Основы механики твердого деформируемого тела

Следовательно, все константы в формулах для прогиба (9.26) и производных

однозначно выражаются через параметры (9.25), а потому через них однозначно выражаются и зависящие от производных (9.28) напряжения и усилия в плитах (см. п. III.1.4).

Пусть

соответственно векторы деформаций (изменений кривизн и кручения срединной плоскости) и перемещений в малых окрестностях узлов конечного элемента. Если записать соотношения (9.28) для точек (x1, y1), . . ., (x4, y4), то получится 12 уравнений, связывающих друг с другом компоненты векторов χ и W , т. е. кинематические уравнения прямоугольного плиточного элемента:

Структура квадратной матрицы A 12-го порядка определяется видом зависимостей (9.27).

Сопряженными с компонентами вектора χ по работе статическими параметрами состояния тонких плит являются изгибающие и крутящий моменты, даваемые формулами (III.1.10):

Значения этих усилий в узлах прямоугольного конечного элемента вносятся в вектор

Структура матрицы B вытекает из формул (9.30) при сопоставлении столбцов M и χ (i = 1, 2, 3, 4):

Равенство (9.31) представляет собой компактную запись физических уравнений прямоугольного плиточного элемента. Статические уравнения порождаются соотношением (9.29) и принципом двойственности:

A M = P,

где

P = [Pz1 My1 Mx1 Pz2 . . . Mx4] −

вектор узловой нагрузки. Его компонентами являются вертикальные сосредоточенные силы и сосредоточенные моменты, прикладываемые в узлах элемента. При распределенной по поверхности плиты вертикальной нагрузке воздействий Mx1 и My1 не будет.

Таким образом, вывод полной системы уравнений прямоугольного плиточного элемента завершен и сделан он был прямым методом. Далее надо выполнить сопряжение элементов по схеме, о которой шла речь в п. 9.2. Здесь это не делается. Не показывается ниже и то, что полином (9.26) удовлетворяет критериям 1–2 сходимости конечноэлементного решения задачи к точному (см. п. 9.3). Достаточное условие 3 сходимости не соблюдается, ибо полином (9.26) не является полным. Функция (9.26) обеспечивает непрерывность прогибов w(x, y) по всей плите, а также совместность углов поворота касательных к поверхности w(x, y) вдоль линий соприкосновения двух смежных элементов. А вот в направлениях, ортогональных к этим линиям, углы наклона касательных к поверхности w(x, y) для смежных конечных элементов будут разными.

9.6. Пространственная задача теории упругости. Самым большим достоинством метода конечных элементов является его универсальность. Он с равным успехом применяется для расчета стержневых конструкций, плит, оболочек, трехмерных объектов, сколь сложную форму те не имели бы, а также ком-

бинированных конструкций, состоящих из тел всех указанных типов. И в

векторы напряжений и узловой нагрузки соответственно. Тогда A σ = P. Это есть статическое уравнение пирамидального конечного элемента. Физические уравнения представляют собой обобщенный закон Гука (I.6.6), которому придается матричная форма ε = Bσ. Здесь

Для того, чтобы приступить к решению конкретных задач, нужно выполнить все операции по сопряжению элементов и перейти к системе разрешающих уравнений. Впрочем, после всего сказанного выше в таком напоминании особой необходимости нет.

9.7. Заключительные замечания. Рассказ о самом распространенном методе прочностного расчета конструкций подходит к концу. Своей популярностью он во многом обязан тому, что его теория и практика инвариантны по отношению к типам конструкций и формам исследуемых тел. И в самом деле, вне зависимости от вида напряженно-деформированного состояния тела, все начинается с назначения полей перемещений и вывода на их основе полной системы уравнений состояния конечного элемента, после чего элементы сопрягаются с целью образования полной системы уравнений тела. Наконец, делается переход от этой системы к разрешающим уравнениям задачи в перемещениях. Такой образ действий, по существу, ничем не отличается от того, что предпринимался при расчете стержневых конструкций (см. главы 1–2), а также близок к процедуре построения метода перемещений, описанной в главе 6. Вот почему метод конечных элементов излагается именно в этой части курса механики деформируемого твердого тела. Надо полагать, что после прочтения глав 1, 2, 6 и 8 воспринимать материал настоящей главы было не так уж и сложно.

И все же не надо думать, что метод конечных элементов совсем прост. Конечно, любое тело можно представить в виде набора тех или иных конечных элементов. Вопрос только в том, как много потребуется таких элементов для обеспечения нужной точности вычислений. Затем последуют новые вопросы. Как выбрать наиболее рациональное разбиение тела на конечные элементы? При обсуждении рис. 9.9 выяснилось, что иметь ответ на этот вопрос весьма важно. Далее, как нужно нумеровать узлы конечноэлементной сетки и сами конечные элементы? От такой нумерации зависит структура матрицы A статических и кинематических уравнений задачи, а значит, –

объем и точность вычислений. Важно также знать, до какой степени имеет смысл усложнять аппроксимацию полей перемещений. Ведь чем точнее описываются эти поля, тем более редкую сетку можно выбирать для разбиения тела на элементы. С другой стороны, любая детализация функций, представляющих перемещения u, v, w, приводит к усложнению структуры той же матрицы A, а также матрицы B физических уравнений задачи.

Существуют и такие проблемы, которые связаны с автоматизацией метода конечных элементов. К ним, в частности, относится разработка алгоритмов вычислений и первичной обработки информации, например, разбиение на конечные элементы тел, имеющих сложную форму, по минимально необходимой информации о геометрии тела и его физических свойствах. Подобные вопросы можно ставить и дальше, но и сформулированных выше достаточно, чтобы объяснить продолжающийся поток исследований по теории и практике метода конечных элементов. И все же об одном из направлений в этой области следует сказать особо.

Чтобы рассчитать с удовлетворительной точностью конструкцию сложной формы, ее приходится разбивать на тысячи и даже сотни тысяч элементов. Увеличение же размерности задачи, как известно, может привести к потери точности, связанной с накоплением вычислительной погрешности, а потому результаты могут оказаться столь же плохими, как и при выборе редкой сетки разбиения тела на конечные элементы. Кроме того, решение задач большой размерности требует значительных затрат времени. Для многостержневых конструкций аналогичная проблема решалась при помощи выбора сложной основной системы (см. п. 8.5). По существу, такой же выход из положения предлагается и здесь. Речь идет об использовании так называемых суперэлементов.

На рис. 9.12 изображена схема корпуса судна, на которой выделены три крупные части

– суперэлементы. Эти части представляются в виде набора обычных конечных элементов, после чего исследуются их (частей) напряженнодеформированные состояния при внешней нагрузке, а также при приложении единичных сил взаимодействия по линиям сопряжения суперэлементов. Наконец, выполняются вычисления, связанные с обеспечением совместной работы суперэлементов. При таком подходе число решаемых задач возрастает, но размерность каж-

дой из них намного меньше размерности исходной задачи.

КОММЕНТАРИИ К ЛИТЕРАТУРНЫМ ИСТОЧНИКАМ

К главе 1

Первые учебники по строительной механике, в которых имелись разделы, посвященные полной системе уравнений стержневой конструкции, появились в 80-е годы XX века. К ним, в частности, относятся издания [24, с. 47–58], [1], [8]. Монографии на эту тему выходили и раньше [26].

К главе 2

Теория стержневых конструкций как систем с конечным числом степеней свободы дана в книге Л. А. Розина [26]. В курсе [1, с. 76–121] дается более компактное изложение этой теории. И все же приступать к ее изучению до того, как будут освоены классические методы строительной механики (см. главы 5–7 комментируемого раздела настоящего пособия), нецелесообразно.

Кглаве 3

Окинематическом анализе стержневых конструкций говорится в любом курсе строительной механики. Как правило, замкнутая теория кинематического анализа в учебной литературе не дается. Дело сводится к тому, что в разделы, посвященные расчету тех или иных классов конструкций, включаются отрывочные сведения об анализе структуры этих конструкций [21, с. 22–32, 103–110]. Исключением является учебник В. А. Киселева [13,

с.18–20, 25–63, 306–312], в котором основные положения кинематического анализа систем с достаточным числом связей сформулированы в общем виде и подкреплены выразительными примерами.

Кглаве 4

Многочисленные примеры построения линий влияния усилий в самых различных статически определимых конструкциях имеются у И. М. Рабиновича [21, с. 42–68, 144–170], а также в курсе В. А. Киселева [13, с. 64–94, 113–117, 134–158, 174–190]. Остальные учебники из приводимого в конце настоящего курса списка также содержат информацию о построении и использовании линий влияния [8, 24, 29], но ничего принципиально нового по сравнению с книгами [13, 21] в них нет.

К главе 5

Метод сил важен для строительной механики прежде всего в идейном отношении: на нем держится классическая концепция расчета статически неопределимых стержневых систем. Можно рекомендовать начинать знакомство с этим методом по учебнику И. М. Рабиновича [21, с. 251–257], в котором всего на 7 страницах дается четкое и достаточное для понимания сути дела изложение основ метода. Особое внимание следует обратить на то, как И. М. Рабинович трактует расчет конструкций на осадку опорных устройств. Естественно, метод сил не обойден вниманием и во всех других учебниках по строительной механике [8, 13, 24, 29], а также в монографиях, посвященных этой дисциплине [26, 27, 43, 46].

К главе 6

Необходимые начальные сведения о методе перемещений компактно изложены в курсе А. Р. Ржаницына [24, с. 95–102]. Полезно также ознакомиться с рассказом об этом методе в книге [29, с. 391–450], написанной А. Ф. Смирновым с соавторами, обратив внимание на те места, в которых трактуется понятие степени кинематической неопределимости стержневых конструкций и сопоставляются две их расчетные модели: из растяжимого и нерастяжимого материалов [29, с. 401–407, 448–450].

К главе 7

Наиболее сжато смешанный метод представлен в учебниках [21, с. 376– 378] и [24, с. 103–105]. Столь же компактно говорится в учебнике И. М. Рабиновича [21, с. 375–376] и о комбинированном способе расчета рам. Кстати, курс [21] примечателен еще и тем, что в нем приводятся исторические сведения о развитии каждого из важных направлений строительной механики.

К главе 8

Матричные методы расчета стержневых конструкций по-разному описываются в литературе. Так, в книге А. П. Филина [43, с. 76–95, 136–199] даются алгоритмы Аргириса и матричная форма метода начальных параметров, рассказывается о том, чем объясняется неустойчивость решений систем канонических уравнений в строительной механике. В книге Л. А. Розина [26] речь идет о расчете многостержневых конструкций на основе полной системы уравнений. Такой же конечноэлементный подход используется в учебнике А. Р. Ржаницына [24, с. 105–124] и изданиях [1, с. 104–120], [8, с. 313–388]. Здесь все сводится к формальному использованию аппарата линейной алгебры. В монографии [47, с. 134–178] больше говорится о рационализации вычислений – выборе метода расчета и наиболее удачного базиса, об обеспечении надлежащей точности результата. Обозримые

примеры расчета некоторых пространственных конструкций методами сил и перемещений приводятся в курсе [13, с. 549–558].

К главе 9

Начиная с 80-х годов прошлого века, главы о методе конечных элементов присутствуют в любом из учебников по строительной механике. Прежде всего, здесь следует назвать курс А. Р. Ржаницына [24, с. 313–329]. Однако серьезное изучение метода конечных элементов возможно лишь при помощи специальной литературы. Сюда относится, например, монография Р. Галлагера [5], содержащая, помимо всего прочего, и обширную библиографию по методу конечных элементов. Важно также иметь в виду, что понимание этого метода без знания вариационных принципов механики твердого деформируемого тела невозможно. В настоящем пособии вариационные принципы механики не излагаются. Получить представление о них можно при помощи курса [29, с. 279–308] или книг [43, с. 107–117; 46, c. 26–37]. Более глубокие сведения об энергетических свойствах упруго-деформируемых тел можно почерпнуть из монографии Л. А. Розина [27].

Вучебном пособии [46], изданном под общей редакцией Р. А. Хечумова, на с. 256–296 приведено множество примеров расчета строительных

имашиностроительных конструкций методом конечных элементов. Анализ их напряженно-деформированного состояния иными методами был бы существенно затруднен или даже невозможен.

Вглаве 9 настоящего пособия обсуждались лишь четыре типа наиболее простых конечных элементов. Получить же представление о том, какие конечные элементы, кроме этих, используются в расчетной практике, можно при помощи монографии [46, c. 57–143].

ЧАСТЬ V. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ СООРУЖЕНИЙ

При описании расчета конструкций на временные нагрузки (см. главу IV.4) о динамических силах, занимающих особое место среди прочих временных воздействий на сооружение, не говорилось ничего. Настало время восполнить этот пробел. К динамическим относят воздействия, которые приводят к силам инерции, порождающим в конструкции усилия того же порядка, что и основные эксплуатационные нагрузки. Сейсмические, ударные, вибрационные и другие быстро меняющиеся нагрузки вызывают ускорения масс сооружения, в результате чего возникают большие инерционные силы разных направлений. Именно по этой причине они особенно опасны для строительных конструкций. Ведь собственный вес, полезная нагрузка, вес снега, словом, все обычные воздействия на сооружение направлены вертикально вниз (горизонтальная ветровая нагрузка существенна только для высотных зданий), а потому под них и подбирается конструктивная схема сооружения. Если же к вертикальному воздействию добавляются заметные невертикальные инерционные силы, эта схема может потребовать корректировки.

Любая динамическая нагрузка вынуждает сооружение колебаться, а потому динамика сооружений – это прежде всего динамика колеблющихся систем. Задача состоит в определении сил инерции, возникающих при колебаниях, а также усилий и перемещений, порождаемых инерционными силами и статической компонентой внешнего воздействия. В настоящем курсе эта задача решается для линейно деформируемых конструкций.

Объектом исследования является так называемая динамическая система, представляющая собой расчетную схему сооружения, в состав которой входят ее массы. Число независимых параметров, характеризующих перемещения масс системы, называют числом ее степеней свободы. Таким образом,

степень свободы динамической системы – это число независимых кинематических параметров, полностью характеризующих состояние системы. На рис. 1 показаны системы с одной, двумя и бесконечным числом степеней свободы.

В теории колебаний важное место занимают гармонические колебания, протекающие по закону

Через a обозначена амплитуда колебаний, а через ω – круговая частота (рис. 2). Круговая частота – это число колебаний за 2π секунд. Она связана

Интерес представляет также так называемая техническая частота коле-

Величину ϕ, входящую в формулу (1), именуют начальной фазой колебаний. Смысл названия ясен из рис. 2. Наконец, через t обозначается время.

Поскольку

sin(ωt + ϕ) = sin ωt · cos ϕ + cos ωt · sin ϕ,

то, введя новые константы A = a cos ϕ, B = a sin ϕ, можно записать гармонические колебания иначе:

Из теоретической механики известно, что уравнения движения системы можно получить различными способами, в том числе и при помощи принципа Д’Аламбера. Согласно этому принципу, к системе добавляются силы инерции, после чего уравнения движения динамической системы записываются как условия равновесия. Если же система совершает линейные колебания, то можно пользоваться и принципом наложения, т. е. находить усилия и перемещения от различных динамических и статических воздействий по отдельности, а затем суммировать результаты.