных колебаний системы, что согласуется и с экспериментальными данными.

Теперь частоту ω в формулах (1.39) можно заменить на частоту ω:

Из этой записи видно, что величины ε и k константами материала не являются, ибо на них через частоту ω влияют также размеры конструкции, способы ее закрепления и масса m1.

На наибольшем отклонении системы из положения равновесия силы внутреннего сопротивления сказываются более заметно, чем на частоте и периоде колебаний, хотя тоже не так уж и существенно. Имеет смысл рассмотреть колебания при начальных условиях u(0) = 0, u˙ (0) = v0. В этом случае перемещение u1 достигает наибольшего значения позже, чем при

любых иных начальных условиях. (Например, ес-

ли u(0) = u0 ≡ a, u˙ (0) = 0, то max |u1| = a = u(0), что и показано на рис. 1.15a.) Тогда (рис. 1.15b)

max |u1| = ae−εT /4 = ae−επ/2ω .

С учетом формулы (1.40)2 отсюда следует (ведь

ψ < 0, 8):

max |u1| = ae−ψ/8 ≥ ae−0,1 = 0, 905a.

(Для металлических конструкций ψ < 0, 2 и max |u1| > 0, 975a.) Из сказанного становится ясным, почему нормами проектирования строительных конструкций разрешается выполнять динамические расчеты по модели идеальной системы, а эффект затухания колебаний учитывать при помощи специально вводимых коэффициентов или специальных приемов, о которых более подробно будет сказано в следующей главе.

1.5. Вынужденные колебания при учете сил внутреннего трения.

Задача состоит в интегрировании уравнения (1.32) по заданной силе P (t). Ниже будет получено решение лишь для гармонической возмущающей силы (см. п. 1.2.3)

P (t) = Q sin θt.

Выбор именно такого воздействия объясняется просто: любую нагрузку P (t) можно разложить в ряд Фурье по синусам, так что рассматриваемая в настоящем пункте задача представляет общий интерес.

Пусть сила P (t) приложена по направлению движения массы m1, т. е. u10 = u11. В этом случае (см. также обозначения (1.2) и (1.36)1) уравнению (1.32) можно придать вид:

Общее решение (1.37a) этого уравнения известно, частное решение разыскивается в виде суммы двух гармонических функций:

Подстановка двучлена (1.42) в равенство (1.41) и приравнивание к нулю

Постоянные A и B определяются начальными условиями.

Из-за наличия множителя e−εt подчеркнутые члены в формуле (1.45) быстро станут исчезающе малыми и колебания будут продолжаться по за-

Это и есть амплитуда вынужденных колебаний при гармонической возмущающей силе. С учетом обозначений (1.44) последнюю формулу можно записать следующим образом:

График зависимости динамического коэффициента µ от частоты вынужденных колебаний приводится на рис. 1.16 при различных значениях параметра γ. Случай γ = 0 отвечает идеальной системе (см. п. 1.2.3, рис. 1.7). Но и при γ = 0 амплитуда вынужденных колебаний становится наибольшей при резонансе, т. е. тогда, когда θ = ω. Однако теперь величина резонансного динамического коэффициента конечна.