Основы механики твердого деформируемого тела

где b0 и b0 – векторы, содержащие по 2C компонент (ординат эпюр "M0" и "M0 " соответственно). Столбец b0 нужен для перехода от выражения

M= M0 + M 1X1 + · · · + M nXn

кего матричной записи

Вектор S содержит 2C ординат искомой эпюры "M " по концам неопорных стержней. Несложно проверить, перемножив соответствующие матрицы, что произведение bX приводит к матрице-столбцу из 2C чисел – ординат суммарной эпюры M 1X1 +· · ·+M nXn в расчетных сечениях конструкции.

Вектор b0 используется для вычисления перемещений Ui0:

можно при помощи двух матричных операций найти сразу все перемещения Ui0, т. е. получить столбец свободных членов канонических уравнений

DX + B = 0

метода сил. С учетом зависимостей (8.3) и (8.3a) записывается решение этой системы:

Для вычислений по формулам (8.7) формируются матрицы b, f , b0 и b0 . Существуют алгоритмы такого формирования, которые в настоящем пособии не рассматриваются. Поэтому в предлагаемом ниже примере расчета все исходные матрицы заполняются вручную. Вручную будут выполнены и все вычислительные операции, предусмотренные формулой (8.7).

Изображенная на рис. 8.3a конструкция имеет две лишние связи. После выбора основной системы и построения эпюр "M 1", "M 2" и "M0" (рис. 8.3b, c) вы-

Эпюра "M ", отвечающая полученной матрице S, изображена на рис. 8.4. При расчете методом перемещений свободные члены канонических

уравнений вычисляются по формуле (6.11):

Ri0 = −(M i, M0сил),

которую можно записать и в матричном виде:

Ri0 = −bi f b0 сил.

Через bi обозначен столбец, содержащий ординаты единичной эпюры "M i" метода перемещений, отнесенные к расчетным сечениям конструкции. Вектор b0 сил содержит ординаты преобразованной по формулам (8.5) грузовой эпюры "M0сил ", построенной в любой основной системе метода сил. Таким образом,

По существу, формулы (8.8) и (8.7) идентичны. Матрицы S, f , b0 и b0сил в этих формулах общие, а матрицы b и b0 отличаются только тем, что в одном случае они содержат информацию о состоянии основной системы метода сил, а в другом (т. е. при использовании равенства (8.8)) – о состоянии основной системы метода перемещений.

8.3. Неустойчивые решения в строительной механике. При решении системы линейных алгебраических уравнений неизбежно происходит потеря точности. Она связана с накоплением вычислительной погрешности при исключении неизвестных, а также с погрешностями округления при подсчете значений коэффициентов и свободных членов системы. Обычно небольшие отклонения указанных величин от их истинных значений и небольшие

ошибки округления в ходе решения самой системы приводят к столь же небольшим относительным погрешностям для значений основных неизвестных. Но встречаются и исключения из этого правила.

Можно при помощи простой подстановки проверить, что система

Матрица D этой системы симметрична и положительно определена, а потому форму равенств (8.9) могут иметь канонические уравнения как метода сил, так и метода перемещений.

Пусть первое из уравнений (8.9) заменяется равенством

тогда как все оставшиеся соотношения остаются прежними. Такую замену можно трактовать как результат погрешности при вычислении коэффициен-

та a11 = 5 (на 0, 2%) и свободного члена a10 = −23 (на 1%), допущенной на стадии формирования системы (8.9). И вот такая незначительная погреш-

ность настолько кардинально меняет решение (8.10), что в это даже трудно поверить:

X1 = 51, 99807, X2 = −29, 74928 , X3 = −11, 749704 , X4 = 18, 4998257.

Но факт остается фактом: это решение с точностью до восьмой значащей цифры удовлетворяет системе (8.9) с измененной, согласно равенству (8.11), строкой, тогда как решение (8.10) удовлетворяет этой системе только с точностью до третьей значащей цифры.

В подобных случаях говорят, что система линейных алгебраических уравнений имеет неустойчивое решение и что ее матрица D плохо обусловлена. Другими словами, решение системы алгебраических уравнений считается устойчивым, а ее матрица – хорошо обусловленной тогда и только тогда, когда любое малое изменение коэффициентов и свободных членов уравнений приводит к малому же изменению решения. Устойчивое решение характеризуется тем, что относительная погрешность неизвестных имеет тот же порядок, что и относительные погрешности вычисления элементов

матрицы D и вектора свободных членов. Полезно знать, когда при расчете стержневых конструкций могут встретиться плохо обусловленные матрицы и что в таких случаях делать. Ответить на эти вопросы будет проще после рассмотрения приводимых ниже примеров.

Конструкция, изображенная на рис. 8.5a, рассчитывается с учетом осевой податливости стержней. Поскольку подвижные опоры препятствуют изменениям длин стоек, расчетную схему можно изменить, приняв для стоек EF = ∞ (рис. 8.5b). Расчет такой конструкции следовало бы производить методом сил, но здесь будет применен метод перемещений. Делается это для того, чтобы на простом примере можно было обсудить причины потери точности при использовании вычислительной процедуры метода перемещений. На рис. 8.5c показана основная система, которая из-за растяжимости

ригеля имеет две дополнительные линейные связи: в узлах A и B. Вычис-

ления проводятся при l = 8 м, r = I/F = 0, 112 м. Такой радиус инерции имеет стандартный двутавр N 27. Тогда

Единичные эпюры даны на рис. 8.5d. При повороте Z1 = 1 длины стержней не меняются, а потому ненужная для дальнейших вычислений эпюра "N 1" не приводится. Воздействия Z2 = 1 и Z3 = 1 не только изгибают стойки основной системы, но и растягивают ригель. Эпюры "N 2" и "N 3" строят с учетом того, что, согласно закону Гука, ∆l = N l/EF , а потому при изменении длины стержня на единицу в нем возникает усилие N = EF/l.

Итак, r22 = 39, 866030 EI, причем основное влияние на результаты решения системы уравнений оказывают последние четыре цифры множителя, стоящего перед жесткостью EI. Поэтому при вычислениях нельзя удерживать меньше значащих цифр, чем восемь, а также округлять исходные значения коэффициентов и свободных членов системы. О том, что будет

происходить в случае, если эти требования не принимаются во внимание, свидетельствует табл. 8.2. В ней приводятся результаты расчетов рамы методом перемещений при последовательном округлении значений реакций (8.12) от m = 8 до 5, 4 и 3 значащих цифр со всеми последующими вычислениями, выполняемыми с точностью до восьми знаков. Плохая обусловленность матрицы R разрешающих уравнений видна по последнему столбцу таблицы: относительная погрешность искомого решения в тысячи раз превышает относительные погрешности коэффициентов системы. Величины rij и Ri0 мало отличаются от исходных значений даже тогда, когда они округляются лишь до трех значащих цифр, но полученный в итоге результат с точным решением не имеет ничего общего.

Во втором столбце табл. 8.2 приводятся также значения определителя матрицы канонических уравнений, отвечающие различным уровням точности вычисления реакций rij . Эта информация понадобится в дальнейшем.

При расчетах на ЭВМ никакого предварительного округления элементов матриц D и B не делается и на точность получаемых результатов влияет только вычислительная погрешность. При небольшой размерности задачи это влияние невелико, но при числе неизвестных в несколько сотен (а то и в несколько тысяч) накопление вычислительных погрешностей при плохо обусловленной матрице канонических уравнений приводит к таким же последствиям, что и округление исходных данных в задачах невысокой размерности.

Второй пример относится к решению задачи методом сил. Сопоставляются результаты расчета дважды статически неопределимой балки (рис. 8.7) при трех различных основных системах. Вне зависимости от основной системы внешнее воздействие на конструк-

цию всегда можно разбить на составляющие, удовлетворяющие условиям U10 = U20 и U10 = −U20. Для каждой из составляющих сравниваются решения в случаях, когда элементы матрицы D вычислены точно и когда они имеют пятипроцентную погрешность (см. матрицу D в табл. 8.3). При записи матриц D и D постоянные множители, зависящие от отношения EI/l, опускались. Из строк таблицы, в которых приводятся значения определителей матриц D и D , а также значения основных неизвестных X1 и X2, видно, что основная система и характер нагружения существенно влияют на точность результатов расчета. Наиболее удачен третий вариант основной системы, приводящий к локальным единичным и грузовым эпюрам. О числах k1 и k2, указанных в двух последних строках таблицы 8.3, будет сказано чуть позже.

Как ни мало число рассмотренных примеров, но обобщения и выводы придется делать только на их основе. Впрочем, и одного первого примера вполне достаточно для того, чтобы прийти к такому напрашивающемуся рецепту проверки конкретной системы уравнений на устойчивость ее решения. Надо выполнить два-три расчета конструкции, внося каждый раз малые изменения в коэффициенты и свободные члены системы разрешающих уравнений, и следить за тем, как меняются значения основных неизвестных и