Основы механики твердого деформируемого тела

неизвестных: продольная сила X1 и изгибающие моменты X2 и X3. На рис. 8.15b указываются также локальные системы координат для стержней рамы, знать которые необходимо при построении единичных и грузовой эпюр. Масштаб эпюры "M z1" изменен: вместо ординаты l в заделке стержня взята единица. Используются также возможности, предоставляемые теоремой 2 предыдущего пункта: для построения грузовых эпюр принята основная система, изображенная на рис. 8.15d. Правило знаков для крутящих моментов выбрано следующим: момент Mx считается положительным, если при взгляде со стороны острия оси ox локального базиса стержень получается закрученным против часовой стрелки.

По рис. 8.15c, d видно, что u13 = u23 = 0, т. е. два первых канонических уравнения отделяются от третьего. А так как и U10 = U20 = 0, то отделившиеся уравнения однородны:

u11X1 + u12X2 = 0, u21X1 + u22X2 = 0.

Эта система имеет тривиальное решение X1 = X2 = 0, так что остается рассмотреть уравнение

u33X3 + U30 = 0.

Пусть стержни рамы имеют одинаковое поперечное сечение и выполнены из одного материала. Тогда (k = GIx/EIy)

X3 = − u33 = −3(1 + k) .

Эпюры усилий

Mx = M x3X3, My = My0 + M y3X3

приведены на рис. 8.16. Там же дана и эпюра поперечных сил Qz, построенная по усилиям My. Поперечные силы Qy и продольные силы в рассматриваемой задаче отсутствуют.

Аналогично обобщается на трехмерную задачу и метод перемещений. Степень кинематической неопределимости конструкции равна сумме поворотных и линейных подвижностей ее узлов. Но в отличие от плоского случая каждый жесткий узел пространственной конструкции имеет три поворотные степени свободы. Если наклонных стержней в конструкции нет, то число nлин можно найти при помощи способа расстановки стрелок.

Единичные и грузовые эпюры изгибающих моментов, как и в плоской задаче, строятся в основной системе при помощи стандартных таблиц 6.1–6.3. Только теперь необходимо следить за тем, какая из изгибных жесткостей (EIy или EIz) должна выбираться при вычислении ординат той или иной единичной эпюры. Кроме того, табл. 6.1 должна быть

дополнена решением для призматического стержня, одна из опор которого испытывает единичный поворот относительно оси бруса (рис. 8.17).

Как и при расчете методом сил, в единичных и грузовом состояниях основной системы выделяются два изгибающих и крутящий моменты. Коэффициенты rij и свободные члены Ri0 канонических уравнений можно находить статическим способом. Реакции поворотных связей складываются из изгибающих и крутящих моментов в тех сечениях стержней, которые непосредственно примыкают к смещаемому узлу. Реакцию линейной связи получают, суммируя поперечные силы (а если нужно, то и продольные силы) тех стержней, для которых эта связь является опорной. Впрочем, все изложенное повторяет известную информацию о плоской задаче метода перемещений, а потому лучше перейти к примеру. Предлагается рассчитать ту же самую раму, которая только что бы-

ла рассчитана методом сил (см. рис. 8.15a, b). Основная система представлена на рис. 8.18a. Благодаря симметрии, ее состояние описывается четырьмя параметрами. Единичные и грузовые эпюры показаны на рис. 8.18b–f . Учитывалось, что длина 1-го стержня равна 2l, а потому Jy = EIy/2l. Поскольку

ГЛАВА 9. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

9.1. Введение. Состояние стержневой конструкции характеризуется конечным числом параметров. И в самом деле, перемещения и усилия в любом месте такой конструкции могут быть однозначно выражены через реакции лишних связей, число которых равно степени статической неопределимости конструкции, либо через узловые перемещения Zi, i = 1, 2, . . . , n, где n

– степень ее кинематической неопределимости. Описание напряженно-де- формированного состояния тела при помощи конечного числа параметров называют дискретным. Дискретное описание возможно далеко не во всех случаях. Так, при исследовании напряженно-деформированного состояния пластин, оболочек, массивных тел приходится иметь дело с распределенными параметрами, являющимися функциями координат точек тела. Это могут быть функции напряжений или перемещений, но важно, что они должны быть определены в каждой точке тела. В таких случаях говорят, что описание состояния тела является континуальным. Различие между дискретным и континуальным описаниями заключается в том, что первое может быть выполнено на языке алгебры, а для второго требуется аппарат математического анализа.

При решении плоской задачи теории упругости в качестве единственного параметра состояния может быть выбрана функция Эри, через которую выражаются напряжения в любой точке тела. Сама же функция напряжений должна удовлетворять, помимо граничных условий задачи, однородному дифференциальному уравнению (III.4.14) четвертого порядка в частных производных. Аналитическое решение этой краевой задачи возможно лишь

внемногих частных случаях. Как правило, приходится использовать численные методы, строя решение в рядах, конечных разностях и т. п. Все численные методы основаны на том, что континуальная проблема так или иначе сводится к дискретной, после чего конечное число дискретных параметров находят из системы алгебраических уравнений. Способами дискретизации как раз и отличаются друг от друга различные численные методы решения задачи. От выбора метода зависят объем вычислений и их точность, причем метод, хорошо зарекомендовавший себя при решении одного круга задач, может оказаться непригодным при решении задач другого класса. Сказанное

визвестной мере объясняет сам факт существования множества численных методов решения краевой задачи механики твердого деформируемого тела.

Так, или примерно так, могло быть написано еще совсем недавно предисловие к разделу курса механики твердого деформируемого тела, посвященного численной реализации методов расчета пластин, оболочек и массивных тел. Осталось бы лишь перечислить отобранные для дальнейших рассмотрений численные методы и приступить к их детальному изучению. Однако возможность решать задачи большой размерности с помощью вычислительной техники привела к радикальным переменам в обсуждаемом разделе механики. Среди численных методов решения краевой задачи появился безусловный лидер – метод конечных элементов. Этот метод позволяет на ясной физической основе с единых позиций рассматривать напряженнодеформированное состояние любых силовых конструкций: стержневых, оболочечных, массивных, комбинированных. Суть названного метода состоит в том, что тело разбивается на отдельные области – элементы конечных размеров, напряженно-деформированное состояние каждой из них детально описывается (точно или приближенно), а затем эти области (элементы) сопрягаются между собой так, чтобы выполнялись условия равновесия, совместности деформаций и физические уравнения для тела в целом. Именно по такой схеме выполняется расчет стержневых конструкций методом перемещений. Здесь конечным элементом является каждый отдельный стержень. Стандартные таблицы метода перемещений содержат результаты точного анализа напряженно-деформированного состояния данного элемента.

Континуальные системы не могут быть разбиты на конечные элементы столь же естественно, как стержневые. Существуют апробированные приемы дискретизации таких объектов, как плиты, оболочки, массивные тела, и специалист, ведущий расчет, имеет возможность обратиться к любому из них. Напряженно-деформированное состояние нестержневого элемента обычно описывается приближенно. При этом задаются картиной перемещений точек элемента (полем перемещений) либо картиной распределения напряжений по элементу (полем напряжений). Чаще используется первый путь, эквивалентный методу перемещений. Разработка и оценка различных способов выбора полей перемещений для всевозможных конечных элементов при разных типах их деформирования и составляет предмет исследования теории обсуждаемого метода. Кроме того, исследуется сходимость получаемого приближенного решения к точному, устойчивость такого решения, связь метода конечных элементов с иными численными методами и многое другое. Все эти проблемы в настоящем курсе не осветить, однако начальные сведения, на которые можно опереться при самостоятельном изучении метода конечных элементов, будут изложены достаточно подробно. Кроме того, по прочтению этой главы станет понятно, почему именно в той части

курса, которая посвящается расчету стержневых конструкций, зашла речь о плитах, оболочках и о других задачах теории упругости.

9.2. Треугольный конечный элемент плоской задачи теории упругости. Плоская задача теории упругости была сформулирована в п. III.4.1–III.4.3. Требуется найти напряженно-деформированное состояние тела по его размерам, условиям закрепления, материалу и нагрузке. Эта постановка рассматривается и здесь, но теперь тело разбивается на подобласти конечных размеров малой (в частности, единичной) толщины. Любую фигуру, представляющую собой ортогональную проекцию основания тела малой высоты на некоторую плоскость, можно представить в виде набора самых разных конечных элементов. Однако элементы с многосторонним полигональным контуром (фигура 1 на

рис. 9.1a) либо с криволинейной границей (фигура 2 на рис. 9.1a) сложнее в описании, чем элементы треугольной или прямоугольной формы. Поэтому заданную область покрывают такой ортогональной сеткой, при которой любая граница области удовлетворительно аппроксимируется наклонными сторонами треугольников (см. рис. 9.1b).

Пример разбиения плоской конструкции исключительно на треугольные элементы дан на рис. 9.2. Следует подчеркнуть, что сетка, используемая для представления области Ω в виде набора конечных элементов, необязательно должна быть регулярной. Однако без особой необходимости нерегулярные сетки не применяются.

Все нагрузки (поверхностные и объемные, активные и реактивные) сводятся в узлы сетки. Толщина тела и его механические характеристики в пределах конечного элемента принимаются постоянными.

Теперь можно перейти к описанию состояния треугольного элемента. Пусть ui, vi – перемещения i-й вершины треугольника (i = 1, 2, 3), изображенного на рис. 9.3a, в направлениях осей ox и

oy соответственно. На рис. 9.3b показаны составляющие Pix и Piy заданных объемных сил, приведенных к узлу с номером i. Пользуясь тем, что размеры треугольника сравнительно невелики, можно принять поле перемещений

матрица жесткости треугольного конечного элемента плоской задачи теории упругости.

Следующий шаг решения задачи связан с так называемым сопряжением элементов друг с другом, т. е. с переходом от полной системы уравнений (9.4a), (9.5) и (9.7) отдельного элемента к полной системе уравнений конструкции в целом. Пусть все элементы, на которые разбита область Ω, пронумерованы от 1 до C, все узлы – от 1 до K, а j и i – номера произвольных элемента и узла. Пусть, далее,

Смысл введенных формулами (9.8) векторов ясен. Понятно и назначение индекса j, помечающего векторы εj и σj. Но следует обратить внимание и на то, что этим же индексом должны были бы быть отмечены и все матрицы, входящие в уравнения (9.4a), (9.5), (9.7). Опущен он был только из-за желания не загромождать и без того не отличающиеся компактностью формульные записи. А потому полная система уравнений конструкции в целом выглядит точно так же, как и не помеченная в свое время индексом j полная система уравнений отдельного элемента:

Структура блочной диагональной матрицы B, вытекающая из обозначений (9.8) и последней из формул (9.9), такова: