Основы механики твердого деформируемого тела

ГЛАВА 1. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

1.1. Собственные колебания системы без учета сил сопротивления.

Пусть на невесомой конструкции сосредоточена точечная масса m1, движение которой определяется перемещением u1(t). Кроме того, имеется заданная сила P (t), возбуждающая колебания. Предполагается, что ни сопротивление среды, ни трение в соединениях, ни так называемое внутреннее трение (т. е. рассеивание механической энергии из-за необратимых деформаций материала) не оказывают существенного влияния на колебательный процесс. Требуется описать движение данной системы.

Решение задачи начинается с того, что по направлению движения массы

Затем используется принцип наложения, который позволяет представить искомое перемещение в виде:

u1 = u11P1 + u10P (t).

Обозначения для единичных перемещений u11 и u10 обычные. Иллюстрацией к сказанному служит рис. 1.1.

Полученное уравнение после подстановки в него

Линейное дифференциальное уравнение (1.1) должно интегрироваться с учетом двух начальных условий. Если возмущающая сила P (t) отсутствует, то система совершает свободные (собственные) колебания. Чтобы возбудить их, надо вывести систему из состояния покоя, а затем предоставить ее самой себе. В этом случае уравнение (1.1) становится однородным:

а его решением являются гармонические колебания

Формулы (1.6a) используются при построении эпюр динамических усилий. На рис. 1.2a изображена невесомая консоль, несущая на свободном

конце массу m. Так как m1 = m и

l3 u11 = (M 1, M 1) = 3EI ,

то, согласно формуле (1.2),

ω2 = 3mlEI3 .

На конструкцию действуют сила веса P = mg и сила инерции P1. Опасны два способа приложения этих сил, указанные на рис. 1.2b. Пусть, для определенности, v0 = = 0, а величина u0 задана. Тогда (см. формулы (1.6a))

max |P1| = m1ω2u0.

При ω2u0 > g огибающая эпюра изгибающих моментов имеет вид, представленный на рис. 1.2c.

Следующий пример демонстрирует ход решения задачи в случае, когда система с одной степенью свободы имеет несколько точечных масс (рис. 1.3a). Состояние системы характеризуется углом ϕ поворота жесткого диска. Последний крепится к земле при помощи шарнира A и пружины B заданной жесткости r. Жесткость r – это реактивная сила, которая возникает в пружине при изменении ее длины на единицу. На рис. 1.3b показано одно из возможных положений системы в процессе колебаний. Силы инерции P1, P2, P3 направлены в сторону перемещений u1, u2, u3 соответственно. Очевидно (u1 = 2lϕ, u2 = u3 = lϕ),

m1 = m2 = 2m, m3 = m, uB = 2lϕ.

Уравнение движения составляется как условие равновесия ΣMA = 0. При этом учитывается, что величины ui пренебрежимо малы по сравнению с размером l (рис. 1.3c):

ΣMA = 0 : P1 · 2l + P2 · l + P3 · l − VB · 2l = 0

и из сравнения этой записи с формулой (1.1a) следует, что

ω2 = 4r/11m.

1.2. Вынужденные колебания системы без учета сил сопротивления. Колебания, протекающие при наличии возмущающей силы P (t), называют вынужденными. Задача о вынужденных колебаниях сводится к интегрированию неоднородного дифференциального уравнения (1.1) по заданной функции P (t). Общее решение (1.3) указанного уравнения уже имеется, а частное решение можно получить, например, методом вариации постоянных. Этот метод хорош тем, что позволяет при любом воздействии P (t) записать частное решение уравнения (1.1) в квадратурах. Однако для тех возмущающих воздействий, которые рассматриваются в настоящем пособии, прибегать к готовым квадратурным формулам нет необходимости: непосредственное интегрирование уравнения (1.1) оказывается более простой операцией. Приводимые ниже решения ряда задач подтверждают сказанное.

1.2.1. Колебания системы при внезапно появляющейся силе. Пусть в момент времени t0 = 0 к системе прикладывается сила P , которая затем остается постоянной. В этом случае постоянной будет и правая часть уравнения (1.1), так что его решение очевидно:

Следует отметить, что как раз на величину u10P переместилась бы точка сосредоточения массы, если бы сила P прикладывалась достаточно медленно, т. е. статически. Поэтому перемещение u10P называют статическим

Пусть при t = 0 система находится в покое. Тогда из равенств (1.7) и (1.8) следует:

u1 = uст(1 − cos ωt).

Величину, заключенную в круглые скобки, называют динамическим коэффициентом и обозначают через µ:

µ = 1 − cos ωt.

Этот коэффициент показывает, во сколько раз динамическое перемещение отличается от статического:

Интерес представляет максимальное значение функции µ(t). Оно достигается в тот момент времени, когда cos ωt = −1, и равно 2. Графики функций P (t) и u1(t) приведены на рис. 1.4.

1.2.2. Колебания при линейно возрастающей силе. Пусть сила P (t) линейно зависит от времени:

P (t) = βt (0 ≤ t),

где β – константа. Эта зависимость приближенно описывает нарастание давления взрывной волны. Если в некоторый фиксированный момент времени t = τ сила P (t) достигает значения P , то β = P/τ и

P (t) = Pτ t.

При такой силе уравнение (1.1) имеет решение

в котором статическое перемещение uст определяется формулой (1.8). Если в начальный момент времени t = 0 система находилась в состоянии покоя, то перемещение u0 и скорость v0 равняются нулю. Тогда

B = 0, A = −uτ стω

Графики функций P (t) и u1(t) даны на рис. 1.5.

Наибольшие напряжения в конструкции возникают в тот момент времени, когда динамический коэффициент (1.10) максимален. Если нагрузка действует в интервале времени [0, t ], то надо найти такое время t1 из этого интервала, при котором функция (1.10) достигает глобального максимума.

π, 2π, . . . Сказанное означает, что все стационарные точки – это точки перегиба, а потому функция µ(t) монотонно возрастает по t. Стало быть, наиболее опасен момент времени t1 = t .

1.2.3. Колебания при гармонической возмущающей силе. Гармоническая возмущающая сила возникает, в частности, при вращении неуравновешенных частей электродвигателей. Так, если ось вращения ротора массой m0 находится от оси, проходящей через центр массы m0, на расстоянии e, то возникнет центробежная сила (рис. 1.6)

Q = m0v2 . e

Линейная скорость v движения центра масс может быть выражена через угловую скорость θ вращения ротора: v = θe. В свою очередь (см. формулу (3) на с. 580), θ = πn0/30, так что

π2n2m e

Q = 0 0 . (1.11) 900

В ряде случаев расчетные усилия в конструкции обуславливаются действием лишь вертикальной составляющей

QV = Q sin θt

вая частота вынужденных колебаний, обусловленных гармонической силой. Характер изменения динамического коэффициента при наращивании оборотов двигателя представлен на рис. 1.7. Если θ = n0 = 0, то µ = 1: при неработающем двигателе нет и динамического эффекта. По мере увеличения частоты θ в диапазоне от 0 до ω коэффициент µ возрастает. При

θ = ω наступает резонанс. Теоретически перемещение u1 становится неограниченным: µ → ∞. На самом деле величина u1 конечна (см. далее п. 1.5), но она столь велика, что появляется угроза выхода конструкции из строя. Вот почему правилами проектирования строительных конструкций верхнее значение коэффициента µ ограничено числом 2: µ ≤2. Из формулы (1.15)2 следует, что это ограничение можно записать так:

θ ≤ 0, 7ω.

Если система прошла через резонанс, то функция µ(θ) становится отрицательной. Колебания протекают в противофазе: перемещение u1 имеет направление, противоположное направлению возмущающей силы. При неограниченном возрастании величины θ амплитуда вынужденных колебаний стремится к нулю.

1.2.4. Колебания при кинематическом возмущении системы. Примером динамического кинематического воздействия служат колебания основания сооружения при землетрясении. Пусть U0(t) – заданное смещение некоторой опоры системы с одной степенью свободы, а u10 – перемещение по направлению движения массы m1 от воздействия U0 = 1. Поскольку масса m1 совершает также и собственные колебания u1(t), то колебательный процесс поддерживается силой

а так как u1(t) = u11P1(t), то (см. обозначение (1.2))

ческим воздействием, уравнению (1.19) можно придать вид, мало чем отличающийся от традиционной записи (1.1):

кратковременной нагрузки, именуемая импульсом силы, может быть установлена по количеству движения тела, оказывающего воздействие на систему. Однако прежде, чем воспользоваться импульсом S для исследования ее (системы) колебаний, полезно на примерах убедиться в том, что, не зная его, решить задачу о движении системы при действии произвольной кратковременной силы не удастся. Для этого достаточно задаться двумя различными законами изменения силы P (t) на одном промежутке времени, получить основные характеристики движения системы для каждой из нагрузок и сравнить результаты.

Итак, пусть сначала сила P на интервале [0, τ ] не меняется (рис. 1.9a). Решение уравнения (1.1) можно записать, отталкиваясь от формул (1.7a) и (1.3):

Таким образом, при t [0, τ ] масса m1 движется по закону, отвечающему внезапно приложенной возмущающей силе, а после снятия нагрузки система совершает свободные гармонические колебания. При t = τ из верхней строки (1.22) следует

u1(τ ) = uст(1−cos ωτ ), u˙ 1(τ ) = ωuст sin ωτ.

Величины u1(τ ) и u˙ 1(τ ) принимаются в качестве начальных параметров u0 и v0 для определения констант A и B, характеризующих движение массы

График функции (1.22) изображен на рис. 1.9b. Штриховой линией показан закон колебаний при внезапно приложенной силе P , которая в интервале [0, ∞] не меняется (ср. с рис. 1.4).

Максимальное значение перемещения u1 можно найти при помощи первого из соотношений (1.6), если подставить в него константы A и B по формулам (1.23):