Основы механики твердого деформируемого тела

характерные ординаты эпюр усилий. При большом числе неизвестных такие тестовые расчеты трудоемки, поэтому к ним прибегают лишь в тех случаях, когда имеются некоторые внешние признаки плохой обусловленности матрицы D либо когда результаты расчета вызывают сомнения.

О внешних признаках плохой обусловленности матриц можно сказать следующее. Матрицы уравнений (8.9) и тех уравнений, что отвечают основным системам a и b в табл. 8.3, имеют много общего. Обе они целиком заполнены, т. е. не содержат нулевых элементов, у них одинаков порядок диагональных и внедиагональных элементов (нет диагонального преобладания). Отмеченные свойства характерны именно для плохо обусловленных матриц. Это можно объяснить при помощи геометрической интерпретации

решения системы двух линейных уравнений

L1 ≡ a11X1 + a12X2 + a10 = 0,

L2 ≡ a21X1 + a22X2 + a20 = 0.

(8.13)

Если коэффициенты aij имеют одинаковый порядок, то уравнения (8.13) близки к линейно зависимым и прямые L1 и L2 практически параллельны (рис. 8.8a). Координаты X1 и X2 точки пересечения указанных линий (т. е. искомое решение системы) указать непросто: при малейшем изменении параметров почти параллельных прямых точка их пересечения резко меняет свое положение на плоскости. В этом и проявляется неустойчивость решения задачи. Если же матрица D имеет диагональное преобладание, другими словами, коэффициенты a12 и

a21 намного меньше диагональных коэффициентов a11 и a22 по модулю, то прямые L1 и L2 окажутся почти ортогональными, а потому при небольшом изменении величин aij точка пересечения линий L1 и L2 переместится незначительно (см. рис. 8.8b). Описанным признаком хорошо обусловленной матрицы как раз и обладает матрица D при выборе основной системы c, приведенной в последнем столбце табл. 8.3.

О предрасположенности к неустойчивости решения системы алгебраических уравнений судят и по так называемым мерам обусловленности матрицы D. Мера обусловленности – это некоторое число, поставленное в соответствие рассматриваемой матрице. Здесь не удастся рассказать о том, как такое соответствие устанавливается, но привести некоторые из используемых в вычислительной практике мер обусловленности матриц можно. Одна из них представляет собой отношение

542 Часть IV

наименьшего из характеристических чисел матрицы D к ее наибольшему характеристическому числу. Чем меньше число k1, тем хуже обусловлена матрица (см. предпоследнюю строку табл. 8.3).

Конечно, вычисление собственных значений матрицы второго порядка

труда не составляет. Все сводится к отысканию корней квадратного уравнения

(a − λ)(c − λ) − b2 = 0.

При c = a решение совсем элементарно: λ1 = a−b, λ2 = a+b. Но при высоком порядке матрицы D нахождение характеристических чисел min λ и max λ многодельно, а потому мерой (8.14) пользуются сравнительно редко.

Для симметрических матриц в качестве меры обусловленности можно

использовать отношение

det D

k2 = (max |aij |)n .

Чем ближе число k2 к единице, тем устойчивее решение системы уравнений с данной матрицей (см. последнюю строку табл. 8.3). Считается, что при k2 < 0, 05 матрица D очень плохо обусловлена. Например, для матрицы канонических уравнений метода перемещений, которые решались при расчете изображенной на рис. 8.5 рамы (см. также табл. 8.2),

0, 78835274

k2 = (39, 86603)3 = 0, 0000124.

Важно понимать, однако, что любая мера обусловленности относительна. Так, показатель обусловленности диагональной матрицы

весьма плох (det D = 10) : k2 = 1/1003 = 0, 00001. Но диагональная матрица плохо обусловленной быть не может. Поэтому меры обусловленности используют не для того, чтобы судить о качестве отдельно взятой матрицы, а для сравнения между собой матриц канонических уравнений, отвечающих различным основным системам.

8.4. Линейные преобразования единичных и грузовых эпюр. Для вычислений нужна не основная система, а базис выбранного для решения

Важно, что матрица β невырождена, а потому обратная к ней матрица β−1 существует. Теперь при помощи равенств (8.17), (8.18) и (8.15a) второй из формул (8.16) можно придать вид:

матрице A, имеющей n строк, то станет ясным, что правые части равенств (8.16) совпадают, а потому S = S. Теорема доказана.

при доказательстве нужно будет от формулы (8.8), а не от соотношения (8.7). Более того, методом перемещений возможен корректный расчет при преобразованном базисе не только на силовое воздействие. Это связано с тем, что столбец свободных членов канонических уравнений метода перемещений при расчетах на изменение температуры и осадку опор имеет, по существу, то же самое представление

что и при расчете на силовое воздействие. Наличие матрицы b в записи вектора B и приводит к появлению в формуле (8.19) произведения β−1β = E, а в конечном счете

– к совпадению усилий S и S. При сил на неси-

расчете же методом ловое воздействие представление

(8.20) места не имеет, а потому преобразование (8.15) приводит к искажению результатов расчета. Чтобы это-

го не было, надо вектор B также подвергнуть линейному преобразованию, умножив его слева на матрицу β.

К преобразованию единичных эпюр прибегают при расчете не только многостержневых конструкций. Например, всегда полезно заменить одну из характерных ординат каждой единичной эпюры на единицу или какоенибудь другое число (см. рис. 8.9a, b, c). Следует обратить внимание на изменение знака второй единичной эпюры при преобразовании с матрицей β2 (рис. 8.9c). Это делается для упрощения суммарной единичной эпюры.

Можно отметить также, что в тех случаях, когда не требуется преобразовывать столбец свободных членов канонических уравнений, матрицу β формировать необязательно. Если она все же формируется, то только для того, чтобы убедиться в невырожденности преобразования, т. е. что det β = 0.

Основное применение преобразование (8.15) находит при локализации единичных эпюр метода сил для конструкций, имеющих большое число стержней. Процедуру такой локализации можно продемонстрировать на примере. Для рамы, изображенной на рис. 8.10, основная система берется такой, чтобы в ней наиболее просто строились эпюры "M i" (рис. 8.10a, b). Первые три единичные эпюры локальны, но откорректировать следует и

их: во-первых, для того, чтобы усилия и стали ортогональными, а,

M1 M2

во-вторых, чтобы характерные ординаты эпюр " ", " " и " равнялись

M1 M2 M3

единице. По рис. 8.10b непосредственно видно, с какими единичными состояниями и каким образом надо объединить состояния M 4, M 5 и M 6 с тем, чтобы в результате получился такой локальный базис, который показан на рис. 8.10c.

ной системе метода сил от заданной нагрузки, добавить любую линейную комбинацию единичных усилий.

Пусть

или

b0 = b0 + bβ0,

где β0 – вектор из n чисел β0i. Тогда (см. формулу (8.7))

=b0 + bβ0 − b(b f b)−1b f b0 − b(b f b)−1(b f b)β0 =

=b0 + bβ0 − b(b f b)−1b b0 − bβ0 = b0 − b(b f b)−1b f b0 = S.

Теорема доказана.

Для рамы из примера, рассмотренного непосредственно перед доказательством этой теоремы, преобразование (8.21) имеет вид:

Эпюра " " соответствует основной системе, показанной на рис. 8.11 , кото-

M0 g

рая с исходной основной системой не совпадает. Это и понятно: ведь добавление к усилию M0 слагаемых β0iM i равносильно добавлению или устранению связей в той основной системе, в которой эпюра "M0" была построена раньше. Это означает, что теорема 2 может быть сформулирована и иначе:

при расчете статически неопределимой конструкции методом сил на силовое воздействие единичные и грузовые эпюры можно строить в различных основных системах.

Единичные и грузовые состояния метода перемещений изначально локальны и особой необходимости в преобразованиях (8.15) и (8.21) здесь нет. Правда, при смещении линейных связей некоторые единичные эпюры могут получиться и не вполне локальными. Локализовать их проще всего, сгруппировав основные неизвестные (а не эпюры усилий), т. е. так, как об этом говорилось в п. 6.7 (см. рис. 6.17).

8.5. Сложная основная система. Речь идет о приеме, который позволяет свести решение задачи большой размерности к последовательному решению ряда задач меньшей размерности. Этот прием полезен как при расчете конструкций с очень большим числом основных неизвестных, при котором нерасчлененная задача не может быть решена из-за недопустимой потери точности, так и в задачах сравнительно малой размерности, когда вычисления ведутся вручную и желательно уменьшить объем вычислений.

сил X1, . . . , X12 и еще одну грузовую эпюру. Это означает, что потребуется выполнить 26 расчетов (предполагается, что симметрии может и не быть) основной системы, каждый раз решая задачу размерности 12, и один расчет с исходными основными неизвестными X1, . . . , X12. Таким образом, в рассматриваемом случае расчет конструкции с 36 неизвестными заменяется 27 расчетами 12 раз статически неопределимых подконструкций. Ясно, что 13 расчетов для левой части основной системы и столько же расчетов для ее правой части однородны, что упрощает вычисления, а потому резкое увеличение решаемых задач не столь обременительно, как может показаться с первого взгляда.

Для расчета той же самой рамы методом перемещений может быть предложена основная система, изображенная на рис. 8.13c. Эта основная система включает в себя две подконструкции, каждая из которых четырежды кинематически неопределима. В них надо построить 12 единичных и одну грузовую эпюру изгибающих моментов, для чего потребуется выполнить 18 расчетов с четырьмя неизвестными в каждом. После этого нужно будет решить еще одну задачу с начальными основными неизвестными Z1, . . . , Z12. Эти 19 расчетов заменяют один расчет при n = 20.

8.6. Пространственные конструкции с преобладающим изгибом.

Степени статической и кинематической неопределимости пространственных конструкций особенно велики, а потому расчет таких конструкций усложняется. Кроме того, на объеме вычислений сказывается и увеличение числа компонент усилий в поперечных сечениях стержней с трех до шести. Более разнообразными становятся и способы прикрепления стержня к узлу, чем в какой-то мере можно объяснить отсутствие удобных формул для подсчета степени n статической неопределимости пространственной конструкции. При машинных расчетах о числе n судят по рангу матрицы уравнений равновесия сооружения. Если же расчет ведется вручную, то величину n находят, подсчитывая число связей, удаляемых в рассматриваемой конструкции при переходе к статически определимой неизменяемой основной системе. Если возможен консольный вариант основной системы, то осложнений при ее выборе и подсчете числа лишних связей не возникает.

В месте разреза стержня надо приложить шесть реакций (три силы и три момента) по направлениям удаляемых связей. Если разрез проводится через сферический шарнир, то вместо удаленных связей прикладываются три силы. Пять реакций (три силы и два момента) заменяют отброшенный цилиндрический шарнир. Пример выбора основной системы метода сил приведен на рис. 8.14. На рис. 8.14a дается расчетная схема конструкции, защемленной в опорах C и D, имеющей сферический шарнир в опоре B и неподвижный цилиндрический шарнир (с вращением относительно оси

Ax) в опорном узле A. При переходе к основной системе, изображенной на рис. 8.14b, опоры A и B удаляются и, кроме того, рассекаются три неопорных стержня рассматриваемой рамы. Таким образом,

n = 3 + 5 + 3 · 6 = 26.

Именно столько лишних связей имеет заданная конструкция.

Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений находят при помощи формул (II.9.18a) и (II.9.18b). Вторая из них используется при расчете конструкций с преобладающим изгибом. В основной системе от каждого из воздействий Xi = 1 строятся две эпюры изгибающих моментов и одна

эпюра крутящих моментов, т. е. эпюры "M yi", "M zi" и "M xi". От внешнего воздействия в основной системе также строят три эпюры, а именно – эпюры

усилий My0, Mz0 и Mx0. При вычислениях используются изгибные EIy, EIz и крутильная GIx жесткости стержней конструкции. Значения этих величин должны быть заданы. После решения системы канонических уравнений по формулам

находят изгибающие и крутящий моменты в рассматриваемой конструкции, а затем из условий равновесия ее стержней и узлов – поперечные Qz, Qy и продольную N силы. Последовательность вычислений демонстрируется на приводимом ниже примере.

На рис. 8.15a показана симметричная рама, стержни которой находятся в плоскости, ортогональной плоскости нагружения. Симметричной выбирается и основная система (рис. 8.15b). Из шести усилий в месте разреза от нуля будут отличаться лишь симметричные составляющие основных