Основы механики твердого деформируемого тела

делимой), которая получается из исходной конструкции при удалении связи, получившей заданное смещение, то формула (5.20) принимает вид:

действием в рассматриваемой конструкции. Поскольку реакция опоры A направлена вдоль стойки (см. рис. 7.7a), то изгибающий момент в сечении C при воздействии θ отсутствует, а потому эпюра M имеет вид стандартной табличной эпюры метода перемещений.

Эпюра "MA" строится от воздействия PA = 1 в конструкции, показанной

При θ = 1 будет UA = l/2. Равенство UA = −RB выполняется (см. формулу (7.7)).

Если разыскивается единичное перемещение uit, то формула (7.10) принимает вид:

ствием =1. Эпюру ” ” строят от действия силы =1 на конструкцию,

Zt Mi Xi

которая получается из основной системы смешанного метода после устранения всех наложенных при ее выборе дополнительных связей.

Осталось показать саму процедуру вычисления смешанных коэффициентов по формулам (7.9) и (7.11). Для этого можно воспользоваться примером предыдущего пункта. Основная система рассчитываемой рамы и ее единичные состояния были приведены на рис. 7.4. На рис. 7.8a они воспроизводятся еще раз, причем переход к условной жесткости EI = l не осуществляется. На рис. 7.8b изображены вспомогательная конструкция, которая получается из основной системы при наложении связей вдоль линий действия сил X1 и

, а также построенные в ней эпюры " "и " "от воздействий = 1 и

X2 M3 M4 Z3

Z4 =1. Указанные эпюры проще всего получить, рассчитав вспомогательную конструкцию методом перемещений, ибо, как видно по рис. 7.8b, при назна-

основной системе смешанного метода связи 3 и 4 (рис. 7.8c). Для построения указанных эпюр целесообразно использовать метод сил (nсил =1). Тогда

Все смешанные коэффициенты получились такими же, что и в предыдущем пункте.

Завершить настоящий параграф можно теми же словами, которые его открывали: на практике кинематический способ вычисления смешанных коэффициентов применения не находит. Как остроумно заметил украинский философ Григорий Сковорода, "Создатель, к счастью, сотворил все ненужное трудным, а все трудное ненужным". Это изречение лучше, чем какое-либо иное, подходит к обсуждаемой теме.

7.4. Варианты смешанного метода. Число n неизвестных смешанного метода сверху ничем не ограничено. В любой изгибаемой конструкции можно снять сколько угодно связей в одних местах и добавить произвольное число связей в других местах с одним лишь ограничением: получающаяся основная система смешанного метода должна быть неизменяемой. Однако нижний предел nd для величины n существует и он, пусть и не без некоторых хлопот, поддается определению. Обычно число nd подбирают экспериментально, методом попыток отыскивая такую основную систему, при которой величина n минимальна. Для облегчения поиска наилучшего варианта основной системы как раз и производится разбиение конструкции на подконструкции I и II. При переборе различных вариантов такого разбиения оптимальные решения можно и не найти, но грозит это только тем, что объем вычислений при решении задачи будет несколько больше того, чем мог бы быть. Ведь при

nсм < min(nсил, nпер)

обращение к смешанному методу оправдано и тогда, когда nсм > nd.

Однако не все определяется размерностью задачи, о чем, кстати, говорилось в п. 7.1 при сопоставлении методов сил и перемещений. Смешанный метод позволяет привести в поддержку этого тезиса еще ряд весомых аргументов. На рис. 7.9a изображена конструкция, расчет которой целесообразно выполнять методом сил (nсил = 3). Но в качестве альтернативы возмо-

жен расчет рассматриваемой рамы смешанным методом, причем с основной системой, состояние которой характеризуется семью параметрами (см. рис. 7.9b). Такая основная система получится, если сначала перейти от заданной конструкции к шарнирной схеме, а затем ликвидировать все степени свободы последней путем постановки нужного числа линейных связей. В общем случае число неизвестных, сопряженных с описанной основной системой, может быть найдено по формуле

524 Часть IV

Основная система данного типа единственна и при ее назначении нет нужды разбивать заданную конструкцию на части I и II. И еще одно замечание к рис. 7.9b: шарнир, введенный в узел A, является двукратным, а потому при замене устраненных связей их реакциями к торцам сходящихся в узле стержней прикладываются две пары: моменты X3 и X4.

Чем же привлекательна предлагаемая основная система? Прежде всего тем, что единичные эпюры "M i" локальны (не распространяются более чем на 2 стержня каждая), а их характерные ненулевые ординаты равны единице. Локальна и грузовая эпюра "M0", ибо изгибающие моменты в грузовом состоянии основной системы возникают только в тех стержнях, к которым непосредственно прикладывается нагрузка. Если же конструкция испытывает действие только узловых сил, усилий M0 не будет вообще. Во-вторых, из-за статической определимости основной системы кинематические воздействия Zs = =1 вызывают в ней лишь жесткие смещения (рис. 7.10), а изгибающие моменты M m+1, . . . , M n получаются тождественно равными нулю. Следовательно, обратятся в нуль и все реакции rst. В итоге вычисление всех ненулевых коэффициентов и свободных членов канонических уравнений может быть сведено к использованию заранее подготовленных формул (таблиц).

Матрица D канонических уравнений имеет строе-

Через D0 обозначена квадратная невырожденная матрица порядка m, элементами которой являются перемещения uij . Из-за локальности эпюр "M i" эта матрица

весьма разрежена. Нулевой блок порядка (n −m) отвечает коэффициентам rst, которые, как уже говорилось, тождественно равны нулю. Существуют специальные приемы компактного решения системы уравнений с матрицей (7.13), которые на данной стадии расчета несколько компенсируют разницу между размерностями задач методов сил и смешанного. Наконец, из формулы (7.2) выпадают последние n−m слагаемые:

M= M0 + M 1X1 + . . . + M mXm,

авычисления с ее помощью минимальны, ибо все эпюры локальны и характерные ненулевые ординаты эпюр "M i" равны единице.

При образовании рассматриваемой здесь основной системы в исходной конструкции удаляются m =nсил + nлин связей. Тогда (см. формулу (7.12))

Отсюда следует, что

m ≥ n − m,

причем равенство возможно лишь при nсил = 0, т. е. в случае, когда не только основная система смешанного метода, но и сама рассчитываемая конструкция статически определима. Казалось бы, что рассчитывать статически определимую конструкцию смешанным методом лишено смысла. Но, по существу, именно к такому расчету призывал немецкий исследователь Л. Геннеберг, опубликовав в 1886 г. статью с описанием метода замены связей. Конечно, Геннеберг о смешанном методе расчета стержневых конструкций не знал. Таковой вошел в инженерную практику только после того, как в 1927 г. вышла в свет книга видного русского ученого А. А. Гвоздева "Общий метод расчета сложных статически неопределимых систем". Но то, что предложил Геннеберг – устранять связи в одних местах конструкции и ставить точно такое же число связей в других ее местах, есть не что иное, как вари-

ант смешанного метода. При nсил =0 формула (7.12a) дает m =n−m, т. е. все блоки матрицы (7.13) становятся квадратными порядка m, а потому послед-

ние m канонических уравнений могут быть выделены в самостоятельную группу:

Если матрица D невырожденная, т. е. заданная статически определимая конструкция неизменяема, система (7.14) имеет единственное решение для реакций переставленных связей:

X = (D )−1R.

После этого из первых m разрешающих уравнений задачи можно, если это требуется, найти перемещения Zs по направлениям введенных связей.

7.5. Использование симметрии. Симметрия конструкции уже использовалась ранее (см. п. 5.7 и 6.7) для частичной ортогонализации базисов методов сил и перемещений, что вело к уменьшению объема вычислений и повышению их точности. Следующий шаг, осуществляемый в том же направлении, состоит в использовании тех возможностей, которые открывает симметризация не только основных неизвестных, но и задаваемого воздействия на конструкцию.

ную и обратносимметричную части внешней нагрузки. Видно, что расчет конструкции на симметричную долю нагрузки следует выполнять методом перемещений, а на обратносимметричную – методом сил. И там, и там будет по два неизвестных, а в итоге объем вычислений сократится, примерно, вдвое. Описанный прием решения задачи называют комбинированным методом расчета.

Второй пример использования комбинированного метода представлен на рис. 7.12. Расчет рамы на обратносимметричную составляющую заданной нагрузки целесообразно выполнять методом сил (как и в предыдущем примере), тогда как при расчете на симметричное воздействие следует обратиться к смешанному методу.

Безусловно, комбинированный метод, да и смешанный метод, пожалуй, тоже, утратили ту актуальность, которую они имели во времена, когда об универсальных вычислительных средствах можно было лишь мечтать. Но и теперь знание этих методов может оказаться полезным тому, кто не так уж часто выполняет прочностные расчеты силовых конструкций, чтобы имело смысл приобретать специализированные среды.

ГЛАВА 8. МНОГОКРАТНО СТАТИЧЕСКИ

ИКИНЕМАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

8.1.Задачи с большим числом основных неизвестных. К многократно статически или кинематически неопределимым конструкциям относят системы, состояние которых описывается не менее чем несколькими десятками параметров. Существуют специальные программные средства для прочностных расчетов таких конструкций. В обязанности инженера, выполняющего расчет, входит ввод исходных данных, обращение к различным вычислительным и контролирующим функциям программы и, наконец, интерпретация полученных результатов. О том, как устроена та или иная программа, пользователь может и не знать. Но он должен иметь представление об общих принципах построения алгоритмов расчета и тех факторах, которые влияют на объем и точность вычислений. Это и понятно: ведь как бы ни была совершенна машинная программа, не она, а инженер формирует расчетную модель сооружения, и если нет ясного понимания того, может ли данная информация об элементах модели (жесткостных характеристиках стержней, устройстве узлов, способах приложения внешнего воздействия и

т.д.) быть должным образом воспринята и обработана машиной, то вряд ли удастся извлечь пользу из того огромного массива чисел, который окажется в руках пользователя по завершению расчета. Но одного знания механики твердого деформируемого тела для выполнения прочностных расчетов при помощи специализированных программных сред недостаточно. Необходимо эти среды освоить и поддерживать приобретенные навыки. А потому инженеру, которому прочностные расчеты приходится проводить сравнительно редко, нет смысла затрачивать средства на приобретение и поддержку специализированных программ и расходовать время на их изучение. Для спорадических расчетов целесообразнее использовать те программные средства, которые постоянно находятся в поле зрения: электронные таблицы, простейшие программы по математическому обеспечению и т. п. При помощи таких средств и соответствующей организации вычислений можно выполнять расчеты конструкций с несколькими десятками параметров состояния. Именно о "соответствующей организации вычислений" при расчете стержневых конструкций и идет речь в настоящей главе.

8.2.Матричная форма методов сил и перемещений. Рассматриваемая ниже вычислительная процедура была предложена в середине XX века английским исследователем Дж. Аргирисом. Он исходил из того, что в основу

расчета стержневых конструкций должны быть положены классические методы строительной механики, а не полная система уравнений задачи. Дело

втом, что такую систему все равно придется приводить к разрешающим уравнениям, так что лучше сразу формировать канонические уравнения того метода, который имеет меньше неизвестных. Кроме того, на качество вычислений можно влиять, подбирая наиболее подходящий базис. Однако алгоритм Аргириса не лишен и недостатков. Главный из них заключается

втом, что за пределами автоматизируемой части алгоритма остается построение единичных и грузовых эпюр в основной системе. И все же процедуру Аргириса имеет смысл рассмотреть, так как полученные им формулы позволяют особенно просто обосновать ряд интересных свойств статически неопределимых конструкций. Что же касается автоматизированного построения базиса любого классического метода расчета, то эта проблема была решена в 1970–80 годы, и ничто не мешает объединить алгоритмы, обслуживающие отдельные части общей задачи, в единое целое.

Описываемый алгоритм предназначен для расчета линейно деформируемых конструкций, состоящих из призматических брусьев. Он основан на матричной записи формулы (II.6.11a) для перемножения трапеций. Далее будут рассматриваться только плоские конструкции, при деформировании которых преобладает изгиб. Осевой контур любой конструкции из указанного класса всегда можно разбить на C участков, в пределах каждого из которых все единичные эпюры линейны, а изгибная жесткость постоянна. Поэтому (см. рис. 8.1)

Матрицу βij называют матрицей усилий на стержне с номером j, поскольку ее элементами являются значения торцевых изгибающих моментов на данном стержне. Матрица fj уже встречалась в п. 2.1 (правда, при другом правиле знаков для изгибающих моментов). Это есть матрица изгибной податливости j-го стержня. С учетом принятых обозначений

Если эпюры "M i" и "M k" распространяются на несколько участков осевого контура конструкции, то надо выполнить вычисления по формуле (8.1) для каждого участка и результаты сложить:

C

(M i, M k) = βij fj βkj .

j=1

Нетрудно, перемножив матрицы

входящие в равенство

C

βij fj βkj = bi f bk,

j=1

убедиться в том, что оно корректно. Матрица bi усилия M i и матрица f податливости конструкции в целом имеют размеры 2C×1 и C×C соответственно. Таким образом,

Равенство (8.2) позволяет формализовать вычисление единичных коэффициентов методов сил и перемещений. Если же ввести матрицу b размерами 2C ×n, которая содержит ординаты всех n единичных эпюр усилий

можно будет получить матрицу канонических уравнений выбранного метода расчета (т. е. метода сил или перемещений).

Пусть конструкция испытывает силовое воздействие. В этом случае свободные члены Ui0 канонических уравнений метода сил находят по формуле (8.2), если только в пределах каждого стержня грузовая эпюра "M0" линейна. Если это не так, то контур криволинейной эпюры "M0" можно приближенно заменить ломаной линией, что, конечно же, приведет к резкому увеличению числа C элементов, на которые разбивается конструкция. Поэтому для того, чтобы не увеличивать и без того немалые размеры матриц b и f , прибегают к так называемому эквивалентному преобразованию нелинейных