Основы механики твердого деформируемого тела

выполнялись в п. 1.4 при выводе равенства (1.12). Так как (см. первую и последнюю из формул (9.9))

σ = BAU,

то (вторая из формул (9.9))

Матрица D = A BA этого разрешающего уравнения симметрична и невырождена, а потому существует матрица D−1 и

U = D−1P, σ = BAD−1P.

Задача решена.

Конкретные примеры расчета приводиться не будут, ибо они громоздки. Но сделать одно важное замечание о виде результатов решения задачи при разбиении области Ω на рассматриваемые элементы можно и без выполнения численных примеров. Так как деформации (9.4) в пределах элемента постоянны, то не меняются по элементу и напряжения σx, σy, τxy. По этой причине эпюры названных напряжений, построенные для тела в целом, являются ступенчатыми (рис. 9.5). Другими словами, искомые функции σx(x, y), σy(x, y), τxy(x, y) терпят на границах элементов разрывы, что является следствием приближенного представления перемещений u и v в виде линейных функций (9.1). Чтобы добиться удовлетворительных результатов решения задачи, необходимо разбивать область Ω на большое число элементов. Повысить точность расчета можно и иначе, например, задаваясь нелинейными полями перемещений. Правда, выбор таких полей приводит к усложнению вывода полной системы уравнений конечного элемента. Кроме того, функции (9.1) хороши тем, что обеспечивают непрерывность перемещений u(x, y)

иv(x, y) по границам треугольника. И в самом деле, на любой из границ элемента уравнения (9.1) становятся уравнениями прямых. С другой стороны, узлы двух смежных элементов перемещаются одинаково

ичерез две точки, отвечающие новым положениям узлов, можно провести только одну прямую.

9.3.Условия сходимости. Метод вывода полной системы уравнений конечных элементов, использовавшийся в предыдущем пункте, называется прямым. Он состоит в подстановке полей перемещений в геометрические уравнения задачи, в результате чего получаются конечные выражения для

деформаций, а стало быть, и для напряжений. Никаких специальных приемов по исключению координат x, y точек тела из уравнений состояния конечного элемента применять не требуется. Будь зависимости (9.1) нелинейными, то прямой метод использовать не удалось бы. В то же время аппроксимация полей перемещений линейными функциями является грубой, что приводит к необходимости разбивать область Ω на большое число элементов. В результате порядок матрицы D = A BA уравнений (9.11) возрастает столь значительно, что может возникнуть проблема обеспечения требуемой точности расчета. Вот почему при использовании метода конечных элементов важно давать ответ на вопрос о степени приближения результатов вычислений к точному решению задачи при сгущении сетки. В рамках настоящего пособия можно рассказать лишь о выводах, которые следует из скрупулезных исследований проблемы сходимости метода конечных элементов.

Ниже приводятся четыре условия сходимости конечноэлементного решения к точному. Два первых из них являются необходимыми и достаточными, два последних – только достаточными.

1. Перемещения u(x, y) и v(x, y) должны включать в себя жесткие смещения.

Необходимость учета жестких смещений можно объяснить при помощи рис. 9.2. Перемещения точек затемненного на этом рисунке треугольника складываются из перемещений, обусловленных деформированием самого элемента, а также из жестких перемещений, порождаемых деформированием части тела, расположенной ниже уровня А–А. Условие 1 как раз и сводится к требованию учета второй доли полных перемещений.

При жестких смещениях элемент не деформируется, а при нулевых деформациях (9.4)

a1 = 0, b2 = 0, a2 = −b1. (9.12)

Смысл этих равенств ясен из рис. 9.6. Так как

y2 − y3 = b, y3 − y1 = 0, y1 − y2 = −b, x3 − x2 = a, x1 − x3 = −a, x2 − x1 = 0,

Последнее из соотношений (9.12a) описывает жесткий поворот элемента: tg β = tg α, а первые два – жесткие линейные смещения вдоль осей 0x и 0y соответственно. Таким образом, функции (9.1) сформулированному выше критерию сходимости конечноэлементного решения удовлетворяют.

2. Перемещения u(x, y) и v(x, y) должны давать возможность описывать постоянную деформацию.

Это требование связано с тем, что при измельчении сетки деформированное состояние внутри каждого элемента должно стремиться к состоянию с постоянными деформациями. При линейной зависимости перемещений u(x, y) и v(x, y) от аргументов x и y деформации (9.4) в пределах конечного элемента поневоле получаются постоянными. Стало быть, функции (9.1) обсуждаемому критерию сходимости удовлетворяют.

3. Аппроксимирующие функции u(x, y) и v(x, y) должны быть инвариантными по отношению к параллельному переносу и повороту системы координат.

Это условие выполняется при представлении полей перемещений в виде полных полиномов, т. е. полиномов, содержащих все члены до определенной степени. К ним, например, относятся полиномы, построенные на функциях:

Φ2 = [1 x y x2 xy y2], Φ3 = [1 x y x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3].

Индекс у символа Φ отвечает степени полинома. Полиномы (9.1) являются полными полиномами первой степени.

Следует иметь в виду, что рассматриваемое условие сходимости является только достаточным и при решении многих задач на его соблюдении можно не настаивать.

4. На линиях контакта элементов друг с другом перемещения u(x, y) и v(x, y) должны быть непрерывными.

Функции (9.1) данному достаточному условию сходимости решения задачи удовлетворяют.

Итак, примененный в п. 9.2 способ дискретизации плоской задачи теории упругости корректен. Однако скорость сходимости при его использовании невысока. На рис. 9.7 приведены результаты вычислений вертикального перемещения точки A пластины единичной толщины, защемленной с

одного края и загруженной по свободному торцу распределенной по закону квадратной параболы силой. На горизонтальной оси откладывается число n суммарных степеней свободы узлов покрывающей область интегрирования сетки (например, для конструкции, изображенной на рис. 9.2, n = 95). По вертикали приводятся значения прогиба UA, умноженного на константу k, которая подбирается так, чтобы точное эталонное решение задачи равнялось числу 100. Решению, основанному на выборе треугольных элементов с постоянными полями деформации, отвечает кривая 1. Даже при n = 250 это решение почти на 17% отличается от точного. Кривая 2 на рис. 9.7 соответствует линейным полям деформаций в треугольных элементах (или квадратичным полям перемещений u(x, y) и v(x, y)). Сходимость здесь лучше, но, как уже отмечалось, получить полную систему уравнений треугольного элемента при квадратичных функциях u(x, y) и v(x, y) прямым методом нельзя. Для этого требуются так называемые вариационные подходы, основанные на использовании энергетических свойств тел. К недостаткам прямого метода относится также невозможность непосредственного учета распределенных поверхностных и объемных сил: их приходится сводить в узлы сетки.

Ипоследнее. Обоснование условий сходимости,

окоторых шла речь выше, возможно лишь на основе энергетических рассмотрений. Вот почему ограничиваться изучением только прямого метода построения конечного элемента нельзя.

9.4.Прямоугольный конечный элемент плоской задачи теории упругости. Этот элемент осо-

бенно удобен в тех случаях, когда исследуется напряженно-деформирован- ное состояние тел, проекция которых на плоскость 0xy состоит из одного или нескольких прямоугольников. Прямоугольный элемент (рис. 9.8) имеет восемь степеней свободы. Можно проверить, что функции

u = a00 + a10x + a01y + a11xy,

(9.13)

v = b00 + b10x + b01y + b11xy

удовлетворяют всем сформулированным в предыдущем пункте условиям сходимости конечноэлементного решения задачи к точному, кроме условия 3, которое, как отмечалось, необходимым не является. Здесь такая проверка не делается, ибо ее схема ничем не отличается от той, что была применена в п. 9.3 при анализе полей перемещений (9.1).

Коэффициенты полиномов (9.13) выражаются через перемещения ui и vi вершин прямоугольника (i = 1, 2, 3, 4). Так как x1 = y1 = 0, то

566 Часть IV

В узле 2, т. е. при x = 0, y = β, будет u2 = a00 + a01β, v2 = b00 + b01β или

Наличие в этих формулах переменных x, y и делает невозможным построение полной системы уравнений прямоугольного элемента прямым методом.

Для дальнейших выкладок удобно сместить начало системы координат в центр элемента (см. рис. 9.8), т. е. положить

x = x + α/2, y = y + β/2.

Тогда

γxy = (a01 + b10 + α a11/2 + β b11/2) + a11x + b11y .

Члены, заключенные в этих формулах в скобки, представляют собой деформации в центре элемента. Их обозначают через ε0x, ε0y и γxy0 . Очевидно (см. формулы (9.14)–(9.17)),

имеют смысл неких усредненных продольных и сдвигающих сил, действующих в прямоугольном элементе. Дать столь же наглядную интерпретацию параметрам p1 и p2 не удается.

Пусть

Тогда (см. формулы (9.20), (9.21), (9.23), (9.19a) и (9.24))

σ = Bε, A σ = P.

Полная система уравнений прямоугольного конечного элемента получена.

Осопряжении элементов между собой, т. е.

опереходе к полной системе уравнений и разрешающему уравнению для тела в целом, можно сказать то же самое, что говорилось по этому поводу в п. 9.2. А так как конкретные задачи здесь не рассматриваются, то останавливаться на затронутой проблеме подробнее нет смысла. О сходимости же решения плоской задачи при выборе прямоугольного конечного элемента следует сказать следующее. Кривая 3 на рис. 9.7 отвечает расчету консольной пластины при разбиении ее лицевой грани именно на прямоугольные подобласти. То, что такое решение оказалось более качественным, чем при использовании треуголь-

ных элементов с постоянными в их пределах деформациями (кривая 1 на рис. 9.7), неудивительно: при помощи линейно меняющихся полей деформаций напряженное состояние тела и должно описываться более точно. Но прямоугольные элементы зачастую оказываются лучше треугольных и при одинаковой аппроксимации перемещений u и v. Объясняется это тем, что при прямоугольных элементах область интегрирования удается разбить на

подобласти более рационально, чем при использовании треугольных элементов. В п. III.4.5 было показано, что прогибы v в консоли зависят от третьей степени абсциссы x и от второй степени ординаты y, причем длина интервала изменения координаты x больше длины интервала изменения координаты y. В данной задаче 0 ≤x ≤L и 0 ≤|y|≤L/6. Следовательно, чтобы решение было более точным, надо сгущать сетку в направлении оси 0x, тогда как вдоль оси 0y ее можно брать достаточно разреженной. Вот почему из двух вариантов разбиения пластины на конечные элементы, представленных на рис. 9.9, второй вариант (нижний) предпочтительней. Однако применять его при треугольных элементах нельзя. Треугольники получаются вытянутыми, а в случае, когда вершины треугольных элементов лежат почти на одной прямой, точность решения задачи снижается.

9.5. Расчет тонких жестких плит. При расчете плит используются как прямоугольные, так и треугольные конечные элементы. В качестве кинематических параметров состояния плиты выбираются узловые перемещения

т. е. прогибы и повороты нормали к срединной поверхности плиты в каждом узле сетки, покрывающей план конструкции. Ниже рассматривается прямоугольный конечный элемент.

Степень свободы прямоугольного плиточного элемента при выборе параметров (9.25) равна двенадцати. Столько же слагаемых берется и при конструировании полинома, аппроксимирующего функцию w(x, y):

w = a00 + a10x + a20x2 + a30x3 + a11xy + a21x2y+

Этот неполный полином четвертой степени не содержит слагаемых, которые не обращались бы в нуль при вычислении четвертых производных от функции w(x, y). При такой аппроксимации прогибов w(x, y) и сведении поверхностных и объемных сил в узлы сетки разрешающее уравнение (III.1.9) изгиба плиты будет удовлетворяться тождественно.

Коэффициенты полинома (9.26) находят из 12 соотношений, приравнивающих значения функции w и ее первых производных по аргументам x и y к узловым перемещениям (9.25) при i = 1, 2, 3, 4. После завершения всех выкладок, характер которых ясен из содержания п. 9.2 и 9.4, получатся 12 зависимостей вида